и «Математические головоломки и развлечения».[11]
Самые забавные варианты этой разновидности парадоксов известны в виде картинок, на которых один из персонажей таинственным образом куда-то исчезает.
Парадоксы с исчезающими фигурками вот уже более ста лет используются в США для рекламы различных товаров. В конце прошлого века известный американский изобретатель головоломок Сэм Лойд придумал вариант парадокса, в котором фигурки китайских воинов располагались по кругу. При повороте диска один из воинов исчезал. С тех пор появилось множество вариантов парадоксов с фигурками, расположенными и вдоль прямой, и по кругу.
Подробно парадоксы такого рода рассмотрены в гл. 5 моей книги «Математические чудеса и тайны»[12].
Чтобы понять, в чем секрет таинственных исчезновений, начертим на листе бумаги десять линий:
Разрезав лист вдоль пунктирной линии, сдвинем нижнюю часть влево и вниз:
Сосчитаем линии. Их теперь только девять! Спрашивать, какая из десяти линий исчезла, бессмысленно: в действительности 10 исходных линий разрезаются на 18 отрезков, из которых составляются 9 новых линии. Каждая из этих линий на 1/9 длиннее каждой из исходных линий. Если нижнюю часть листа сдвинуть назад, то есть вправо и вверх, возникнут 10 исходных линий, каждая из которых на 1/10 короче любой из тех 9 линий, которые были перед вторым сдвигом.
Принцип, положенный в основу многочисленных вариантов парадоксов с исчезновением и появлением, линий и фигурок, давно известен фальшивомонетчикам. Разрезав 9 долларовых купюр на 18 частей вдоль определенных линий защитной сетки и переставив эти части, мошенники получают 10 купюр.
Подделку легко обнаружить, так как цифры номера на фальшивых купюрах оказываются сдвинутыми.
Дело в том, что во избежание подобной подделки номера на купюрах печатаются у противоположных обрезов на разной высоте — вверху и внизу. В 1968 г. в Лондоне за попытку подделать таким образом 5-фунтовую банкноту фальшивомонетчик был осужден на 8 лет тюремного заключения.
Хотите верьте, хотите не верьте, но парадоксы с исчезновением фигур имеют нечто общее с методом, которым некий нечистый на руку программист воспользовался, чтобы совершить хищение в одном крупном банке.
Вор. Все гениальное просто! Я могу без труда ежемесячно срывать куш в 500 долларов. Для этого мне достаточно ввести в компьютер программу, по которой счет каждого клиента будет округляться не до ближайшего целого числа пенни, а до пенни в сторону понижения.
Вор. Каждый клиент банка будет ежемесячно терять по полпенни.
Поскольку сумма эта невелика, потери никто не заметит. У банка около 100 000 клиентов, поэтому общая потеря составит 500 долларов. Их компьютер будет ежемесячно переводить на мой счет, а во всех банковских книгах баланс всегда будет сходиться.
Парадоксы с исчезновением фигур основаны на незаметном «похищении» небольших частей фигуры из разных мест. Так, если разрезать на части первый ковер мистера Рэнди и составить из них прямоугольник, то части будут находить друг на друга вдоль главной диагонали, образуя почти незаметный ромб.
Второй ковер мистера Рэнди, если разрезать его на части и составить из них новый ковер, чуть сокращается по высоте.
После того как компьютер переведет на счет вора 500 долларов, некоторые из клиентов банка получат на 1 пенни меньше процентов, чем им причиталось бы.
Топологию иногда называют геометрией на резиновой поверхности, так как она занимается изучением свойств, не изменяющихся при непрерывных деформациях (изгибании, растяжении или сжатии) фигур.
Тор — замечательная поверхность, имеющая форму бублика. Должно быть, вы очень удивитесь, если вам скажут, что проделав в торе из тонкой резины дыру, можно вывернуть его наизнанку. Между тем это действительно возможно, хотя и весьма трудно.
Предположим, что мы приклеили одну ленту вдоль параллели еще не вывернутого тора изнутри, а другую — вдоль меридиана снаружи. Обе ленты не сцеплены.
Вот как выглядит тор после того, как его вывернули наизнанку. Однако что это? Ленты теперь сцеплены! Но два кольца невозможно сцепить, не разрезая и не склеивая хотя бы одно из них. Что-то здесь не так! Что именно?
Тор действительно можно вывернуть наизнанку через проделанное в нем отверстие, но ленты от этого не станут сцепленными. При выворачивании тора наружная и внутренняя ленты меняются местами.
После того как тор вывернут наизнанку, малая лента (меридиан) растягивается в большую (параллель), а большая сжимается в малую. Ленты по-прежнему остаются несцепленными. Объясняется кажущийся парадокс неожиданно просто: художник нарисовал вывернутый тор так, как подсказывала ему интуиция, а не так, как тот выглядит на самом деле.
Резиновую модель тора, например велосипедную камеру, нелегко вывернуть наизнанку через дырочку, так как камеру при этом необходимо очень сильно растягивать. Гораздо легче вывернуть тор, сделанный из мягкой ткани. Сложите квадратный кусок ткани пополам и сшейте края так, чтобы получилась трубка.
Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). «Дыру» следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко.
Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы — в параллели.
Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим — меридиан.
После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются местами.
Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко.
Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бей л и «Топология» в Scientific American за январь 1950 г.
С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры.
Может ли один из торов «проглотить» другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в моей статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific American за 1977 г. Другие парадоксы, связанные с торами, вы найдете в моих статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г. (о заузленных торах) и в декабре 1979 г.
Венди решила купить себе кожаный браслет.
В магазине ей понравились два браслета. Каждый из них был сделан из трех ремешков: один сплетен из ремешков, другой — гладкий.
Венди. Сколько стоит плетеный браслет?
Люк. Пять долларов, мадам, но, к сожалению, он уже продан.
Венди. Какая жалость! А нет ли у вас еще одного такого браслета?
Люк. Есть, вот он перед вами.
Венди. Да, но ведь этот браслет не плетеный, а гладкий.
Люк. С удовольствием заплету его для вас.
Хотя в это трудно поверить, Люк сплел браслет за полминуты, не разрезав ни одного ремешка! Вот как он начал.
Самое удивительное в плетеном браслете, который так понравился Венди, — это то, что «косу» можно заплести даже в том случае, если концы «прядей» скреплены с двух сторон. Иначе говоря, плетеный браслет топологически эквивалентен гладкому. Последовательные этапы плетения браслета изображены ниже. Ремешки в таком браслете перекрещиваются 6 раз. Удлиняя их, можно заплетать косы с любым числом перекрещиваний, кратным 6. Если вы захотите сплести себе браслет или пояс, замочите предварительно кожу в теплой воде, чтобы она стала мягче.
Косы такого рода можно заплетать не только из трех, но и из большего числа прядей. Более подробно о таких косах рассказывается в статье А. Г. Шепперда «Косы, которые можно заплести из прядей, скрепленных с обоих концов»[13]. См. также главу «Теория групп и косы» в моей книге «Математические головоломки и развлечения»[14]
Большинство людей видят в таком браслете лишь еще один топологический курьез. В действительности же речь идет о вещах несравненно более важных и интересных. Математик Эмиль Артин построил даже теорию кос, воспользовавшись для этого аппаратом теории групп.
Элементом группы является схема переплетения прядей, операция состоит в последовательном плетении двух схем, а элементом обратным данной схеме, — зеркально-симметричная схема. Косы служат великолепным введением в теорию групп и преобразований.
(Элементарное введение в теорию кос можно найти в статье Артина «Теория кос»[15].)
Пат поднимался по узкой тропинке, ведущей к вершине горы. Он отправился в путь в 7 00 утра и в тот же день достиг вершины в 7.00 вечера.
Переночевав на вершине, Пат на следующее утро в 7.00 пустился в обратный путь по той же тропинке.