В заключение укажем, что Гиппократу приписывается формулировка основных положений врачебной этики. Так называемая. «Клятва Гиппократа» в большей своей части. сохраняет значение и в наше время.
Математика V — начале IV до н. э. К моменту зарождения науки «о природе» греки, несомненно, уже обладали определенным запасом математических знании, в значительной мере заимствованных у египтян и вавилонян. Но эти знания имели чисто прикладной характер, были случайны, разрознены и потому не составляли науки. Они имели скорее ремесленный характер, ибо сводились к искусству счета, к умению более или менее точно определять площади, находить объемы и, может быть, решать еще какие-то задачи, с которыми грекам доводилось встречаться в их практической деятельности.
Согласно преданию, дошедшему до ученика Аристотеля Евдема, Фалес был первым, проявившим теоретический интерес к некоторым простейшим геометрическим соотношениям. Но даже если это было и так, Фалес, по-видимому, не имел в этом деле прямых продолжателей: ни о ком из последующих мыслителей-ионийцев не сообщается, что они сколько-нибудь серьезно занимались математикой. Следует поэтому согласиться с мнением древних авторов, утверждавших, что заслуга создания математики как теоретической дедуктивной дисциплины принадлежит в основном пифагорейской школе.
Разумеется, это произошло не сразу и не было делом одного лишь Пифагора, как бы он ни был гениален. На ранних этапах существования пифагорейской школы интерес к числу носил религиозно-мистическую окраску. Числам — особенно числам, находившимся в пределах первой десятки,— приписывались особые, сверхъестественные свойства. Эти числа были не просто числа: они составляли сущность окружающего мира, ибо все многообразие вещей и явлений сводилось в конечном счете к числовым соотношениям. Такое отношение к числу было чревато последствиями колоссальной важности. Числа, ранее принадлежавшие к сфере ремесла и практической деятельности, приобрели у пифагорейцев высший онтологический статус. Пифагорейцы начали изучать числа не потому, что это было им нужно для чего-то другого, а потому, что ничего более достойного изучения они не знали.
Рис. 2. Схемы получения рядов треугольных, квадратных и пятиугольных чисел
Отсутствие письменных документов не позволяет сколько-нибудь надежно восстановить последовательность открытий, которые делались в пифагорейской школе. Прежде всего они ввели противопоставления: единица — множество и чет—нечет. Разделению чисел на четные и нечетные придавалось у них особое значение. В связи с этим была тщательно изучена проблема делимости на два (соответствующая теория была воспроизведена Евклидом в IX книге «Начал»). Затем было обращено внимание на то, что некоторые числа (простые) делятся только на самих себя, другие же могут быть представлены в виде произведения двух или большего числа сомножителей. Простые числа пифагорейцы называли «линейными», числа, являвшиеся произведениями двух или трех простых сомножителей, соответственно с — «плоскими» или «телесными».
Далее из натурального ряда были выделены ряды из «треугольных», «квадратных», «пятиугольных» и т. д. чисел. Смысл этих обозначений становится ясным из рис. 2. на котором приведены геометрические построения, дающие получать соответствующие ряды.
Путем аналогичных пространственных построений пифагорейцы получали также «пирамидальные» и т. п. числа.
Дальнейшая разработка делимости целых чисел привела пифагорейцев к идее рациональной дроби. В V в. до н. э. греки научились оперировать, с дробями типа m/n, производя с ними все четыре действия,— с тем ограничением, что вычитать можно было лишь из большего меньшее число (заметим, что египтяне умели производить действия с дробями, но только выражая их в виде дробей типа 1/n). Историки математики предполагают, что к концу V в. до н. э. в Греции уже была построена общая теория делимости, содержавшая в качестве частного случая теорию делимости на 2. Позднее эта теория вошла в состав VII книги Евклида.
Параллельно с арифметикой развивалась также геометрия. Но здесь информация, которой мы располагаем, носит еще более скудный характер. Пифагорейцев прежде всего привлекали свойства фигур (треугольников, квадратов и т. д.), которые могут быть выражены числовыми отношениями. Нетрудно понять, что особый, интерес у них вызвало соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, получившее наименование - теоремы Пифагора. Правда, мы не знаем, каким образом и когда было получено доказательство этой теоремы; то доказательство, которое приводится в «Началах» Евклида несомненно имеет более позднее происхождение.
Примерно около середины V в. до н. э. было обнаружено существование несоизмеримых отрезков, т. е. таких, отношение которых друг к другу не может быть выражено не только целым числом, но и любым отношением целых чисел. К их числу принадлежат, например, сторона квадрата и его диагональ. Имеются основания предполагать, что автором открытия был пифагореец Гиппас из Метапонта; с его именем связаны легенды, на которых мы не будем останавливаться. Мы не знаем, каким путем Гиппас пришел к своему открытию; по этому поводу исследователями античной математики выдвигались различные гипотезы.
Открытие несоизмеримости явилось поворотным пунктом в истории греческой математики; по своему значению для того времени оно может быть сопоставлено с открытием неевклидовых геометрий в XIX в. Оно означало крах ранних пифагорейских представлений о том, что соотношения любых величин могут быть выражены через отношения целых чисел. О том резонансе, который вызвало это открытие в образованных кругах греческого общества, свидетельствует ряд мест в сочинениях Платона и Аристотеля, где обсуждаются вопросы несоизмеримости. Вслед за простейшими случаями несоизмеримостей начали изучаться более сложные. Пифагореец Феодор из Кирены (вторая половина V в. до н. э.) показал, что стороны квадратов с площадями 3, 5, 6, 7,..., 17 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. А ученик Феодора Теэтет, бывший современником и другом Платона, дал первое общее учение об иррациональных величинах (невыразимых как говорили греки).• Прежде всего он показал, что если площадь квадрата выражается целым числом Ν, которое не является второй степенью другого целого числа, то его сторона всегда будет несоизмерима со стороной единичного квадрата. Далее Теэтет распространил доказательство иррациональности на числа типа 3√N(где N не есть третья степень другого целого числа) √N+√M и M+√N (так называемые «биноминали»), √N-√M и √N-M («апотомы») и √√N√M («медиаль»). Изложение результатов Теэтета содержится в X книге «Начал» Евклида.
Обнаружение несоизмеримых отрезков и тем самым открытие иррациональных («невыразимых») величин поставило греческих математиков перед проблемой первостепенной важности. Каков мог быть выход из трудного положения, в котором оказалась математика в результате этого открытия? Одним из возможных был путь, по которому пошла математика Нового времени,— путь обобщения понятия числа и включения в него более широкого класса математических величин — как рациональных, так и иррациональных. При этом греки могли бы начать разработку чисто аналитических методов решения математических задач. Но они к этому еще не были подготовлены (заметим, кстати, что в греческой математике того времени отсутствовало как понятие нуля, так и понятие отрицательных величин). Поэтому греки избрали другой путь — путь геометризации математики. В результате возникла геометрическая алгебра, позволявшая на основе использования наглядных геометрических образов решать чисто алгебраические задачи; о ее характере мы можем судить по II книге Евклида и по произведениям Архимеда и Аполлония. Эта дисциплина, бывшая типичным детищем эллинского духа, начала закладываться во второй половине V в. до н. э.; она основывалась на античной планиметрии, представлявшей собой геометрию циркуля и линейки, и была приспособлена для решения квадратных уравнений и некоторых других классов алгебраических задач. Но ее возможности были ограничены, и в дальнейшем греческая геометрическая алгебра оказалась тормозом, препятствовавшим свободному развитию математической мысли в древности.
В процессе создания геометрической алгебры греческие математики разработали теорию пропорций, - приспособив ее для оперирования с несоизмеримыми отрезками. При этом было сформулировано новое определение пропорциональности, которое оказалось в равной степени применимым как для рациональных, так и для иррациональных величин. Теорией пропорций занимались Гиппас Meтапонтский, Гиппократ Хиосский, Архит Тарентский и другие математики V и начала IV вв. до н. э. Свое завершение теория пропорций нашла в общей теории отношений, разработанной величайшим математиком IV вв. до н. э. Евдоксом Книдским, о котором речь в следующей главе.
Что касается чистой геометрии, то к началу IV в. до н. э. было в основном завершено, логическое построение планиметрии, включавшей в себя теорию параллельных, определение сумм углов треугольника и площадей многоугольников, теорему Пифагора, теорию, дуг и хорд в круге построения правильных многоугольников и вычисление площади круга. Первое систематическое изложение геометрии было дано Гиппократом Хиосским. Из достижений самого Гиппократа широкую известность получила так называемая «теорема о луночках», изложение которой можно найти в любом курсе истории математики.
Наряду с планиметрией в V и до н. э. начала развиваться и стереометрия. Если ранним пифагорейцам были известны только три правильных многогранника — тетраэдр, куб и додекаэдр, то в дальнейшем к ним прибавились еще два — октаэдр и икосаэдр. А в IV в. до н. э. Теэтет уже дал общую теорию правильных многогранников. Выше уже было сказано о том, что Демокриту приписывалось открытие формул для объемов конуса и пирамиды. Следует также отметить, что в связи с развитием театральной техники возникла потребность в разработке теории перспективы. Автором первого сочинения (может быть, просто инструкции?) по этому вопросу источники называют художника Агафарха, вслед за которым о теории перспективы будто бы писали Анаксагор и Демокрит.