Вопрос 39. В чем суть принципа неопределенности?
После открытия корпускулярно-волнового дуализма материальных частиц встал вопрос о том, как следует описывать их поведение. Ведь если электрон – это корпускула, то он в каждый момент времени занимает вполне определенное положение (его можно характеризовать определенной координатой), а также он обладает вполне конкретной скоростью (в физике чаще используют понятие импульса, это произведение скорости частицы на ее массу). Однако если электрон – это волна, то она не может быть локализована в какой-то одной точке пространства. Волна – это протяженный объект. Поэтому физикам пришлось разработать принципиально новый математический аппарат для описания поведения объектов, обладающих одновременно и корпускулярной, и волновой природой.
Первым такой математический аппарат предложил в 1925 году немецкий физик Вернер Гейзенберг (1901–1976), работавший под руководством Макса Борна и Паскуаля Йордана в Гёттингене. Он назвал новую теорию матричной механикой, и она стала первой версией логически непротиворечивой квантовой теории. В этой теории свойства частиц описывались матрицами, таблицами с числами, которые изменялись со временем. Вторую, альтернативную формулировку квантовой механики предложил в 1926 году австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887–1961) – она была названа волновой механикой. В ней для описания квантовых объектов использовалась волновая функция (Ψ-функция или пси-функция). Шрёдингер сформулировал фундаментальное уравнение, которому должна подчиняться волновая функция любой квантовой системы. Впоследствии это уравнение было названо его именем. В течение ХХ века было предложено еще несколько альтернативных, но при этом математически эквивалентных формулировок квантовой механики: интеграл по траекториям Фейнмана, формализм волны-пилота де Бройля – Бома и некоторые другие.
Оказалось, что в каждой из этих формулировок существуют пары сопряженных физических величин, характеризующих квантовую систему, которые невозможно измерить одновременно с произвольно высокой точностью. Одной из пар таких величин является пара координата-импульс. Математическое выражение этого утверждения имеет следующий вид: , и называется принципом неопределенности. Здесь Dx – это неопределенность в определении координаты частицы (на математическом языке – среднеквадратическое отклонение), Dp – неопределенность в определении импульса, а – приведенная постоянная Планка.
Данное неравенство означает, что чем точнее мы измеряем положение частицы, тем более неопределенным становится значение импульса (скорости). И наоборот, чем точнее мы узнаем импульс частицы, тем менее определенной становится координата. К примеру, если мы абсолютно точно измерим скорость частицы (неопределенность импульса равна нулю), то неопределенность ее координаты будет равняться бесконечности, т. е. она может находиться вообще где угодно. И это не проблема наших измерительных приборов, которые, конечно, всегда измеряют физические величины с некоторой погрешностью. Принцип неопределенности накладывает ограничение на абсолютно любые измерения, какие бы точные приборы мы ни использовали. Он говорит, что существует некоторый предел точности, заданный самой природой, а не нашими измерительными способностями.
Это проявляется, например, в следующем эксперименте. Давайте пропустим луч света лазера через небольшую щель, за которой поставим экран, на котором будем наблюдать за изображением этой щели. Что мы знаем про фотоны этого света? Во-первых, мы знаем примерное положение фотонов, когда они пролетают сквозь щель. Неопределенность в положении фотонов равна ширине этой щели. Во-вторых, мы примерно знаем, куда направлена скорость фотонов – от источника света до конкретной светлой полосы на экране. Неопределенность в направлении скорости фотонов определяется шириной светового пятна. Мы можем увеличить точность измерения положения фотонов, если сделаем щель чуть у́же. При этом, казалось бы, световое пятно на экране тоже должно так же сужаться. Однако в действительности происходит прямо противоположное: когда щель становится достаточно узкой, световое пятно на экране, наоборот, начинает расширяться, и мы уже теряем точность в определении их скорости. Как это и предсказывают волновые уравнения. Так что неопределенность в направлении движения вылетающих из щели фотонов (т. е. неопределенность их импульса) увеличивается, в точном соответствии с неравенством Гейзенберга.
Также следует отметить, что принцип неопределенности накладывает ограничения не только на одновременное измерение координаты и импульса частиц. Точно так же энергия и время являются сопряженными величинами (существуют и другие наборы сопряженных величин). А значит, невозможно одновременно точно измерить энергию квантовой системы и момент времени, в который эта квантовая система обладала такой энергией. Это утверждение сыграет важную роль в создании квантовой теории поля и определении нового понятия вакуума[64].
Открытие принципа неопределенности привело к радикальному пересмотру наших представлений о поведении микроскопических частиц. Поскольку мы теперь не можем одновременно определить их координату и скорость, то утрачивает всякий смысл понятие траектории движения. Мы не можем с точностью сказать, где конкретно находилась частица в каждый момент времени и куда она направлялась. Всё, что нам остается, это лишь набор вероятностей найти частицу в той или иной области пространства и примерное значение ее скорости. Все процессы, происходящие в микромире, могут протекать множеством различных способов, а частицы могут находиться сразу в нескольких местах одновременно (во всяком случае, всё выглядит именно так). Поэтому, когда мы обсуждали форму электронных оболочек атомов в главе «Похожи ли атомы на планетные системы?» (стр. 166), мы сказали, что у электронов нет конкретных траекторий, по которым они движутся вокруг ядра, а они как бы размазаны по некоторому объему пространства, образуя те самые электронные орбитали.
Однако это не означает, что у квантовых частиц невозможно определить координату или импульс. Конечно, можно. Просто определяя достаточно точно одно, мы сразу делаем неопределенным что-то другое. Поэтому в реальных экспериментах всегда приходится искать некоторый компромисс, если нам нужно узнать сразу обе сопряженные величины, соглашаясь на некоторую неопределенность.
Вопрос 40. Почему кот Шрёдингера и жив и мертв одновременно?
Сегодня неопределенность и вероятностный характер процессов, происходящих в микромире, стали основой физической картины мира. То, что кажется немыслимым для макроскопических объектов (с которыми мы имеем дело в обычной жизни), вполне себе допустимо для микроскопических частиц: электроны могут находиться сразу в нескольких местах, фотоны в опытах Юнга могут одновременно проходить сразу через две щели, а альфа-частицы могут даже проходить сквозь стены (переходить через потенциальный барьер, как сказали бы физики). Всё это, конечно, не очень понравилось ученым начала ХХ века. Альберт Эйнштейн выразил это возражение теперь уже ставшей знаменитой фразой «Бог не играет в кости». На что Нильс Бор, один из основоположников и идейных вдохновителей создания квантовой теории, ему элегантно парировал: «Эйнштейн, не указывайте Богу, что ему делать». Тем не менее даже один из создателей волновой механики Эрвин Шрёдингер, открывший фундаментальное уравнение квантовой теории, названное его именем, долгое время не принимал все эти квантовые неопределенности. Поэтому он решил придумать мысленный эксперимент, показывающий всю абсурдность квантовых представлений.
На идею самого известного в квантовой механике мысленного эксперимента Шрёдингера вдохновил Эйнштейн. В начале и середине 1930‐х они вели активную переписку, обсуждая противоречия в формулировке квантовой механики, найдя друг в друге чуть ли не единственных борцов за здравый смысл в современной им науке. В одном из своих писем Эйнштейн описал некий парадокс с пороховой бочкой, которая может быть взорванной и невзорванной одновременно.
Чтобы понять суть парадокса, нужно сказать пару слов про принцип суперпозиции в квантовой механике. Физические системы могут находиться в различных состояниях: частица может обладать разными энергиями, электрон может двигаться с разными скоростями и по разным орбитам вокруг ядра, радиоактивное ядро может распасться или не распадаться, фотон в двухщелевом эксперименте Юнга может пролетать через одну щель или через другую и т. д. Однако, даже зная исходное состояние квантовой системы, мы не можем описать, как она будет выглядеть через некоторое время. Так происходит потому, что квантово-механическое описание эволюции физической системы задается волновым уравнением Шрёдингера, решая которое, мы получаем лишь набор вероятностей обнаружить систему в том или ином возможном состоянии. И пока мы не произвели наблюдение за этой системой, никто не знает, в каком из этих состояний она находится на самом деле. Преобладающая на сегодняшний день среди физиков так называемая копенгагенская интерпретация квантовой механики полагает, что квантовая система находится сразу во всех этих состояниях одновременно. На математическом языке это выражается в том, что волновая функция системы представляет собой сумму (или суперпозицию) волновых функций всех возможных в данный момент состояний системы. Так, например, происходит «размазывание» электрона вокруг ядра в атоме по всей орбитали, где электрон может быть обнаружен в любой точке с некоторой вероятностью. Или в двухщелевом эксперименте фотон одновременно проходит через две щели, интерферируя с самим собой[65].
Таким образом, для квантовых систем вполне естественно находиться одновременно сразу в нескольких состояниях, чего мы, конечно же, не наблюдаем в привычном нам макромире. И чтобы показать абсурдность такого свойства квантовых объектов, Шрёдингер предложил свой знаменитый эксперимент с котом