Большинство людей склонно считать первый шаг в рассуждениях Майкла (утверждение о том, что тигр не может находиться за последней дверью) правильным. Но коль скоро мы согласимся с этим выводом, то нам не останется ничего другого, как признать правильность и всех остальных рассуждений Майкла: ведь если тигр не может находиться за последней дверью, то аналогичные рассуждения позволяют исключить случай, когда тигр находится за предпоследней, предпредпоследней и т. д. дверью.
Но на самом первом шаге своих рассуждений Майкл все же допустил ошибку. Предположим, что он распахнул все двери, кроме последней. Может ли он сделать логически безупречный вывод о том, что за последней дверью тигра нет? Не может, потому что, придя к такому заключению, Майкл мог бы открыть последнюю дверь и совершенно неожиданно для себя обнаружить за ней тигра! Следовательно, парадокс остается в силе и в том случае, если осталась неоткрытой одна-единственная дверь.
Предположим, что некий мистер Смит, всегда говорящий, как вам хорошо известно, только правду, вручает вам коробку и говорит: «Откройте ее, и вы неожиданно обнаружите внутри яйцо». Можете ли вы, рассуждая логически, прийти к какому-нибудь заключению относительно того, находится ли внутри коробки яйцо, или его там нет? Если Смит сказал правду, то внутри коробки должно быть яйцо, но, поскольку вы знаете об этом, для вас не будет неожиданностью обнаружить яйцо в коробке. Следовательно, утверждение Смита ложно. С другой стороны, если это противоречие подтолкнет вас к выводу о том, что в коробке нет яйца (в этом случае утверждение Смита ложно), и вы, открыв коробку, неожиданно обнаружите в ней яйцо, то утверждение Смита истинно.
Логики сходятся на том, что хотя король знает о том, что держит данное им слово, Майклу об этом ничего не известно. Следовательно, он не может, рассуждая логически, прийти к выводу, чтя за любой дверью, в том числе и последней, нет тигра.
Из глубин космического пространства на Землю высадился инопланетянин Омега.
У Омеги было с собой самое совершенное оборудование для изучения деятельности головного мозга людей, позволявшее ему с точностью определять, какую из двух альтернатив выберет каждый из испытуемых.
Омега обследовал большое число людей, используя для теста два ящика. В ящике А, прозрачном, лежал чек на 1000 долларов.
В ящике В, непрозрачном, либо не было ничего, либо лежал чек на 1 000 000 долларов.
Каждому испытуемому Омега говорил следующее.
Омега. Перед вами две возможности. Во-первых, вы можете выбрать оба ящика и взять себе те деньги, которые в них находятся.
Если бы я знал, что вы поступите именно так, то оставил бы ящик В пустым. В этом случае вы получите только 1000 долларов.
Омега. Во-вторых, вы можете выбрать только ящик В. Если бы я знал, что вы поступите именно так, то положил бы в ящик В 1 000 000 долларов и он целиком достался бы вам.
Этот мужчина решил выбрать только ящик В. Рассуждал он следующим образом.
Мужчина. Я видел, как Омега провел не одну сотню тестов.
Каждый раз он правильно предсказывал, какую из альтернатив выберет испытуемый. Каждый, кто выбирал оба ящика, получал всего лишь 1000 долларов. Выберу-ка я лучше только ящик В и стану миллионером.
Эта женщина решила выбрать оба ящика. Рассуждала она следующим образом.
Женщина. Омега уже определил, какую из альтернатив я выберу, и вышел из комнаты. Содержимое ящика теперь не изменится. Если он пуст, то пустым и останется, а если в нем миллион, то этот миллион никуда не денется.
Выберу-ка я оба ящика и возьму все денежки, какие в них лежат.
Чье решение, по-вашему, правильно? Оба рассуждения — мужчины и женщины — не могут быть правильными. Какое из них неправильно и в чем? Это новый парадокс, и даже специалисты не знают пока, как его решить.
Это последний и наиболее поразительный из парадоксов, связанных с предсказанием, которые обсуждают современные философы. Придумал его физик Уильям Ньюком, в честь которого он и был назван парадоксом Ньюкома. Впервые его опубликовал и проанализировал философ из Гарвардского университета Роберт Нозик. Работа Нозика опиралась на такие разделы современной математики, как «теория игр» и «теория решений».
Решение мужчины выбрать ящик В понять нетрудно. Рассуждения женщины станут понятнее, если мы вспомним, что Омега вышел из комнаты и, следовательно, не может изменить содержимое ящика В.
Если ящик В пуст, то так и останется пустым. Если в нем чек на миллион долларов, то этот чек никуда не исчезнет. Рассмотрим оба случая.
Если в ящике В находится чек на миллион долларов и женщина выбирает только ящик В, то она получает миллион долларов. Но если она выбирает оба ящика, то получает миллион плюс тысячу долларов.
Если ящик В пуст и женщина выбирает только ящик В, то она не получает ничего. Если же она выбирает оба ящика, то получает 1000 долларов.
Следовательно, в любом случае женщина, выбрав оба ящика, станет богаче по крайней мере на 1000 долларов.
Парадокс Ньюкома служит своего рода лакмусовой бумажкой для проверки, верит или не верит человек в свободу воли. Воможные реакции на парадокс подразделяются (почти поровну) на два типа: те, кто верит в свободу воли, выбирают два ящика; сторонники детерминизма предпочитают выбирать только ящик В. Имеются и такие, кто считает парадокс Ньюкома противоречивым независимо от того, полностью или не полностью предопределено будущее.
Подробный обзор различных, нередко противоположных, взглядов на парадокс Ньюкома приведен в разделе «Математические игры» журнала Scientific American мной (июль 1973) и профессором Нозиком (март 1974).
2. ЧИСЛАПарадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице
Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:
1) иррациональных чисел 2½, π, е и бесчисленного множества других;
2) мнимых чисел (числа (-1)½ и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;
3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: a х Ь не равно Ь х а;
4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения а х (Ь х с) не равно (а х Ь) х с;
5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, «алефы», введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, «открыл перед математиками новый рай»).
Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, «Вездесущая девятка» подводит нас к конечным арифметикам, а «Необычное завещание» — к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай — область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.
Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке. В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету.
Владелица дискотеки. Ну вот, наконец-то гости пришли! Я накрыла для них столик на шесть персон, но, должно быть, ошиблась: их не шесть, а семь!
Владелица дискотеки. Впрочем, все отлично устроится! Первого гостя я посажу на первое место и попрошу его на минутку взять к себе на колени партнершу.
Владелица дискотеки. Третьего гостя я посажу рядом с двумя первыми, четвертого — рядом с третьим. Пятый сядет против того, кто держит партнершу на коленях, шестой — рядом с пятым. Получилось неплохо: я рассадила шестерых и одно место за столом осталось свободным!
Владелица дискотеки. Это место я попрошу занять партнершу, которая пока сидела на коленях у первого гостя. Разве не удивительно? Семь гостей владелица дискотеки рассадила на шести стульях, по одному на каждом стуле!
Не сомневаюсь, что вы без труда обнаружите логическую ошибку в приведенном мною варианте старого парадокса о ловком хозяине гостиницы, сумевшем разместить десять гостей в девяти номерах так, что каждому из них досталось по отдельной комнате (см. мою статью «Математические софизмы»[6]).
Парадокс разрешается, если понять, что партнерша, которую владелица дискотеки попросила первого гостя подержать на коленях, в действительности гость номер 2 (а не 7). Седьмому гостю не нашлось места за столом, а второй гость или, точнее, гостья, сойдя с колен своего партнера, пересела на шестое место.
На первый взгляд, кажется, будто этот парадокс нарушает теорему о том, что конечное множество из