Д-р Герман. Я не вполне уловил вашу мысль. Как, например, вы закодируете слово «КОТ»?
Д-р Зета. Очень просто. Закодирую каждую из трех букв так, как я только что говорил, и получу 003001020.
С помощью своего мощного карманного компьютера доктор Зета быстро считал строку за строкой Британскую энциклопедию и закодировал весь текст в виде одного гигантского числа. Поставив перед ним нуль с запятой, он превратил это число в конечную десятичную дробь.
Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его на две части (а и Ь) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби.
Д-р Зета. Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки а и b и вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!
Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств. Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.
Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков а и Ь необходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.
Обратимся теперь к иррациональным числам.
Математики считают, что десятичное разложение числа я «бесструктурно», как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении я найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа я встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа я встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!
Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении
0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…
(после запятой выписаны подряд все целые числа).
Перед своим отлетом доктор Зета поведал поистине фантастическую историю.
Д-р Зета. В самом центре нашей галактики находится огромная гостиница «Бесконечность». В ней действительно бесконечно много однокомнатных номеров, уходящих через черную дыру в другое измерение. В гостинице есть первый номер, есть второй (комнаты перенумерованы по порядку), но нет последнего.
Д-р Зета. Однажды в гостиницу по пути в другую галактику заглянул командир неизвестного летающего объекта (НЛО).
Д-р Зета. Хотя ни одного свободного места не было, управляющий гостиницей все же нашел способ устроить пилота: он попросил каждого обитателя гостиницы переселиться в комнату с номером на единицу больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, и поселил командира НЛО в освободившийся первый номер.
Д-р 3ета. На следующий день в гостиницу прибыли 5 супружеских пар, совершавших свадебное путешествие. Управляющий и тут не растерялся и, переселив каждого обитателя гостиницы в комнату с номером на 5 больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, отвел супружеским парам освободившиеся комнаты с номерами от 1 до 5.
Д-р 3ета. В конце недели в гостиницу нагрянули участники съезда продавцов жевательной резинки. Их было бесконечно много.
Д-р Герман. Я в силах понять, как управляющий гостиницы «Бесконечность» мог бы разместить любое конечное число вновь прибывших, но как разместить бесконечное множество гостей?
Д-р 3ета. Управляющий легко справился и с этой задачей: каждого обитателя гостиницы он переселил в комнату с номером вдвое больше, чем у той, которую тот занимал прежде.
Д-р Герман. Понял! Все прежние постояльцы гостиницы оказались после переселения в комнатах с четными номерами, а бесконечное множество освободившихся комнат с нечетными номерами управляющий предоставил продавцам жевательной резинки.
Ни одно конечное множество невозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с любым из его собственных подмножеств. В случае бесконечных множеств такое утверждение неверно. Бесконечные множества нарушают старое правило «часть меньше целого». Бесконечное множество можно определить как множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с собственным подмножеством.
Управляющий гостиницей «Бесконечность» сначала показал, что множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, вычеркивая из исходного множества один или пять элементов. Тот же прием позволяет устанавливать взаимно-однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством, получаемым при вычеркивании любого конечного числа элементов.
Вычеркиванию элементов можно придать несколько более драматический характер. Представим себе, что на столе перед нами лежат шкала к шкале две бесконечные линейки с равномерными сантиметровыми делениями. Нулевые отметки на обеих шкалах совмещены и находятся в центре стола. Деления с отметками простираются неограниченно далеко вправо, причем между отметками существует взаимно-однозначное соответствие: 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. Сдвинем теперь одну из линеек на n см вправо.
После этой операции деления сдвинутой линейки по-прежнему будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с делениями неподвижной линейки: если линейка была сдвинута, например, на 3 см, то между делениями установится взаимно-однозначное соответствие 0–3, 1–4, 2–5… Выступающий влево отрезок нижней линейки длиной n см соответствует величине сдвига, но та часть шкалы неподвижной линейки, которая совпадает со шкалой сдвинутой линейки, имеет бесконечную длину. Поскольку величине сдвига n можно придавать любые значения, мы можем вычеркивать из бесконечного множества любое конечное число n элементов и получать бесконечное множество, содержащее столько же элементов, сколько их было в исходном множестве.
Своим последним маневром управляющий гостиницей освободил бесконечное множество комнат.
Это означает, что, вычитая из бесконечности бесконечность, можно получить снова бесконечность.
Действительно, множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех четных чисел. Если из всех натуральных чисел вычеркнуть четные, то останется бесконечное множество нечетных чисел.
Гостиница «Бесконечность» — лишь один из многих парадоксов, связанных с бесконечностью. Существует много различных, бесконечностей! Множество натуральных чисел — самая «бедная» из бесконечностей, занимающая низшую ступень бесконечной иерархии. Вторая ступень соответствует бесконечности множества точек во Вселенной, а третья ступень — ещё большей бесконечности!
Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввел для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два и т. д.
Кардинальное число множества — это число элементов в нем. Например, кардинальное число множества букв слова «КОТ» равно 3. Любое конечное множество имеет конечное кардинальное число. Георг Кантор открыл, что одни бесконечные множества могут быть «больше» других. Кардинальные числа бесконечных множеств он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется «алеф» ().
Индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.
Кардинальное число множества всех натуральных чисел (так называемого счетного множества) Кантор обозначил 0 (алеф-нуль). Множество всех четных чисел, так же как и множество всех нечетных чисел, имеет кардинальное число 0. Следовательно, 0 + 0 = 0
Парадокс с гостиницей «Бесконечность» показывает, что в некотором смысле справедливо и равенство 0 — 0 = 0
Как необычна арифметика кардинальных чисел!
Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор считал, что оно имеет кардинальное число