фраа концента св. Барито в XIV веке от РК, вместе с Утентиной основавший ветвь метатеорики, называемую сложным протесизмом. Также его тёзка, фраа концента св. Эдхара в тридцать седьмом веке, рассказчик «Анафема».
Этреванические, см. отношения этреванические.
Эфрада, относительно процветающий и могущественный город-государство древнего мира, который в период своего Золотого века (приблизительно с –2600 по 2300 год) был приютом многих теоров, в том числе Фелена и Протеса. Место действия многих знаменитых диалогов, которые изучают, разыгрывают и заучивают наизусть фиды.
Приложения
– Давай договоримся, что каждая порция будет квадратом со стороной, равной ширине лопаточки. Отрежь уголок коврижки.
Дат отрезал вот так:
И разделил кусок на четыре порции того размера, о котором я говорил:
– Не могу поверить, что ты правда это делаешь, – пробормотал Арсибальт.
– У Фелена вышло… – буркнул я. – А теперь молчи и не мешай.
Я взглянул на Дата, ждущего указаний.
– Сколько порций у нас вышло?
– Четыре, – отвечал он, немного сбитый с толку элементарностью моего вопроса.
– Теперь: что, если ты отрежешь похожую фигуру, но со стороной в два раза больше? Чтобы каждая сторона была не в две единицы – две лопаточки – а…
– В четыре?
– Да. У нас уже есть четыре порции. Если ты удвоишь сторону фигуры, то скольких людей мы сможем накормить?
– Ну, дважды четыре – восемь.
– Я согласен, что дважды четыре – восемь. Давай проверим, что у тебя получится, – сказал я.
Дат начал резать.
В середине процесса он понял свою ошибку и нахмурился, но я велел ему продолжать.
– Шестнадцать, – сказал Дат наконец. – У нас получилось шестнадцать порций. Не восемь.
– Подведём итог. Прямоугольная решётка со стороной в две единицы даёт нам сколько порций?
– Четыре.
– И ты только что мне сказал, что решётка со стороной в четыре единицы даёт нам шестнадцать. А если нам нужно всего восемь порций? Какой длины должна быть сторона квадрата?
– В три лопаточки? – осторожно спросил Дат. Затем он посмотрел на пирог и сосчитал. – Нет, так получится девять.
– Но мы уже ближе к цели. И вот существенный результат: ты не знаешь, как решить задачу, и осознаёшь своё незнание.
У Дата брови поползли вверх.
– Это существенно?
– Для нас здесь – существенно.
Я забыл, каким был следующий шаг Фелена, когда тот объяснял эту задачку мальчику-рабу на Плоскости шесть тысячелетий назад, поэтому вынужден был обратиться за помощью к Ороло.
Затем я развернул коврижку нетронутым углом к Дату.
– Отрежь квадратный кусок на четыре порции. Отдельные порции можно не нарезать.
– А чертить на глазури можно? – спросил Дат.
– Если тебе так проще – черти.
С помощью Корд Дат изобразил такой квадрат:
– Отлично, – сказал я. – А теперь добавь три таких же квадрата.
Продолжив уже проведённые линии и добавив новые, Дат получил следующую картину:
– Теперь напомни, сколько порций мы можем из этого сделать?
– Шестнадцать.
– Отлично. А теперь смотри на квадрат в правом нижнем углу.
– Можешь ли ты одним надрезом разделить его ровно пополам?
Дат уже приготовился провести лопаточкой по пунктирной линии, но я покачал головой.
– Арсибальт очень трепетно относится к этой коврижке и хочет быть уверен, что никому не достанется кусок больше, чем у него.
– Спасибо тебе огромное, мудрый Фелен, – вставил Арсибальт.
Я сделал вид, будто не слышу.
– Можешь ты сделать один надрез так, чтобы Арсибальт точно остался доволен? Кускам необязательно быть квадратными. Годятся и другие фигуры – например, треугольники.
После моей подсказки Дат сделал такой разрез:
– Ну, теперь остальные так же, – сказал я.
Дат разрезал.
– Когда ты сделал первый диагональный разрез, ты разделил квадрат точно пополам, верно?
– Верно.
– И то же самое относится к трём другим диагональным разрезам и трём остальным квадратам?
– Конечно.
– Допустим, я повернул противень и ты посмотришь на него так:
Какую фигуру ты видишь в середине?
– Квадрат.
– И сколько кусков коврижки в этом квадрате?
– Четыре.
– Он составлен из четырёх треугольников, верно?
– Ага.
– Каждый из треугольников – половина квадрата, верно?
– Верно.
– Сколько порций в маленьком квадрате?
– Четыре.
– Значит, в каждом треугольнике сколько порций?
– Две.
– А в квадрате, состоящем из четырёх таких треугольников?..
– Восемь порций. – Тут до него дошло: – Это та задача, которую мы пытались решить раньше!
– Мы всё время её решали, – поправил я. – Просто нам потребовалось несколько минут. А теперь отрежь нам, пожалуйста, восемь порций.
– Ну вот, – сказал я.
– А можно теперь есть?
– Конечно. Ты понял, что произошло?
– М-мм… Я отрезал восемь одинаковых порций коврижки?
– Ты так говоришь, будто это просто… но на самом деле мы проделали сложный путь, – сказал я. – Вспомни, несколько минут назад ты знал, как отрезать четыре порции. Знал, как отрезать шестнадцать. Девять – запросто. Но ты не знал, как отрезать восемь. Задача казалась неразрешимой. Однако мы хорошенько подумали и нашли ответ. И не приблизительный, а совершенно точный.
Так получилось, что, пока мы расхаживали туда-сюда, кто-то из нас задел ногой пустую винную бутылку, и она осталась лежать на кухонном полу вот так:
Пол был из дощечек, собранных в квадраты, что навело меня на мысль о координатной плоскости.
– Принеси доску и кусок мела, – сказал я Барбу.
Мне немножко стыдно было его так гонять, но я злился, что он мне не помог. Барб вроде бы не возражал и быстро выполнил просьбу, потому что доски и мел для записи рецептов и продуктов для готовки лежали по всей кухне.
– Теперь сделай мне одолжение: запиши на доске координаты бутылки.
– Координаты?
– Да. Считай рисунок пола лесперовой координатной сеткой. Давай договоримся, что сторона квадратика – единица. Я кладу картофелину сюда – это будет начало координат.
– Ну, тогда бутылка примерно на (2,3). – Барб некоторое время скрипел мелом, потом развернул доску ко мне.
– Вот, это уже конфигурационное пространство – почти самое простое, какое можно вообразить, – сказал я. – Положение бутылки – (2,3) – точка в этом пространстве.
– Тогда это просто обычное двумерное пространство, – возмутился Барб. – Почему ты так не говоришь?
– Можешь добавить ещё колонку?
– Конечно.
– Обрати внимание, что бутылка лежит не прямо. Она повёрнута примерно на одну десятую пи – или, в единицах, к которым ты привык в экстрамуросе, примерно на двадцать градусов. Угол поворота будет третьей координатой конфигурационного пространства – третьей колонкой в твоей таблице.
Барб взял мел и написал:
– Ладно, теперь это уже не просто скучное двумерное пространство, – признал он. – У него три измерения, и третье – необычное. Похоже на то, что нам объясняли в сувине…
– Полярные координаты? – спросил я, поражённый, что Барб про них знает. Видать, Кин потратил кучу денег, чтобы отправить его в хорошую сувину.
– Ага! Угол вместо расстояния.
– Давай посмотрим, как это пространство себя ведёт. Я буду двигать бутылку, а ты – отмечать её координаты всякий раз, как я скажу.
Я подвинул бутылку и немножко её повернул.
– Отмечай. Отмечай. Отмечай.
Я сказал:
– Видишь, множество точек в конфигурационном пространстве такое же, как если бы я нечаянно пнул бутылку и она покатилась по полу. Согласен?
– Да. Я как раз сам так подумал!
– Но я двигал её медленно, чтобы тебе удобнее было записывать.
Барб не понял, как отвечать на мою убогую шутку. После неловкой паузы я продолжил:
– А можешь теперь составить график? Отметить эти точки на трёхмерном графике?
– Могу, – неуверенно протянул Барб. – Только это будет странно.
– Пунктир внизу показывает только x и y, – объяснил Барб. – Путь бутылки на полу.
– Хорошо, потому что пока ты не привык к конфигурационному пространству, остальное тебе будет непонятно, – сказал я. – Путь на плоскости xy, который ты показал пунктиром, вполне знаком нам по адрахонесову пространству – он просто показывает, как бутылка двигалась по полу. А вот третья координата – угол – совершенно другая история. Она показывает не буквальное расстояние в пространстве, а то, насколько повернулась бутылка. Как только ты это понял, ты можешь считать её прямо с графика и сказать: «Ага, бутылка лежала под углом двадцать градусов, а пока катилась по полу, повернулась ещё на триста». Но если ты не знаешь тайного шифра, ты ничего не поймёшь.
– И зачем это нужно?
– Представь, что у тебя что-нибудь посложнее одной бутылки на полу. Например, бутылка и картофелина. Тогда тебе нужно десятимерное конфигурационное пространство, чтобы описать состояние системы бутылка – картофелина.
– Десяти?
– Пять для бутылки и пять для картофелины.
– Откуда пять? У нас всего три координаты для бутылки!
– Ну, мы сжульничали. Не учли ещё две вращательные степени свободы, – сказал я.
– То есть?
Я сел на корточки и положил руку на бутылку. Она лежала этикеткой к полу.
– Смотри, я поворачиваю её вокруг длинной оси, чтобы прочесть этикетку. Этот угол поворота – совершенно отдельное число, независимое от того, который ты отмечал на доске. Для него нам нужна ещё одна координатная ось. – Я взял бутылку, поставил на донышко и наклонил, так что теперь её горлышко смотрело под углом к полу, как дуло артиллерийского орудия. – А то, что я делаю сейчас, – ещё одно независимое вращение.