Нелинейность, эффект выпуклости (улыбка и грустное лицо): нелинейность может быть выпуклой или вогнутой, или же сочетать в себе эти свойства. Понятие «эффект выпуклости» – это расширение и обобщение фундаментальной асимметрии. Специальный термин для хрупкости – эффект негативной выпуклости, для антихрупкости – эффект позитивной выпуклости. Выпуклое хорошо (улыбка), вогнутое плохо (печаль).
Философский камень, также склонность к выпуклости (очень специальное понятие): точная мера благ, извлеченных из нелинейности или опциональности (или, выражаясь еще более научным языком, разница между переменной x и выпуклой функцией от x). Скажем, величина пользы для здоровья от легочной вентиляции при переменном давлении по сравнению с постоянным давлением. Или величина пользы от нерегулярного питания. Пренебрежение нелинейностью (ради «упрощения») ведет к прокрустову ложу и утверждению, будто склонности к выпуклости не существует.
Приложение IГрафический тур по книге
Для тех далеких от литературы людей, которые воспринимают мир в графиках, и только для них.
Нелинейность и «меньше – значит больше» (и прокрустово ложе)
Рис. 19. Этот график объясняет как нелинейность реакции, так и принцип «меньше – значит больше». Когда доза превышает определенное количество, польза начинает уменьшаться. Мы видели, что все нелинейное либо выпукло, либо вогнуто, либо, как на графике, обладает и тем и другим свойством. График также показывает, насколько вредно обобщение в условиях нелинейности: прокрустово ложе слов «это вам полезно» или «это вам вредно» сильно искажает реальность.
Кроме того, по графику видно, почему так важна эвристика, основанная на прилаживании: не эвристические правила загоняют вас в зону опасности, а слова и нарративы. Зона «больше – значит больше» выпукла, то есть польза по мере увеличения дозы нарастает. (На ливанском арабском зона за пределом насыщения называется , «больше этого – значит меньше этого».)
Наконец, график демонстрирует, почему порождаемое соперничеством «развитие» (скорее, усложнение, замаскированное под развитие) нам вредит, в отличие от стремления практика к оптимальной простоте.
Теорема переноса хрупкости
По теореме переноса хрупкости,
ВЫПУКЛЫЙ РИСК [ПОСЛЕ КАКОГО-ТО УРОВНЯ] → ЛЮБИТ ПЕРЕМЕНЧИВОСТЬ [ДО КАКОЙ-ТО ТОЧКИ]
(переменчивость можно заменить другими членами семейства беспорядка), и
ВОГНУТЫЙ РИСК → НЕ ЛЮБИТ ПЕРЕМЕНЧИВОСТИ
Распознавание хрупкости
Временной ряд
Рис. 20. Как хрупкое меняется со временем: два типа хрупкости. Репрезентативный ряд. На горизонтальной оси отображается время, на вертикальной – изменение какой-то величины. Эта величина может обозначать что угодно: здоровье, богатство, ваше счастье и т. д. Очень долго она может меняться незначительно или не меняться вообще, иногда изменение может быть катастрофическим. Неопределенность бьет очень чувствительно. Потери могут возникать в любой момент и превысить сумму прежних приобретений. Тип 2 (слева) и тип 1 (справа) отличаются тем, что тип 2 от неопределенности только страдает, почти ничего не приобретая, а тип 1 может вас сказочно обогатить.
Рис. 21. Неуязвимое (но не антихрупкое) (слева): величина все время меняется незначительно или не меняется вообще. Значительных скачков не бывает. Антихрупкая система (справа): благодаря неопределенности мы приобретаем куда больше, чем теряем, – полная противоположность первому графику на рис. 20.
Пространство вероятностей
Рис. 22. На горизонтальной оси отображается отдача, на вертикальной – вероятность этой отдачи. Неуязвимое: малая положительная и отрицательная отдача. Хрупкое (тип 1, очень редкий): отдача может быть как большой положительной, так и большой отрицательной. Почему это редкий тип? Подобная симметрия очень, очень, очень редко встречается на практике, однако статистические распределения обычно упрощают реальность именно до такого графика. Хрупкое (тип 2): невероятно большие потери (часто они скрыты и игнорируются), маленькие приобретения. Катастрофический неблагоприятный исход (слева) куда вероятнее благоприятного, потому что левая сторона тоньше правой. Антихрупкое: большие приобретения, маленькие потери. Благоприятный исход куда вероятнее неблагоприятного (последний может быть вообще невозможен). Правый «хвост», соответствующий благоприятному исходу, толще левого.
Таблица 9. Четыре различных класса отдачи
У хрупкости толстый левый хвост, а значит, она чувствительна к пертурбациям с левой стороны распределения вероятностей.
Рис. 23. Определение хрупкости (левый график). Хрупкость – это затененная область, увеличение массы левого хвоста до некоторого уровня К рабочей переменной в ответ на любое изменение параметра исходной переменной, т. е. это по большей части «переменчивость» или что-то чуть более определенное. Мы относим все такие изменения к s-, о чем будет сказано ниже в разделе с примечаниями (где я ухитрился спрятать уравнения).
Определение антихрупкости (правый график), которое не совсем симметрично, – это зеркальное отражение левого графика для правого хвоста плюс неуязвимость левого хвоста. Изменяющийся параметр тут s+.
Суть в том, что хотя мы не всегда можем выразить распределение вероятностей сколь-нибудь точно, в наших силах выявить реакцию через эвристику благодаря «теореме переноса» (Taleb and Douady, 2012). Чтобы распознать хрупкость в отношении события, нам не обязательно знать будущую вероятность этого события.
Трансформация штанги (временной ряд)
Рис. 24. Штанга во временном ряду. Ограничение отрицательной отдачи при сохранении положительной.
Штанги (выпуклые трансформации) и их свойства в пространстве вероятностей
Графическое выражение идеи штанги
Рис. 25. Случай 1, симметрия. Когда система становится более непредсказуемой, мы переходим от одной «колокольной» кривой – первой, с узкой областью возможной отдачи, – ко второй, менее высокой, однако более растянутой. Соответственно увеличивается и вероятность положительных и отрицательных неожиданностей, то есть как позитивных, так и негативных Черных лебедей.
Рис. 26. Случай 2 (слева), хрупкость. Ограниченные приобретения, огромные потери. После увеличения уровня неопределенности в системе увеличивается вероятность в основном (иногда – только) отрицательной отдачи, строго негативного Черного лебедя. Случай 3 (справа), антихрупкость. Когда система становится хаотичнее и неопределеннее, повышается вероятность очень благоприятного исхода – и соответственно увеличивается ожидаемая отдача. С математической точки зрения это открытие эквивалентно анти-задержке самолета.
Перевод фразы жирного тони «это не одно и то же» на язык математики, или Когда путают события и связанный с ними риск
В этом примечании я объясню также, что такое «выпуклая трансформация».
Пусть f (x) – это риск, связанный с переменной x. Можно также назвать f (x) «отдачей от x», «воздействием x», даже «полезностью отдачи от x», если функция f — это функция полезности. Переменная x может обозначать что угодно.
Пример: x — мощность землетрясения по какой-то шкале в определенной местности, f (x) – число людей, погибших в результате землетрясения. Как легко заметить, f (x) более предсказуемо, чем x (если мы переселим людей из этой местности, введем новые строительные нормы и правила и т. д.).
Пример:x — количество метров, которые я преодолеваю до столкновения с землей, когда кто-то сталкивает меня с высоты x, f (x) – состояние моего здоровья после падения. Разумеется, я не могу предсказать x (или предугадать, кто именно меня столкнет), в отличие от f (x).
Пример:x — количество машин в Нью-Йорке завтра днем, f (x) – время моей поездки из пункта А в пункт Б с определенной целью. f (x) может быть более предсказуема, чем x (поезжайте на метро, а еще лучше – прогуляйтесь).
Некоторые говорят про f (x), полагая, что они говорят про x. Это проблема смешения события и связанного с ним риска. Эта ошибка появилась еще у Аристотеля и распространилась в философии вероятности повсеместно (возьмите Иэна Хэкинга).
Можно стать более антихрупким в отношении x, не понимая x, – посредством выпуклости f (x).
Ответ на вопрос «что делать в мире, который мы не понимаем?» очень прост: нужно работать с нежелательными величинами f (x).
Часто куда легче модифицировать f (x), чем узнать что-либо про x. (Другими словами, проще стать неуязвимым, чем предсказать Черных лебедей.)
Пример: если я приобретаю страховку от падения рынка (здесь x) больше чем на 20 процентов, f (x) не зависит от той части распределения вероятностей, где x падает ниже 20 процентов, и невосприимчива к изменению параметра масштаба. (Это пример штанги.)
Рис. 27. Выпуклая трансформация (f (x) – выпуклая функция от x). Разница между x и риском, который связан с x. На втором графике риск потерь отсутствует. Главное – модифицировать f (x) так, чтобы свойства x на левом графике распределения вероятностей волновали нас как можно меньше. Этот метод называется выпуклой трансформацией, иначе – «стратегия штанги».