— Вижу, — сказала Алиса. — Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец — это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?
— Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, — уверил ее Шалтай-Болтай. — Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет. Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.
— Да ведь это парадокс! — сказала Алиса.
— Нет! — возразил Шалтай-Болтай. — Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!
— Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, — попросила Алиса.
— Охотно, — согласился Шалтай-Болтай. — Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!
— Как интересно! — воскликнула Алиса.
— Кстати сказать, — заметил Шалтай-Болтай, — если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид — единственный критянин и что высказанное им утверждение — единственное утверждение, когда-либо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?
— Поразмысли над этим, — посоветовал Шалтай-Болтай, — а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?
Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:
— Взгляни на страницу 11. Истинно написанное там утверждение или ложно?
Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:
— 11 —
Утверждение на странице 11 истинно
Алиса немного подумала и ответила:
— Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.
— На этот раз ты абсолютно права! — согласился Шалтай-Болтай. — Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!
— Что вы имеете в виду? — удивилась Алиса.
— А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.
Такое употребление слова «хамелеонный» показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.
— Я хотел бы провести еще один опыт, — сказал Шалтай-Болтай. — Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.
Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал 11, а там, где стоял номер 11, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:
| — 10 — | — 11 — |
| Утверждение на странице 11 ложно | Утверждение на странице 10 истинно |
— Как, по-твоему, — спросил Шалтай-Болтай, — ложно или истинно утверждение на странице 11?
Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.
— Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, — сказала она. — Это еще один парадокс!
— Правильно! — сказал Шалтай-Болтай. — Но как это доказать?
— Очень просто, — сказала Алиса. — В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.
— Ты растешь прямо на глазах! — воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.
— Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, — сказала Алиса. — Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?
— Буду очень рад, — ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. — Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?
— В ней говорится о брадобрее, — сказала Алиса. — В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?
— Это очень старая и очень легкая задача! — засмеялся Шалтай-Болтай.
— Но я не вижу ни одного приемлемого решения! — сказала Алиса. — Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей или не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: «Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно», — мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.
— Кто бреется сам? — спросил Шалтай-Болтай.
— Как это кто? Брадобрей!
— Какой брадобрей? — допытывался Шалтай-Болтай.
— Брадобрей из истории о брадобрее! — ответила Алиса чуточку нетерпеливо.
— Ах вот кто! — протянул Шалтай-Болтай. — А кто сказал, что эта история правдива?
Алиса немного подумала.
— Послушайте, — сказала она. — Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории. Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?
— А разве нельзя? — удивился Шалтай-Болтай. — Даже если то, что дано, внутренне противоречиво?
Такая идея не приходила Алисе в голову.
— В действительности, — продолжал Шалтай-Болтай, — такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.
Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.
— Подумай сама, — настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. — Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?
— Скажу, что такого человека не было, — ответила Алиса.
— Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?
— Скажу, что такого брадобрея на свете не было, — ответила Алиса.
— Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!
На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.
— Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему, — продолжал Шалтай-Болтай. — В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей A и брадобрей B. Дано, что брадобрей A бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея B известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи A и B существуют. Такое предположение ничему не противоречит.
— А в чем задача? — спросила Алиса.
— Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей A? И бреет ли себя или не бреет брадобрей B?
Алиса немного подумала.
— Брадобрей A бреется сам, а брадобрей B сам не бреется, — ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.
— Хорошо! Очень хорошо! — похвалил ее Шалтай-Болтай. — А не можешь ли ты объяснить мне, почему?
— Потому, — начала весьма уверенно Алиса, — что если бы брадобрей A не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей A не бреется сам. Относительно брадобрея B можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей B не может брить самого себя.
— Ты растешь просто на глазах! — сказал Шалтай-Болтай. — Тебе необычайно повезло, что у тебя такой прекрасный учитель!
Алиса не знала, что сказать на это. С одной стороны, уроки логики, которые преподал ей Шалтай-Болтай, действительно были весьма поучительными! И все же ее не покидало ощущение, что он чуточку хвастает!
— Вы сказали, что это позволяет по-новому взглянуть на задачу о брадобрее, — напомнила Алиса. — Какая же связь существует между задачей об одном брадобрее и задачей о двух брадобреях?
— Я очень рад, что ты спросила об этом, — оживился Шалтай-Болтай. — Видишь ли, на свете вполне мог бы быть такой брадобрей, как A, и он должен был бы бриться сам. На свете вполне мог бы быть и такой брадобрей, как B, только он не мог бы бриться сам. Но ни один брадобрей не мог бы быть одновременно и брадобреем