Автор последовательно рассматривает основные типы симметричных конфигураций начиная с односторонних розеток. По определению А. В. Шубникова: «Односторонней розеткой мы называем фигуру, в которой имеется хотя бы одна особенная полярная плоскость и хотя бы одна особенная точка» [132, с. 32]. По классификации Холзера—Шубникова—Бома, односторонние розетки имеют обобщенный символ G20. Здесь имеет смысл остановиться на вопросах классификации типов групп симметрии, поскольку приведенное определение односторонней розетки уже содержит указание на классификационные признаки, основанные на особых элементах пространства. В неявной форме это учтено и А. В. Шубниковым в его «Симметрии», поскольку известное тогда множество фигур с ортогональной симметрией разделено на односторонние розетки, фигуры с особенной точкой (в том числе с особенной плоскостью и без нее), бордюры, ленты, стержни, сетчатые орнаменты, слои и федоровские группы. Процесс разработок классификационных принципов был начат А. Ниггли и расширен Н. В. Беловым и Н. Н. Нероновой. Однако, как отмечено Шубниковым [263—265], Холзером и Бомом, их схема оказалась неполной. Тогда ими было предложено классифицировать группы по размерности соподчиненных особенных элементов, инвариантных относительно преобразований групп симметрии. В конечном итоге подробная систематика групп ортогональной и черно-белой симметрии была построена Н. Н. Нероновой.
В следующем разделе А. В. Шубников изучает фигуры с особенной точкой, или, иными словами, точечные группы, символ которых G30. При этом на примере куба автор вводит представление о симметричных разновидностях простых форм, что послужило толчком для Г. Б. Бокия к выводу 146 (193) физически различных простых форм кристаллов, а впоследствии к появлению 1403 структурногранных разновидностей простых форм, предложенных И. И. Шафрановским.
В границах точечных групп фактически выделены группы односторонних розеток G20, двусторонних розеток G320, точечные группы G30 и отдельно — предельные точечные группы, причем предельные группы симметрии использованы для классификации направленных величин. Здесь содержатся наметки для развития в дальнейшем теории симметрии векторов и тензоров, что оказало существенное влияние на многие вопросы физической кристаллографии и будет рассмотрено позже.
Следующий раздел монографии посвящен фигурам без особенной точки, в первую очередь бордюрам «как группам без особенных точек, но с особенной полярной плоскостью и единственной осью переноса» [132, с. 72]. Всего выведено 7 групп G2I. Определив ленты G321 как «фигуры с особенной (полярной или неполярной) плоскостью, параллельно которой проходит ось переносов» [132, с. 76, 77], автор далее выводит 31 группу G321 и при этом отмечает, что существенно различных лент, рассматриваемых как стержневые группы, только 22, поскольку стержень — это «фигура без особенных точек и плоскостей, но с единственным особенным направлением» [132, с. 81]. Попутно в этом параграфе рассмотрена типология винтовых осей симметрии, включая винтовые оси с бесконечным элементарным переносом. На основе комбинирования дискретных и непрерывных элементов симметрии автором разработана типология предельных групп симметрии стержней, в том числе 7 групп, порожденных 5 предельными точечными и дискретной трансляцией; бесконечное разнообразие стержневых групп с непрерывной трансляцией и дискретной точечной и с обоими непрерывными порождающими элементами. Здесь же доказывается, что любое симметричное преобразование пространства может быть реализовано отражениями максимум в четырех плоскостях, которые сами по себе не обязаны быть реальными плоскостями симметрии. Это выводится из утверждения Г. В. Вульфа о главенствующей роли плоскости симметрии среди прочих симметричных преобразований или теоремы Болдырева. На основе этого фундаментального положения предлагается еще одно определение симметрии: «Симметричной называется всякая фигура, которая может совмещаться сама с собой в результате одного или нескольких последовательно произведенных отражений в плоскостях» [32, с. 97].
Далее автор переходит к выводу сначала 17 двумерных групп G2, а затем приводит список всех 8G групп симметрии слоев G32, проиллюстрированных рисунками, кочующими из работы в работу с того момента, когда они впервые были нарисованы Вебером.
А. В. Шубников иллюстрирует группы симметрии либо различными орнаментальными мотивами, либо интерференционными картинами. В этом же параграфе дана фактически сводка параллелогонов, заполняющих плоскость параллельными переносами и смежных по целым ребрам, планигонов, заполняющих плоскость в любом положении, полных и неполных плоских изотонов :— многоугольников, в каждой вершине которых сходится одно и то же число ребер, причем многоугольники заполняют плоскость без промежутков. Эта тема в творчестве А. В. Шубникова имеет свою предысторию и заслуживает отдельного рассмотрения [132, с. 58]. Далее автор получает 7 групп симметрии плоских односторонних семиконтинуумов, а затем переходит к слоевым группам и соответствующим им континуумам и семиконтинуумам (31 группа). При весьма схематичном рассмотрении федоровских групп, что обусловлено объемом книги и ее ориентацией на непрофессионалов, уделено внимание плотнейшим упаковкам (по Н. В. Белову), теории параллелоэдров и стереоэдров, определению групп симметрии континуумов и семиконтинуумов.
Анализируя монографии по теории симметрии, можно сказать, что «Симметрия» А. В. Шубникова — явление уникальное, поскольку, если не считать работ по орнаментам или по проявлению упорядоченных форм в природе, собственно симметрии и ее проявлениям в природе в самом широком смысле этого слова посвящены, пожалуй, лишь работы его учителя Г. В. Вульфа. Только в 50—60-х годах нашего столетия появились многочисленные публикации по этому вопросу, из которых сопоставимой можно считать только вышедшую в 1968 г. работу Г. Вейля «Симметрия», а также расширенное и дополненное новое издание книги А. В. Шубникова, вышедшее в соавторстве с В. А. Копциком [344].
В 1940 г. увидела свет написанная совместно с Г. Б. Бокием и Е. Е. Флинтом книга А. В. Шубникова «Основы кристаллографии» [134], завершившая представительный ряд фундаментальных трудов наших соотечественников: Е. С. Федорова, В. И. Вернадского, Б. Н. Делоне, А. Д. Александрова, безвременно скончавшегося В. В. Доливо-Добровольского, А. К. Болдырева и др.
Начиная с монографии [132], А. В. Шубников систематически дополняет и совершенствует разработанную им систему обозначений групп симметрии., отличавшуюся от интернациональной символики, введенной впервые К. Германном в 1929 г. и Ш. Могеном в 1931 г.
Рассмотрим последовательно развитие ортогональной симметрии в трудах А. В. Шубникова и его коллег, генезис антисимметрии и ее расширений, развитие теории симметрии подобия.
В Атласе кристаллографических групп симметрии [150] впервые в отечественной литературе приведен полный иллюстрированный каталог всех в то время известных дискретных групп ортогональной симметрии, причем даже в самих названиях отражены физические приложения рассматриваемых групп.
В «Атласе» даны изображения: 10 групп симметрии форм граней (G20); 31 группа симметрии форм двумерных кристаллов (таблетки G320); 32 группы симметрии форм кристаллов (G30); 7 групп симметрии ребер (бордюров G21); 29 полярных стержневых групп, входящих в состав 75 групп симметрии рядов (G31); 17 групп симметрии граней (G2); 80 групп симметрии слоев (G32); 230 пространственных групп G3.
«Диссимметрия» А. В. Шубникова [151] — одна из замечательных статей, в которой объединено несколько важных для теории симметрии положений. В первую очередь, следуя П. Кюри, автор окончательно дает определение диссимметрии: «...мы будем называть элементами диссимметрии данной группы те из элементов симметрии высшей взятой для сравнения группы, которые выпадают из нее при переходе к данной группе, являющейся подгруппой высшей группы. Иначе говоря, элементами диссимметрии данной группы будем называть те элементы симметрии, которые нужно добавить к данной группе, чтобы она преобразовалась в высшую группу, сравниваемую с данной» [ 151, с. 158]. Проанализировав вопрос существования диссимметрии, автор приходит к выводу: «...каждой группе симметрии можно при желании найти высшую группу, по отношению к которой данная группа симметрии будет подгруппой» [151, с. 162]. Отсюда исходят многие из современных методов расширения групп ортогональной симметрии. Исследовав вопрос о минимальной симметрии, автор приходит к заключению: «...мы...должны сделать вывод о принципиальной неисчерпаемости симметрии не только в направлении поисков высших групп симметрии, но и в обратном стремлении найти минимальную симметрию» [151, с. 163].
В 1948 г. вышли две работы А. В. Шубникова [158, 160]. Первую из статей проанализируем при рассмотрении групп аффинной симметрии. Вторая статья посвящена получению групп G30 абстрактно-групповыми методами, и тогда группы симметрии 2, т и I абстрактно изоморфны, поэтому 32 кристаллографическим группам соответствует лишь 18 точечных абстрактных. В заключении авторы пишут: «Принимая такую классификацию, мы тем самым соглашаемся считать одинаковыми многие из тех групп, которые в обычной классификации трактуются как различные; в частности, с новой точки зрения одинаковыми должны считаться моноклинные группы С2 и Cs с триклинной Ch Между тем кристаллы, отвечающие этим группам, обладают совершенно различными свойствами. Поэтому для целей кристаллографии классическое разделение на 32 группы остается неизменным» [160, с. 672].
Дальнейшее углубление теории дискретных групп ортогональной симметрии в трудах А. В. Шубникова и ее рассмотрение в историческом аспекте немыслимо без анализа общего состояния этой теории. К началу 50-х годов нашего столетия теорию ортогональной симметрии можно было в целом считать законченной, однако существовало, да и сей