[18].
90. Круглый стол. Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.
91. Пять банок с чаем. Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 х 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!»
У торговца чаем было пять коробок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки.
Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.
92. Четыре поросенка. Каждого из четырех поросят помещают в отдельный свинарник таким образом, что хотя каждый из 36 свинарников расположен на одной прямой (горизонтальной, вертикальной или диагональной) по крайней мере с одним поросенком, все же ни один поросенок не находится на одной прямой с другим. Сколько существует различных способов распределить поросят по свинарникам при этих условиях? Повернув рисунок, вы получите еще три расположения, а сделав это перед зеркалом, получите еще четыре. Эти расположения мы не считаем различными.
93. Пронумерованные кубики. Дети, которых вы видите на рисунке, нашли, что с помощью пронумерованных кубиков можно придумать много поучительных и интересных головоломок. Имеется десять кубиков, на каждом из которых нанесена одна цифра — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. В данный момент дети заняты головоломкой, в которой требуется разделить кубики на две группы, по пять кубиков в каждой, а затем расположить их так, что если в каждую из групп поставить в надлежащем месте знак умножения, то получатся произведения, одинаковые в каждой группе. Число возможных решений весьма значительно, но дети нашли такое решение, при котором произведение оказалось наименьшим из возможных. Так, если 3485 умножить на 2, то получится 6970, и это же произведение получится при умножении 6970 на 1. Вы обнаружите, что вполне посильно найти любой меньший результат.
Моя головоломка состоит в том, чтобы отыскать результат, наибольший из возможных. Разбейте кубики на любые две группы, по пять кубиков в каждой, и поставь те в нужных местах знак умножения, чтобы при этом одинаковое произведение в каждой группе оказалось максимальным. Вот и все, но этот орешек не так-то легко раскусить. Разумеется, не разрешается использовать дроби или применять какие-либо иные трюки. Головоломка в той достаточно простой форме, в которой я ее предлагаю, довольно интересна. Быть может, следует добавить, что множители могут быть двузначными.
94. Лисы и гуси. Вот небольшая головоломка с фишками, которую читатель, наверное, найдет занимательной. Сделайте диаграмму любого удобного размера, подобную той, что показана на рисунке, и возьмите шесть фишек: три из них изображают лис, а три другие — гусей. Поставьте гусей на кружки 1, 2 и 3, а лис — на кружки 10, 11 и 12.
Головоломка состоит в следующем. Передвигая поочередно по одной фишке (то лис, то гусей) вдоль прямой от одного кружка к следующему, попытайтесь провести лис на кружки 1, 2 и 3, а гусей — на кружки 10, 11 и 12 (то есть поменяйте их местами) за наименьшее возможное число ходов.
Но при этом вы должны быть внимательны и не позволять лисам и гусям находиться в пределах досягаемости друг друга, иначе могут возникнуть неприятности. Это правило, как легко понять, запрещает на первом ходу передвинуть лису из 11 на 4 или 6, ибо тогда она оказалась бы в пределах досягаемости гуся. Оно также запрещает передвинуть лису с 10 на 9 или с 12 на 7. Если вы пойдете с 10 на 5, то следующий ход гусем может быть с 2 на 9, чего нельзя было бы делать, если бы предварительно лиса не ушла с 10. Наверное, очевидно, что на кружке одновременно может находиться лишь одна лиса или один гусь. Чему равно наименьшее число ходов, необходимое для того, чтобы поменять местами лис и гусей?
95. Стол Робинзона Крузо. Вот любопытное извлечение из дневника Робинзона Крузо. Его нельзя найти в новых изданиях. А жаль...
«На третий день утром, когда ветер за ночь ослабел, я вышел на берег, надеясь найти пишущую машинку и другие полезные вещи, выброшенные с разбитого корабля; но все, что мне попалось на глаза, — это доска со множеством дырок. Мой человек Пятница много раз говорил, что нам совершенно необходим квадратный стол для чаепитий, и я задумался, как использовать с этой целью данную доску. А поскольку то долгое время, что Пятница проводил со мной, я еще не использовал для того, чтобы вложить в его голову основы полезных знаний, то он был немало удивлен, когда я сказал, что хочу сделать из найденной доски стол, на крышке которого не будет ни одной дырки.
Пятница печально размышлял, как это можно сделать, и пришел в совершенное уныние, когда я сказал, что крышка должна состоять не более чем из двух кусков, соединенных вместе. Однако я научил его, как это можно сделать, чтобы стол был возможно большим. Если быть честным, меня позабавили его слова:
— Мой народ поступает много лучше: у нас просто затыкают дырки, чтобы в них не проваливался сахар». На рисунке приведены точные пропорции доски с расположением на ней пятнадцати дырок. Как Робинзон Крузо сделал из нее наибольшую возможную квадратную крышку стола, состоящую из двух кусков и не содержащую дырок?
96. Пятнадцать фруктовых садов. В графстве Девоншир, славящемся своим сидром, пятнадцать жителей одной деревни были одержимы прекрасным духом дружеского соперничества на почве разведения яблоневых садов. И несколько лет назад они захотели экспериментально разрешить некоторое расхождение во мнениях относительно того, как следует выращивать яблони. Одни считали, что яблоням требуется много света и воздуха, тогда как другие твердо стояли на том, что их следует сажать достаточно тесно, дабы они получали тень и защиту от холодных ветров. Решено было посадить несколько саженцев — разное число в каждом саду — и сравнить результаты.
У одного человека в саду было посажено 1 дерево, у другого — 2 дерева, у третьего — 3, у четвертого — 4 и г. д. У последнего человека в его маленьком саду было посажено 15 деревьев. В прошлом году произошла любопытная вещь. Каждый из этих 15 человек обнаружил, что каждое дерево в его саду принесло одинаковое число яблок. Но, что еще более странно, сравнивая записи, они убедились, что общий урожай в каждом саду оказался почти одинаковым. На самом деле, если бы человек, у которого было 11 деревьев, отдал одно яблоко человеку, владевшему 7 деревьями, а владелец 14 деревьев отдал бы по 3 яблока владельцам 9 и 13 деревьев, то у всех 15 человек яблок оказалось бы поровну.
Головоломка состоит в том, чтобы определить, сколько яблок при этом оказалось бы у каждого из садоводов (у всех одинаковое количество). Ответ получить очень легко, если правильно взяться за дело.
97. Озадаченный жестянщик. Посетив недавно Пекхэм, я обнаружил, что всех там мучает один вопрос: «Что случилось с Сэмом Солдерсом, жестянщиком?» В самом деле, с ним творилось что-то неладное, и жена серьезно опасалась за его разум. Поскольку несколько лет назад он починил мне кипятильный куб, который не взрывался после этого по крайней мере месяца три (и при том лишь слегка повредил одного из наследников повара), то я живо заинтересовался его судьбой.
-— Вот, взгляните, — сказала миссис Солдерс, когда я заглянул к ним. — Такое творится с ним уже три недели. Он почти не ест и не отдыхает, а свое ремесло он забросил настолько, что я не знаю, как мне и быть — ведь у меня пятеро детей на руках. Весь день напролет (и всю ночь) он все считает и считает, теребя волосы, как сумасшедший. Это сведет меня в могилу.
Я настоял, чтобы миссис Солдерс все мне объяснила. Оказалось, Сэм получил от одного из клиентов заказ сделать две прямоугольные цинковые цистерны, одну с крышкой, а другую без нее. Каждая цистерна, наполненная до краев, должна была содержать ровно 1000 кубических футов воды. Жестянщик по уговору должен был получить определенную сумму за цистерну плюс плату за работу. Мистер Солдерс — человек бережливый, поэтому, естественно, он хотел сделать цистерны таких размеров, чтобы на них пошло как можно меньше металла. Именно эта проблема так сильно его и озадачила.