π, был Электронный числовой интегратор и вычислитель ENIAC, построенный в последние годы Второй мировой войны по заказу армии США в Лаборатории баллистики в Мэриленде. Размером он был с небольшой дом. В сентябре 1949 года ENIAC за 70 часов работы вычислил π с точностью в 2037 знаков, побив предыдущий рекорд более чем на тысячу десятичных разрядов.
По мере появления новых знаков в числе π становилось все более ясно, что найденные числа не подчиняются никакому очевидному порядку. Однако только в 1767 году математики смогли доказать, что сумбурная последовательность цифр числа π никогда не повторяется. Это открытие вытекало из рассмотрения вопроса о том, числом какого типа может быть π.
Числа самого простого типа — натуральные. Это числа для счета, начинающиеся с единицы:
1, 2, 3, 4, 5, 6 …
Натуральные числа, однако, имеют некоторое ограничение, поскольку идут только в одном направлении. Более полезны целые числа, которые состоят из натуральных, нуля и отрицательных натуральных чисел:
… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …
Любое положительное или отрицательное целое число от минус бесконечности до плюс бесконечности входит в целые числа. Если бы нашлась гостиница с неограниченным числом этажей, а также с неограниченным числом все более глубоких подземных уровней, то кнопками в лифте там были бы все целые числа.
Числа другого основного типа — это дроби, которые представляют собой числа, записанные в виде a/b, где а и b — целые, причем b не равно 0. Поскольку дроби эквивалентны отношениям между целыми числами, они также называются рациональными числами[27], и их бесконечно много. На самом деле имеется бесконечно много рациональных чисел уже между 0 и 1. Давайте, например, возьмем дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель — натуральное число, больше или равное 2. Это дает множество, составленное из
Можно пойти дальше и доказать, что имеется бесконечно много рациональных чисел между любыми двумя рациональными числами. Пусть с и d — любые два рациональных числа, причем с меньше d. Точка на полпути между с и d представляет собой рациональное число — оно равно (c + d)/2. Назовем эту точку e. Теперь можно найти точку на полпути между c и e. Это (c + e)/2 — рациональное число, которое также лежит между с и d. Будем продолжать так до бесконечности, каждый раз разбивая расстояние между с и d на все меньшие и меньшие части. Не важно, сколь малым было расстояние между с и d в самый первый раз — между ними всегда найдется бесконечно много рациональных чисел.
Поскольку между любыми двумя рациональными числами всегда можно найти бесконечно много рациональных чисел, можно было бы подумать, что каждое число — рациональное. Без сомнения, именно на это одно время и надеялся Пифагор. Его метафизика основывалась на вере в то, что мир состоит из чисел и гармонических пропорций между ними. Существование числа, которое нельзя описать как отношение, по крайней мере сильно ослабляло его позиции, если не прямо им противоречило. Но, к несчастью для Пифагора, имеются числа, которые нельзя выразить в виде дроби, и к его немалому конфузу, одно из них дает его собственная теорема. Если взять квадрат со стороной, равной единице, то длина его диагонали равна квадратному корню из двух, а это число нельзя записать в виде дроби. (Доказательство — в приложении 2 на веб-сайте, посвященном этой книге.)
Числа, которые нельзя записать в виде дроби, называются иррациональными. Согласно легенде, их существование впервые доказал ученик Пифагора Гиппас, что, однако, не подарило ему симпатии Пифагорейского братства: его объявили отступником и утопили в море.
Когда рациональное число записано в виде десятичной дроби, оно всегда или содержит конечный набор цифр, как, например, 1/2, которая записывается в виде 0,5, или же разложение рано или поздно начинает повторяться, как, например, для числа 1/3, которое записывается в виде 0,3333…, где тройки продолжаются без конца. Иногда число «зацикливается» через более чем одну цифру — так обстоит дело с дробью 1/19, которая записывается как 0,0526315789473684210…, где 18-значный период 526315789473684210 повторяется до бесконечности. Наоборот — и в этом-то все дело! — когда число иррационально, его десятичное разложение никогда не будет повторять само себя.
В 1767 году швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт доказал, что π — именно такое иррациональное число. Его первоисследователи еще могли надеяться, что вслед за начальным хаосом в 3,14159… сумбур уляжется и наконец-то появится закономерность. Однако открытие Ламберта подтвердило, что это невозможно. Десятичное разложение числа π стремится в бесконечность некоторым предопределенным, но с виду совершенно беспорядочным образом.
Математики, занимавшиеся иррациональностями, страстно желали навести в них какой-то порядок. В XVIII столетии ученые начали размышлять об иррациональностях специального типа, получивших название трансцендентных чисел. То были числа столь таинственные и неуловимые, что получить их в конечной математике было нельзя. Квадратный корень из двух, например, — иррациональное число, но его можно описать как решение уравнения x2 = 2. Трансцендентное же число — это такое иррациональное, которое нельзя описать никаким уравнением с конечным числом членов. Когда концепция трансцендентных чисел впервые стала обсуждаться, никто не знал даже, существуют ли они вообще.
Оказалось, они действительно существуют, но прошло около ста лет до тех пор, пока были найдены первые их примеры — это сделал французский математик Жозеф Лиувилль. Числа π среди них не было. Только еще спустя 40 лет Фердинанд фон Линдеманн смог доказать, что число π и в самом деле трансцендентно, то есть существует за пределами царства конечной алгебры.
Открытие Линдеманна было ключевым моментом в теории чисел. Оно также раз и навсегда решило проблему, являвшуюся, пожалуй, самой знаменитой нерешенной задачей в математике: можно ли квадрировать круг или этого сделать нельзя. Но чтобы объяснить, как это следовало из результата Линдеманна, надо ввести уравнение, которое гласит, что площадь круга есть πr2, где r — радиус. Наглядное доказательство, почему это так, представляет собой тот случай, когда лучшей метафорой для числа π является пирог. Представьте себе, что у вас два круглых пирога одного и того же размера, белый и серый, как на рисунке А. Длина окружности каждого пирога — произведение π и диаметра, то есть π, умноженное на удвоенный радиус, или 2πr. После разрезания на равные сегменты куски можно сложить по-другому, как показано на рисунке В (там взяты четвертинки пирогов) или С (где пироги порезаны на десять кусков каждый). В обоих случаях длина стороны остается равной 2πr. Если делать куски все меньше и меньше, то получившаяся фигура в конце концов станет прямоугольником, как показано на рисунке D, причем стороны прямоугольника будут равны r и 2πr. Площадь прямоугольника — а она равна площади двух пирогов — поэтому равна 2πr2, так что площадь одного пирога равна πr2.
Как показать, что площадь круга равна πr2
Чтобы квадрировать круг, нам надо, используя только циркуль и линейку, построить квадрат, который имеет в точности ту же площадь, что и круг, ограниченный заданной окружностью. Мы теперь знаем, что линия длиной r — это радиус окружности, площадь круга внутри которой равна πr2, а также что у квадрата с площадью πr2 сторона должна иметь длину r√π (поскольку (r√π)2 = r2(√π)2 = r2π = πr2). Так что превращение окружности в квадрат можно свести к задаче построения длины r по заданной длине r. Или, если для удобства взять r равным 1, то к построению отрезка длины, если дан отрезок длины 1.
Используя координатную геометрию, о которой мы будем говорить в следующей главе, можно выразить процесс построения линии алгебраически, в виде конечного уравнения. Можно показать, что коль скоро x есть решение конечного уравнения, то начиная с отрезка длины 1 можно построить отрезок длины x. Но если x не есть решение какого-либо конечного уравнения — другими словами, если x трансцендентно, — то построить отрезок длины x невозможно. Ну, а тот факт, что π трансцендентно, означает, что квадратный корень из π также трансцендентен (тут вам предстоит поверить мне на слово), и отрезок такой длины построить невозможно. Трансцендентность числа π доказывает, что круг нельзя квадрировать.
Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа π перечеркнуло мечту бессчетного числа математиков. И тем не менее в 1897 году Законодательным собранием штата Индиана был выпущен знаменитый билль, содержавший доказательство квадратуры круга неким Е. Дж. Гудвином, местным сельским врачом, который преподнес свое доказательство в качестве «дара штату Индиана». Разумеется, этот сельский энтузиаст заблуждался. После доказательства Фердинанда фон Линдеманна, представленного им в 1882 году, математики, говоря о ком-то, что «он занимается квадратурой круга», имеют в виду, что он занимается чушью, в общем, чудак.
В течение двух столетий — XVIII и XIX — выяснилось, что загадочные свойства числа π проявляются не только в самой сердцевине античных геометрических задач, но и глубоко укоренены в новых областях знания, не демонстрирующих никакой очевидной связи с окружностями. «Это таинственное 3,141592…, что появляется из каждой двери и из каждого окна и вылезает из каждой каминной трубы», — писал британский математик Огастес Де Морган. Например, время качания маятника зависит от