1. Сущности, которыми занимается математика, существуют независимо от человеческого восприятия, определений и построений.
2. Человеческий разум способен воспринимать эти сущности.
Пункт 1 многим представляется бесспорным. Его разделяют почти все математики и большинство тех, кто подходит к вопросу с точки зрения «здравого смысла». Например, всякий, кто верит, что тройка миллиард лет назад тоже была простым числом, по крайней мере частично согласен с пунктом 1.
Однако каждый, кто принимает пункт 1, должен объяснить, как человеческий разум способен получать сведения о математических сущностях, которые, согласно этому пункту, не принадлежат пространству – времени и не находятся в обычных причинно-следственных отношениях с материальной вселенной. Для разрешения этого кажущегося парадокса предложены различные объяснения; их перечень можно найти в «Стэнфордской философской энциклопедии» (статья Марка Балагера о платонизме в метафизике) и, подробнее, в его же книге «Платонизм и антиплатонизм в математике» (Mark Balaguer, Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, ISBN 978–0195143980).
К пункту 2 Гёдель подходит следующим образом:
2а. «Нечто помимо [материальных] ощущений даётся непосредственно». Гёдель называет это «данными второго рода».
2б. «Впрочем, отсюда никак не следует, что данные второго рода, раз их нельзя связать с воздействием неких объектов на наши органы чувств, являются чисто субъективными. Скорее они могут представлять собой аспект объективной реальности, но, в противоположность ощущениям, их присутствие в нас связано с иным типом отношений между нами и реальностью».
2в. «Я полагаю, что для обработки абстрактных впечатлений (в противоположность чувственным) требуется некий материальный орган… Этот орган восприятия может быть близко связан с нервным центром, отвечающим за речь».
Первые две цитаты из статьи Гёделя «Что такое континуум-гипотеза Кантора?» (1964), третья – из «Логического путешествия» Хао Вана. Эти три постулата дальше упоминаются как «данные второго рода», «иной тип отношений», «Гёделев орган».
В английском языке слово «орган» обычно подразумевает комок живой ткани, вроде поджелудочной железы; «Гёделев орган» может смутить некоторых читателей, которые решат, что Гёдель думал о конкретной части мозга (на память сразу приходит пресловутое «шишковидное тело» Декарта), находящейся в иных отношениях с платоническим математическим миром, чем остальной мозг, и потому способной воспринимать данные второго рода. Однако стоит учесть, что английский язык не был для Гёделя родным, и он ещё в начале шестидесятых годов жаловался, что недостаточно им владеет (см., например, примечание Грегори Мура к редакциям статьи 47-го и 64-го годов в «Собрании сочинений» Гёделя). Заподозрив некую погрешность перевода, я обратился с этим вопросом к Верене Хубер-Дайсон, которая встречалась с Гёделем в Принстоне (хотя и не говорила с ним конкретно на эту тему). Верена Хубер-Дайсон – специалист по логике, немецкий язык для неё родной, и она подтвердила мои подозрения, что в немецком языке слово «орган» может означать способность или возможность. Таким образом, правильное истолкование пункта 2в, вероятно, состоит в том, что названной способностью обладает мозг как целое, а не какая-то отдельная его часть.
Гёдель, насколько мне известно, не объяснил, как именно функционирует этот орган, так что здесь метафизик, решивший следовать по его стопам, упирается в тупик. Пункты 2а и 2б содержатся в статье Гёделя «Что такое континуум-гипотеза Кантора?», опубликованной в 1964 году, – исправленном и дополненном варианте его же одноименной статьи 1947 года; есть все основания полагать, что Гёдель думал об этих вопросах по крайней мере с середины сороковых и что он по-прежнему занимался ими в конце пятидесятых – начале шестидесятых. Хао Ван сообщает, что в период с 1953-го по 1959-й Гёдель усиленно работал над статьёй, в которой он, возражая Карнапу, «пытается доказать, что математика – не синтаксис языка, и ратует за некую форму платонизма», и что в 1959 году он приступил к изучению работ Э. Гуссерля (1859–1938), которым продолжал заниматься до конца жизни. Значение Гуссерля для метафизической программы Гёделя Хао Ван суммирует так: «Чтобы выполнить свою программу [найти точную теорию метафизики, построенную на Лейбницевой монадологии. – Н.С.], Гёдель должен был принять в расчёт Кантову критику Лейбница. В методе Гуссерля он видел путь к преодолению возражений Канта». Куда лучшее объяснение, чем я могу привести здесь, читатель найдёт в «Мире без времени» (Palle Yourgrau, A World Without Time, стр. 104–107).
Гуссерль славится своей неудобочитаемостью (мне, во всяком случае, в жизни не доводилось читать ничего труднее), но через его тексты немного легче продраться, если считать процесс своего рода детективным расследованием, попыткой выяснить, что именно на этих страницах Гёдель счёл полезным для решения своих метафизических задач. Область поисков, по счастью, немного сужается разделом 5.3 (стр. 164 в моём издании) «Логического путешествия» Хао Вана, где тот приводит слова Гёделя, что в трудах Гуссерля особенно важны «Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии» и «Картезианские размышления».
Даже в этой суженной области искать существенное в нашем контексте – занятие почти безнадёжное. Примечательно, впрочем, что в пятом и последнем из картезианских размышлений Гуссерль заводит речь о монадах и вспоминает Лейбница. Как именно он к этому пришёл и что хочет сказать, не понять, если не погрузиться в Гуссерля с головой. Однако бритва Оккама подсказывает, что именно здесь таится ключ к упомянутой детективной загадке.
Гуссерль закончил «Картезианские размышления» примерно в 1933 году, а Гёдель опубликовал последнюю работу в 1974-м, за четыре года до смерти. Естественно, возникает вопрос: что происходило в этой области на протяжении следующих тридцати лет? Поскольку я писал роман, а не проводил серьёзное философское исследование, не стану утверждать, будто досконально проштудировал всю доступную литературу. Однако труды Эдварда Н. Залты из Стэнфордского университета, а также его перечисленных ниже соавторов представляют собой серьёзное метафизическое исследование, затрагивающее многие из упомянутых тем. Залта и его коллеги – практикующие философы и могут развивать и совершенствовать идеи, о которых я лишь читаю как об исторических памятниках. Статьи, автором и соавтором которых выступает Залта, посвящены в основном Платону, Лейбницевой теории концепций, феноменологии Гуссерля и математическому платонизму Гёделя, так что, когда Стивен Хорст указал мне на Залту, я, признаюсь, испытал безграничный восторг землепроходца, перед которым открылись новые горизонты. Это довольно большой корпус статей, и я не стану их пересказывать, а привлеку внимание читателя к двум важным вопросам.
Вычислительная метафизика. Залта твёрдо верит в формализацию философии, то есть в то, что философские утверждения можно перевести в символы формальной логики. Когда это сделано, можно сравнивать идеи разных философов, как физик сравнивает две разные теории, записывая их в виде уравнений и проверяя, противоречат ли они друг другу или сводятся к одному тому же. И в математике, и в формальной логике правила довольно просты, но вот применить их к реальным уравнениям и высказываниям очень сложно – иногда настолько, что человеку с этим не справиться. Залта использует для решения таких задач компьютерную программу – «систему автоматических рассуждений» PROVER9. Это очень напоминает Лейбницев замысел универсальной символической логики, и действительно, Залта и его соавтор Бранден Фитлсон упоминают Лейбница в первом абзаце своей изданной в 2007 году статьи «Шаги к вычислительной метафизике». Позже в этой же статье они упоминают ведущуюся сейчас работу по использованию упомянутой системы для доказательства теорем из статьи Залты «(Лейбницева) теория концепций» (2000 год), в которой он сводит положения Лейбницевой метафизики к теоремам на языке формальной логики. В других статьях Залта и его коллеги Фрэнсис Джеффри Пеллетье и Бернард Лински оперируют трудами Платона, Гуссерля, Гёделя и Дэвида Льюиса, о котором речь пойдёт ниже. Так что вот ответы на заданный ранее вопрос (что происходило в этой области последние тридцать лет?). Кстати, вычислительная метафизика подсказала идею музыки, упоминаемой в «Анафеме». В частности, живущие на деревьях, одетые в набедренники фраа, которые появляются на актале инбраса в Тредегаре, выполняют – хоть и очень медленно – вычисления в духе PROVER9. Они пытаются решить важную метафизическую проблему, что требует очень долгого времени, поскольку у них нет компьютеров.
Дэвид Льюис и множественность миров. Залта много занимался формами утверждений, что заставило его обратиться к трудам покойного философа Дэвида Льюиса. Залта и Лински обсуждают онтологию Льюиса в статье 1991 года «Майнонгианец ли Льюис?». Думаю, не ошибусь, сказав, что они принимают Льюиса всерьёз, но не соглашаются с ним. Льюис написал книгу «О множественности миров» (David Lewis, On the Plurality of Worlds, ISBN 978–0631224266) – название покажется знакомым читателям «Анафема», поскольку так же звался мессал, в котором участвовал фраа Эразмас. В ней Льюис закладывает основы модального реализма, метафизики, которая (если очень грубо её обобщить) утверждает, что все возможные миры существуют и не менее реальны, чем наш. Значение модального реализма для «Анафема» очевидно. Как уже говорилось, Дэвид Дойч упоминает труды Льюиса в своих работах о многомировой интерпретации квантовой механики.
Стоит упомянуть, что на работы Дойча и Залты я наткнулся, занимаясь совершенно разными линиями исследования. К первому меня привёл интерес к физике, ко второму – интерес к преемству Платон – Лейбниц – Гуссерль – Гёдель. Когда обнаружилось, что оба они пишут об одном философе, Дэвиде Льюисе, у меня возникло чувство (быть может, ложное), что круг волшебным образом замкнулся.
Есть, впрочем, и другие замкнувшиеся круги. В статье 1995 года «Натурализированный платонизм и платонизированный натурализм» Залта и Лински выдвигают теорию «целостного платонизма» в противоположность «дробному платонизму», как они называют доморощенную форму математического платонизма, разделяемую большинством математиков. Здесь не место разъяснять сущность «целостного платонизма», но, думаю, можно утверждать, что он отчасти созвучен модальному реализму Льюиса, поскольку говорит о всей полноте абстрактных математических объектов в противоположность «дробной» модели