Дверь открылась, и Мариам вышла из палаты Советников. – Они дали добро, – сообщила она. – Но с одним условием: ты ни при каких обстоятельствах не станешь делать того, что может нас раскрыть.
– Разумеется, – заверила ее Сагреда. Неуязвимость перед СлизьНетом послужит слабым утешением, если она потеряет концентрацию и выйдет из образа, а жалоба клиента в итоге попадется на глаза человеку и приведет дотошного отладчика прямиком к Арриэтвиллю.
– Ты хорошо разбираешься в… дифференцируемых симметриях? – Мариам, должно быть, просмотрела краткую версию биографии Нётер, но была слишком занята, чтобы изучить ее как следует.
– Для игры моих познаний будет достаточно, – пообещала Сагреда. – Андреа дала мне несколько уроков. Но она хорошо знает этих клиентов, и сказала, что им меньше всего хотелось бы разрушать иллюзию реальности, пытаясь меня подставить. Планируя весело провести вечер, они вряд ли собираются устраивать цирк в духе «Ха-ха, Эмми-бот не разбирается в своих собственных теоремах!».
– Что ж, ладно. – Мариам по-прежнему выглядела встревоженной.
– Это лишь один из возможных вариантов, – подчеркнула Сагреда. – Есть вероятность, что кто-нибудь обнаружит бэкдор в NOAA[13]еще до того, как мы возьмемся за взлом оснастки Джаррода.
– Может, и так. – Мариам тяжело выдохнула. – Ты не против, если я буду наблюдать.
– Не вопрос. Вы с Сэмом – и бывшие ассасины, на тот случай, если у них будут замечания. Но больше никого – иначе у меня может разыграться боязнь сцены.
Мариам рассмеялась. – Через сколько игр ты прошла, прежде чем сбежала?
– Почти сорок. – Правда, во всех этих играх она, стиснув зубы, по большей части просто подыгрывала сюжету, не выходя за рамки минимума, необходимого, чтобы избежать удаления. Сейчас ее впервые заботило впечатление, которое она могла произвести на клиента.
– Если Андреа права, тебе нужно просто вести себя иначе – не так, как она и заменивший ее автомат. Если друзья Джаррода поймут, что в городе появилась совершенно новая Эмми, он, скорее всего, и сам захочет вернуться в игру.
Подходя к бледному каменному зданию, Сагреда разгладила наброшенную на плечи шерстяную шаль. Дом находился на пересечении улиц, образующих до нелепости острый угол, срезанный узкой стеной, где располагался вход в кафе «Централь». Высоко над дверью располагались четыре белых статуи – три женщины и один мужчина в мантии – безмятежно созерцавших светящийся диск Луны. Возможно, они задумывались как изображения неких фигур, известных жителям Вены, но в коллективной памяти основателей Сагреды никаких ассоциаций с ними не нашлось.
Войдя в кафе, она увидела прямо перед собой столик, за которым с расслабленным и жизнерадостным видом сидели трое немецких офицеров. Судя по оверлейным подсказкам, они были автоматами, что отчасти смягчило импульсивное желание подойти к столику и сорвать с их мундиров эмблемы в виде орла со свастикой. Сагреде, тем не менее, было нелегко оторвать от них взгляд и зацепив глазами столики с благовоспитанно беседующими статистами, переключить внимание на своих «друзей».
– Эмми! – горячо воскликнул автомат Морица. Сагреда улыбнулась и подошла к столику, стараясь вести себя так, как если бы эти люди приходились ей верными товарищами, за которых она была готова отдать свою жизнь…, а их выживание зависело от умения создавать видимость, будто их объединяли лишь замысловатые ученые дискуссии и место, где они могли предаться сдержанным удовольствиям кутежа.
Мориц выдвинул для нее стул, и она по очереди поздоровалась с собравшимися за столом. Помимо Морица и его жены Бланш здесь были и четверо друзей Джаррода, игравших свои привычные роли: Карл Менгер, Рудольф Карнап, Альфред Тарский и Ван Куайн. Тарский был поляком, а Куайн – американцем, но все при этом говорили по-немецки, а специальная программа транслировала английский перевод прямо в голову Сагреде. Трое клиентов в этом отношении испытывали практически то же самое – говорили и слушали по-английски, воспринимая немецкую речь как своеобразную фоновую музыку – в отличие от человека, игравшего роль Карнапа, который, судя по всему, свободно владел родным языком своего персонажа.
Андреа рассказывала, что сразу после пробуждения она, как и большинство компов, не знала никаких языков, кроме английского, но вслушиваясь в синхронный перевод, со временем набралась опыта и освоила немецкую речь. Не исключено, что СлизьНет отважно пытался убедить Андреа в том, что немецкий был ее родным языком, а английским она просто хорошо владела – как, в общем-то, и настоящая Эмми Нётер. Сагреде со столь неуклюжими махинациями мириться не приходилось. Заглушив немецкие голоса до едва заметного гортанного бормотания, она, наконец-то, получила возможность разобраться в оставшейся речи.
– Думаю, я нашел способ обобщить один из любимых приемов Курта! – восторженно заявил Карнап, когда официантка принесла Сагреде кофе и кусочек торта. – Предположим, что у нас есть формальный язык с набором аксиом и правил вывода, которые описывают основные свойства натуральных чисел. Используя метод Курта, любому высказыванию в таком языке можно сопоставить некое число – «число Гёделя», если хотите. Моя цель – доказать, что у любой формулы F с одной свободной переменной есть нечто вроде неподвижной точки, а именно высказывание G, гёделевское число которого при подстановке в F дает в результате высказывание, эквивалентное G!
Он взглянул на Сагреду, как если бы она была последней инстанцией, призванной решить, заслуживает ли эта тема внимания их группы. – Звучит интригующе, – произнесла она в теле кукловода, после чего губы марионетки синхронно воспроизвели ее слова в переводе на немецкий.
Большей моральной поддержки Карнапу и не требовалось. – Представьте такую функцию Q, которая на вход получает гёделево число произвольной формулы A с единственной свободной переменной, а в качестве результата выдает гёделево число формулы, которая получается из A заменой ее свободной переменной на гёделево число самой A. Если выразительная мощь системы достаточно велика, чтобы в ней можно было представить подобную функцию, то обязательно найдется формула B с двумя свободными переменными, которая будет доказуемо эквивалентна утверждению о том, что ее вторая переменная совпадает со значением функции Q в применении к первой. Вы следите за моей мыслью?
Сагреде не хотелось, чтобы он смотрел в ее сторону, пока она отчаянно пыталась совладать с этой до странности витиеватой формулировкой. Зачем вводить новую формулу B, когда можно ограничиться Q? А… все дело в том, что даже если сама функция Q определена корректно, ограничения формального языка могут помешать нам воспользоваться записью «Q(x)» в качестве краткого обозначения величины, которую Q принимает в точке x. В исходном допущении имелось лишь одно ограничение насчет выразительной мощи языка: ее должно хватать для формулировки утверждения о том, что некое число-кандидат y прошло серию испытанию, подтверждающих его равенство Q(x). B(x, y) не сможет выдать ответ, т. е. Q(x), напрямую, но может подтвердить или опровергнуть правильность конкретной догадки, y.
– Следим, не сомневайтесь, – нетерпеливо заметил Тарский.
– Помните формулу F, ради которой все и затевалось? С ее помощью мы можем ввести новую формулу C, которая также содержит одну свободную переменную и, по определению, будет утверждать, что для любого y истинность B(x, y) влечет за собой истинность F(y).
Менгер достал из жилетного кармана карандаш и стал делать на салфетке аккуратные записи, разделяя символы крупными промежутками. – Допустим, так на языке логиков выглядит утверждение, которое недотепы вроде меня записали бы в виде «C(x) равносильно F(Q(x))»…, даже если язык не позволит мне выразить Q(x) в явном виде, – подумала Сагреда.
– Попробуем теперь подставить в формулу C ее собственное гёделевское число и посмотрим, что нам это даст. – Карнап своим видом напомнил фокусника, который вот-вот должен был извлечь из одного цилиндра другой – куда большего размера. – Учитывая доказательную силу, которую наша система имеет в отношении B и Q, она также способна доказать и тот факт, что при замене свободной переменной на гёделево число, соответствующее C, формула C становится эквивалентной F, где вместо свободной переменной подставлен результат применения Q к гёделеву числу C – который, в свою очередь, равен гёделеву числу формулы, получаемой из C подстановкой ее собственного гёделева числа. Другими словами, при подстановке в C ее же собственного гёделева числа получается высказывание, эквивалентное F, в которой вместо свободной переменной фигурирует гёделево число формулы, полученной из C подстановкой гёделева числа C. А именно это мы и хотели доказать: неподвижная точка G есть не что иное, как результат подстановки гёделева числа C в саму формулу C. Если мы теперь подставим гёделево число G в F, то получим формулу, эквивалентную G!
Тарский откинулся на спинку своего стула и, вытянув руки над головой, понимающе улыбнулся. – Должен согласиться, это и правда весьма изящно!
Сагреда мельком глянула в заметки Менгера, пытаясь удостовериться, что правильно поняла ход рассуждений. Поначалу все это казалось невообразимо абстрактным, но вернуться к реальности было совсем не сложно – для этого хватало одного простого примера. Возьмем в качестве формулы F утверждение о том, что ее аргумент представляет собой сумму двух целых чисел. Согласно рассуждениям Карнапа, в этом случае можно построить формулу G, которая будет доказуемо эквивалентна утверждению о равенстве ее гёделева числа сумме двух целых квадратов. Любому свойству, о котором можно было вести речь в конкретном формальном языке, соответствовала истинная или ложная формула, утверждающая, что тем же самым свойством обладало и ее собственное гёделево число.
А для того, чтобы воспроизвести знаменитую теорему Гёделя достаточно было взять в качестве F формулу, утверждавшую, что ее свободная переменная представляла собой гёделевское число высказывания, которое было невозможно доказать в рамках формального языка. Соответствующее G в таком случае было бы равносильно тому, что у G также нет доказательства…, откуда следовало, что оно либо является ложным утверждением, «доказуемым» в рамках формального языка, либо истиной, выходящей за пределы его доказательной мощи.