го круга, Харди верил в рациональное до такой степени, которую я считал нерациональной), он обнаружил интенсивное ипохондричное любопытство к своим собственным симптомам. Каждый день он с удивительным постоянством исследовал отечность своих лодыжек: увеличилась она или уменьшилась?
Впрочем, основное время в наших беседах (примерно пятьдесят пять минут из каждого часа, проведённого с Харди) я должен был говорить о крикете. Крикет был для Харди единственным утешением. Мне приходилось изображать такую увлечённость этой игрой, которую я более не испытывал. Сказать по правде, и в тридцатые годы моё отношение к крикету было довольно прохладным, я бывал на крикетной площадке из удовольствия побыть в обществе Харди. Теперь мне приходилось изучать результаты крикетных матчей очень внимательно, Харди не мог читать самостоятельно, но сразу догадывался, стоило мне ошибиться. Иногда к нему на несколько минут возвращалась былая жизнерадостность. Но если я не затрагивал какой-нибудь другой вопрос или не сообщал новость, он потухал и лежал безучастный, в каком-то тёмном одиночестве, которое иногда находит на людей перед смертью.
Раз или два я попытался было поднять его с постели. Не стоит ли нам рискнуть и отправиться вдвоём на крикетный матч? Теперь я не так стеснён в средствах, как прежде, и могу взять для него такси, его излюбленное средство передвижения, до любой крикетной площадки, какую он только назовет. От такого предложения Харди просветлел лицом. Он предупредил меня, что мне придётся возиться с мертвецом. "Ничего, как-нибудь справлюсь", заверил я его. Мне казалось, что он согласится. И он, и я знали, что его кончина - вопрос нескольких месяцев. Мне очень хотелось сделать для него приятное. Но в следующий мой визит Харди печально и гневно покачал головой: нет, он не станет и пытаться, какой смысл тратить силы, если всё равно ничего не получится.
Говорить о крикете мне было довольно трудно. Ещё труднее было его сестре, милой интеллигентной женщине, которая так и не вышла замуж и большую часть своей жизни поводила в заботе о брате. С тонким юмором, напоминавшим юмор самого Харди в былые времена, она собирала мельчайшие крохи крикетных новостей, хотя ровным счётом ничего не знала об игре.
Раз или два прорвалась саркастическая любовь Харди к человеческой комедии. За две или три недели до смерти ему стало известно, что Королевское общество собирается удостоить его своей высшей награды - медали Копли. Харди ухмыльнулся своей мефистофельской улыбкой, и в тот день впервые за все последние месяцы я вновь увидел его во всём блеске. "Теперь мне доподлинно известно, - заметил он, - что мне осталось совсем немного. Когда люди как торопятся воздать тебе почести, из этого можно сделать только один вывод".
Мне кажется, что после этого я навестил его дважды. Последний мой визит был за четыре или пять дней до его смерти. В Австралии тогда играла ещё совсем неопытная команда из Индии, и мы обсуждали это событие.
На той же неделе Харди сказал своей сестре: "Даже если бы я знал, что умру сегодня, мне всё равно хотелось бы узнать последние результаты крикетных матчей".
Нечто подобное он и сделал. В ту неделю каждый вечер, прежде чем уйти, она читала ему главу из истории крикета в Кембриджском университете. Одна из таких глав заканчивалась словами, ставшими последними, которые он слышал: рано утром на следующий день Харди скончался.
АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА
Посвящается Джону Ломасу,
попросившему меня
написать эту книгу
Предисловие
Я весьма признателен за множество ценных замечаний профессору Ч. Д. Броуду и д-ру Ч. П. Сноу, каждый из которых прочитал мою первоначальную рукопись. Я включил в текст по существу почти все их предложения, что позволило избежать многочисленных неточностей и неясностей.
Однако был случай, когда мне пришлось поступить иначе. В основу §28 положена короткая заметка, помещённая мной в "Эврике" (журнале Кембриджского архимедова общества) в начале года, и я счёл невозможным переделывать то, что было написано мной так недавно и так тщательно. Если бы я попытался удовлетворить всерьёз этим важным критическим замечаниям, то мне пришлось бы расширить §28 настолько, что это нарушило бы баланс всей моей книги. Поэтому я оставил всё без изменения, но добавил в "Примечании" в конце книге краткое изложение сути главных замечаний, сделанных моими критиками. 18 июля 1940 г. Г. Г. Х.
1
Писать о математике - печальное занятие для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики. Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают аналогичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного, чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняющим. Изложение чужих результатов, критика, оценка - работа для умов второго сорта.
Помню, что как-то раз мне довелось обсуждать эту проблему в одной из нескольких серьёзных бесед с Хусманом. В своей лекции памяти Лесли Стифена "Назначение и природа поэзии" Хусман весьма решительно отрицал свою принадлежность к "критикам", но делал это, как мне показалось, в особенно странной форме: он выразил восхищение литературной критикой, что озадачило и шокировало меня.
Он начал с цитаты из своей инаугурационной лекции, прочитанной двадцатью двумя годами раньше. "Не могу утверждать, является ли талант литературного критика лучшим даром Всевышнего, но он, по-видимому, полагает именно так, ибо талант литературного критика весьма редкий. Ораторы и поэты встречаются редко по сравнению с ягодами чёрной смородины, но чаще, чем возвращения кометы Галлея[87]. Литературные критики встречаются ещё реже..."
И далее: "За двадцать два года я усовершенствовался в одних отношениях и ухудшился в других, но усовершенствовался не настолько, чтобы стать литературным критиком, равно как не ухудшился настолько, чтобы вообразить, будто я стал таковым".
Мне показалось плачевным, чтобы выдающийся учёный и замечательный поэт так писал, и оказавшись через несколько недель рядом с ним в холле, я собрался с духом и высказал ему своё мнение. Неужели сказанное им должно быть воспринято всерьёз? Неужели жизнь лучшего из критиков действительно кажется ему сравнимой с жизнью учёного или поэта? Мы обсуждали эти вопросы на протяжении всего обеда, и, как мне кажется, он, наконец, согласился со мной. Не следует думать, будто я провозглашаю диалектический триумф над человеком, который более не может возразить мне... Но под конец нашего разговора его ответом на первый вопрос было: "Возможно, не вполне", а отвечая на второй, он заметил: "Вероятно, нет".
Относительно того, какие чувства испытывал Хусман, могут быть какие-то сомнения, и я вовсе не утверждаю, будто он полностью перешёл на мою сторону, но зато нет никаких сомнений относительно того, что думают по этому поводу люди науки, и я полностью разделяю их чувства. Но если я теперь сижу и пишу "о" математике, а не занимаюсь собственно математикой, то это - признание в собственной слабости, за которую молодые и более сильные математики с полным основаниям могут презирать или жалеть меня. Я пишу о математике потому, что подобно любому другому математику после шестидесяти, я не обладаю более свежестью ума, энергией и терпением, чтобы успешно выполнять свою непосредственную работу.
2
Я намереваюсь заняться апологией[88] математики. Возможно мне скажут, что в этом нет необходимости, так как ныне существует лишь несколько областей науки, которые по общему признанию (обоснованно или необоснованно) считаются более доходными и почётными. Возможно, это и так. Во всяком случае, вполне вероятно, что со времён сенсационных триумфов Эйнштейна звёздная астрономия и атомная физика - единственные науки, которые оцениваются общественным мнением выше, чем математика. Математику в настоящее время нет необходимости защищать свою профессию. Ему не нужно отвечать на те возражения, которые описаны Брэдли[89] в превосходной апологии метафизики, которая служит введением к его книге "Видимость и реальность".
Метафизик, говорит Брэдли, возразит, что "метафизическое знание совершенно невозможно" или что "даже если оно и возможно до какой-то степени, то практически его нельзя называть знанием". "Те же проблемы, придётся услышать метафизику, те же дискуссии, тот же полный провал. Почему бы не оставить всё это? Разве нет ничего другого, более достойного ваших усилий?" Разумеется, не найдётся ни одного глупца, который бы решился говорить в таком тоне о математике. Большая часть математических истин очевидна и впечатляюща. Она впечатляет. Практические приложения математики, мосты, паровые двигатели и динамо-машины производят глубокое впечатление на самое заторможенное воображение. Широкую публику не нужно убеждать в том, что математика имеет какой-то смысл.
Всё это весьма удобно для математиков, но истинный математик вряд ли успокоится на этом. Любой истинный математик должен ощущать, что истинная математика опирается не на указанные выше грубые, осязаемые достижения, и что репутация математики в глазах широкой публики зиждется на незнании и ошибочных представлениях, и что возможна более рациональная защита математики. Как бы то ни было, я намереваюсь предпринять такую попытку. Моя задача представляется мне более простой, чем трудная попытка апологии метафизики, предпринятая Брэдли.
В этой связи я хочу задать вопрос: стоит ли вообще серьёзно изучать математику? Что, собственно, служит оправданием жизни математика? Мои ответы большей частью будут такими, какие следует ожидать от математика: я глубоко убежден, что математикой стоит заниматься, чему существуют многочисленные подтверждения. Но я сразу же должен заявить, что защищая математику, я буду защищать и себя и что моя апология с необходимостью будет в определённой мере эгоистичной. Не думаю, что мне стоит приносить извинения за выбранную мной специальность, даже если я считаю себя неудачником в математике.
Некоторый эгоизм такого рода неизбежен, и я не думаю, что он реально нуждается в оправдании. Хорошая работа делается отнюдь не "скромными" людьми. Одна из важнейших обязанностей профессора, преподающего любой предмет, состоит в том, чтобы немного преувеличить важность своего предмета и своего участия в его развитии. Человек, постоянно задающий вопросы "Стоит ли заниматься тем, что я делаю?" и "Тот ли я человек, который справится с этим делом?" всегда будет неэффективен и к тому же будет расхолаживать других. Он должен слегка прикрыть глаза и думать о своём предмете и самом себе немного лучше, чем они того заслуживают. Сделать это не слишком трудно: труднее не выставить свой предмет и себя на посмешище, зажмурившись слишком плотно.
3
Человеку, решившему оправдать своё существование и свою деятельность, необходимо различать два несхожих по существу вопроса. Первый вопрос состоит в том, стоит ли заниматься тем, чем он занимается; второй - в том, почему он этим занимается (какова бы ни была ценность того, чем он занимается).
Первый вопрос часто оказывается очень трудным, а ответ на него - обескураживающим, но несмотря на это большинство людей находят второй вопрос достаточно лёгким. Их ответы, если они честны, обычно принимают ту или другую из двух форм, причём вторая форма является всего лишь более скромной вариацией первой, которую нам надлежит рассмотреть серьёзно.
(1) "Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что это единственное что я умею делать хорошо. Я адвокат, биржевой брокер или профессиональный крикетист потому, что обладаю некоторым талантом, позволяющим мне выполнять именно данную конкретную работу. Я адвокат потому, что у меня хорошо подвешен язык и меня интересуют всякого рода юридические тонкости. Я биржевой брокер потому, что могу быстро и точно оценивать ситуацию на рынке ценных бумаг. Я профессиональный крикетист потому, что могу очень хорошо играть в крикет. Я признаю, что быть поэтом или математиком возможно и лучше, но к сожалению не обладаю талантом для занятий поэзией или математикой".
Я отнюдь не утверждаю, будто большинство людей может выдвигать такие аргументы в своё оправдание, так как большинство людей вообще не умеют ничего делать хорошо. Но подобная апологетика становится несокрушимой, если её можно выдвинуть, не впадая при этом в противоречие, как это умеет делать незначительное меньшинство людей: возможно, пять или даже десять процентов людей могут делать что-то сравнительно неплохо, очень мало людей умеет делать что-то действительно хорошо, а число тех, кто умеет хорошо делать две вещи, пренебрежимо мало. Если человек обладает настоящим талантом, то ему следует без раздумий идти на почти любые жертвы, чтобы развить свой талант полностью.
Подобную точку зрения разделяет д-р Джонсон[90].
Когда я сказал ему, что мне приходилось видеть, как [его тезка] Джонсон скакал одновременно на трёх лошадях, он ответил: "Такого человека, сэр, следовало бы поощрять, сэр, ибо то, что он делает, показывает пределы человеческих возможностей".
Ясно, что д-р Джонсон аплодировал бы альпинистам, пловцам, переплывающим Ла-Манш и шахматистам, играющим вслепую. Со своей стороны я полностью одобряю все попытки такого рода, направленные на замечательные достижения. Я с большой симпатией отношусь даже к фокусникам и чревовещателям, и когда Алехин[91] и Брэдмен идут на побитие рекорда, я испытываю глубочайшее разочарование, если они терпят неудачу. В этом и д-р Джонсон, и я полностью солидарны с широкой публикой. Как очень точно выразился У. Тёрнер[92], только "высоколобые" (в негативном смысле) не восхищаются настоящими "большими людьми".
Разумеется, нельзя не учитывать то, что различные виды деятельности имеют различную ценность. Я предпочёл бы быть романистом или художником, чем государственным деятелем того же ранга; существует немало дорог к известности, которые большинство из нас отвергает как совершенно неприемлемые. Однако при выборе человеком карьеры различия в ценности той или иной профессии редко служат опорной шкалой: выбор рода деятельности почти всегда диктуется ограничениями природных способностей человека. Поэзия обладает более высокой ценностью, чем крикет, но Брэдмен был бы последним дураком, если бы пожертвовал крикетом, чтобы стать автором второсортных и незначительных поэтических произведений (я считаю маловероятным, чтобы в области поэзии он был способен на большее). Если бы Брэдмен играл в крикет не столь блестяще, а его успехи в области поэзии были бы более значительными, то выбор мог бы оказаться более затруднительным. Не знаю, кем бы я хотел стать: Виктором Трампе-ром или Рупертом Бруком. К счастью, такого рода дилеммы возникают очень редко.
Могу добавить, что возникновение таких дилемм перед математиком маловероятно. Различия между мыслительными процессами, протекающими у математиков и других людей, обычно сильно преувеличены, однако нельзя отрицать, что математические способности - талант весьма особого рода и что математики как класс не отличаются ничем особенным от остальных людей ни по части общих способностей, ни быстротой мышления. Если человек в каком-то смысле настоящий математик, то сто шансов против одного, что в математике он достигнет гораздо большего, чем в другой области, и было бы глупо, если бы он поддался любой обманчивой возможности проявить свой талант для того, чтобы сделать что-нибудь невыдающееся в других областях. Такую жертву можно было оправдать разве что экономической необходимостью или возрастом.
4
Мне следует сказать несколько слов по поводу возраста, который особенно важен для математиков. Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем любой другой вид искусства или любая другая наука, - занятие для молодых. Приведу простой пример на сравнительно скромном уровне: средний возраст избранных в Королевское общество самый низкий у математиков.
Разумеется, мы без труда можем привести намного более поразительные примеры. Мы можем рассмотреть хотя бы карьеру человека, который вне всякого сомнения был одним из трёх величайших математиков мира. Ньютон перестал заниматься математикой в возрасте пятидесяти лет и утратил былой энтузиазм задолго до этого. Он, несомненно, осознал к тому времени, когда ему исполнилось сорок лет, что расцвет его творческой деятельности уже миновал. Его величайшие идеи - флюксии[93] и закон всемирного тяготения - пришли ему в голову около 1666 года, когда Ньютону было двадцать четыре года. "В ту пору я был в самом расцвете лет, пригодных для изобретения различных новшеств, и размышлял о математике и философии больше, чем когда-либо впоследствии". Свои большие открытия Ньютон совершил до того, как ему исполнилось сорок лет ("эллиптическая орбита" была открыта в тридцать семь лет), а позднее ему мало что удалось сделать, он лишь полировал и совершенствовал то, что было сделано раньше.
Галуа[94] умер в двадцать один год, Абель[95] - в двадцать семь лет, Рамануджан - в тридцать три года, Риман[96] - в сорок. Были люди, которые сделали выдающиеся работы и в более зрелом возрасте. Замечательная работа Гаусса[97] по дифференциальной геометрии была опубликована, когда ему было пятьдесят лет (хотя основные идеи были созданы им десятью годами ранее). Я не знаю ни одного случая, когда крупное математическое открытие было бы сделано человеком в возрасте старше пятидесяти. Если человек в преклонном возрасте утрачивает интерес к математике и перестает заниматься ею, то маловероятно, чтобы утрата была весьма серьёзной для математики или для него самого.
С другой стороны, маловероятно, чтобы польза от этого была особенно существенной. Перечень математиков, переставших заниматься математикой в последнее время, не слишком вдохновляет. Ньютон стал весьма компетентным директором монетного двора (когда он ни с кем не ссорился). Пенлеве[98] стал не слишком успешным премьер-министром Франции. Политическая карьера Лапласа[99] была в высшей степени позорной, но его вряд ли можно считать подходящим примером: Лаплас был скорее бесчестен, чем некомпетентен, но никогда в действительности не "бросал" математику. Насколько мне известно, не существует ни одного примера, когда бы математик самого высокого ранга прекратил заниматься математикой и достиг столь же высоких отличий в любой другой области. Возможно, было несколько молодых людей, которые могли бы стать первоклассными математиками, если бы они занимались математикой, но мне никогда не приходилось слышать ни об одном правдоподобном примере. Кроме того, всё это полностью согласуется с моим собственным весьма ограниченным опытом. Любой молодой математик, обладающий реальным талантом, которого мне приходилось знать, был искренне предан математике, и не из-за отсутствия амбиций, а от избытка их. Все эти молодые люди отчётливо сознавали, что именно в математике они могут добиться признания, если такое вообще возможно.
5
Существует также то, что я бы назвал "более скромной вариацией" стандартной апологии, но от неё можно отделаться буквально в несколько слов.
(2) "Нет ничего, что я мог бы делать особенно хорошо. Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что мне пришлось этим заниматься. В действительности мне никогда не представлялась возможность заняться чем-нибудь другим". Эту апологию я также воспринимаю как убедительную. Абсолютная истина состоит в том, что большинство людей ничего не может делать хорошо. Коль скоро это так, то не имеет особого значения, какую карьеру они выбирают, и говорить об этом больше нечего. Это вполне убедительный ответ, но его вряд ли даст человек, обладающий хотя бы в какой-то степени гордостью, и я могу предположить, что ни один из нас не согласился бы с таким ответом.
6
Настало время поразмыслить над первым вопросом, который я поставил в §3, - вопросом, гораздо более трудным, чем второй. Стоит ли заниматься математикой (тем, что я и другие математики подразумеваем под математикой), и если стоит, то почему? Я перечитываю первые страницы своей инаугурационной лекции, с которой выступил в Оксфорде в 1920 году. По существу в ней кратко изложено основное содержание апологии математики. Изложение чрезмерно сжато (оно занимает менее двух страниц) и выдержано в стиле, который мне сейчас не особенно нравится (мне кажется, что это первый опус, написанный, как мне тогда казалось, в "оксфордской манере"). И поныне я склонен думать, что несмотря на дальнейшее развитие, моя инаугурационная лекция всё же содержала основные идеи апологии математики. Напомню, что я тогда сказал в качестве предисловия к более подробному обсуждению.
(1) Я начал с того, что подчеркнул безвредность занятия математикой - изучение математики если и бесполезно, то во всяком случае совершенно безвредно и невинно". Я придерживаюсь этого мнения, хотя оно явно нуждается в более развёрнутом изложении и пояснениях.
Бесполезна ли математика? В определённом смысле, если сказать просто, конечно, небесполезна; например, она доставляет огромное удовольствие весьма большому числу людей. Однако я использовал слово "полезный" в более узком смысле - "полезна" ли математика, приносит ли она прямую пользу, как другие науки, такие, как химия и физиология? Вопрос этот не из лёгких и не бесспорный, и я отвечу на него самым решительным "Нет", хотя некоторые математики (и большинство посторонних), несомненно, ответили бы "Да". "Безвредна" ли математика? И на этот вопрос ответ далеко не очевиден, а сам вопрос принадлежит к числу таких, на которые я предпочёл бы не отвечать, поскольку он вплотную затрагивает проблему влияния науки на эффективность ведения войны. Безвредна ли математика в том смысле, в котором, например, заведомо не безвредна химия? К двум названным выше вопросам я ещё вернусь в дальнейшем.
(2) Далее в своей инаугурационной лекции я сказал: "Масштабы Вселенной грандиозны, и если мы понапрасну тратим время, то напрасно прожитые жизни нескольких университетских донов[100] - не такая уж вселенская катастрофа". Дойдя до этого места, я, возможно, принял или попытался изобразить позу преувеличенного смирения, от которого только что отрёкся. Убеждён, что в действительности я имел в виду нечто другое, пытаясь высказать одной фразой то, что гораздо подробнее было изложено в §3. Я имел в виду, что мы, преподаватели, действительно обладаем нашими небольшими талантами, и мы вряд ли заблуждаемся, изо всех сил пытаясь полностью развить их.
(3) Наконец (в выражениях, которые ныне кажутся мне болезненно риторическими), я подчеркнул непреходящий характер математических достижений:
"То, что мы делаем, может быть, мало, но оно, несомненно, обладает непреходящим характером, а создать что-нибудь, представляющее хотя бы в малейшей степени не проходящий интерес, будь то образчик стихов или геометрическая теорема, означает создание чего-то такого, что целиком находится за пределами возможностей подавляющего большинства людей".
И далее:
"В дни конфликта между научными достижениями древности и современности следует сказать кое-что о науке, которая не началась с Пифагора и не закончится на Эйнштейне, а является самой старой и одновременно самой молодой из всех наук".
Всё это - "риторика", но суть сказанного представляется мне и поныне верной, и я могу изложить все затронутые мной идеи подробно, не вдаваясь в предварительное обсуждение любого из других вопросов, которые я оставлю открытыми.
7
Я исхожу из предположения, что пишу для читателей, которые преисполнены или были преисполнены в прошлом надлежащим духом амбиций. Первейшая обязанность человека, во всяком случае, молодого человека, состоит в том, чтобы быть амбициозным. Амбиция - благородная страсть, которая на вполне законном основании может принимать многие формы. Нечто благородное было в амбициях Аттилы[101] или Наполеона[102], но самые благородные амбиции движут теми, кто оставляет после себя нечто, имеющее непреходящую ценность.
"Что здесь, на уровне песка,
Меж сушею и морем,
Воздвигнуть мне иль написать
Пред тем, как ночь наступит?
Поведай мне о рунах, чтоб их я начертал,
Они помогут волн сдержать напор,
Иль о бастионах, чтобы их воздвиг я
На срок подолее того, что мне отпущен".
Амбиции были движущей силой почти всех лучших творений этого мира. В частности, практически все существенные вклады в человеческое счастье были сделаны амбициозными людьми. Приведем два знаменитых примера: разве Листер[103] и Пастер[104] не были амбициозными людьми? Или, на более скромном уровне, Кинг Жиллетт и Уильям Уиллетт? Кто в последнее время в большей степени способствовал человеческому счастью, чем они?
Особенно хорошие примеры можно почерпнуть из физиологии, просто потому, что она принадлежит к числу заведомо "полезных" наук. Мы должны уберечься от ошибки, обычно совершаемой апологетами науки, - ошибки, которой подвержен, например, профессор А.В.Хилл. Согласно этой ошибке, принято считать, будто те люди, которые в наибольшей степени способствовали процветанию человечества, много думали о своей высокой миссии во время своей работы, короче говоря, будто физиологи обладают особенно возвышенными душами. Физиолог действительно был бы рад вспомнить о том, что его работа облагодетельствует человечество, но мотивы, дающие ему силу и вдохновенье для его свершений, неотличимы от мотивов классического учёного-гуманитария или математика.
Существует множество весьма респектабельных мотивов, которые могут побудить людей проводить исследования, но три мотива гораздо важнее всех остальных. Первый мотив (без которого всё остальное обратилось бы в ничего) - интеллектуальное любопытство, жажда познать истину. Второй мотив - профессиональная гордость, беспокойство, которое можно унять, только свершив задуманное, стыд, охватывающий любого уважающего себя мастера, когда его творение недостойно его таланта. Наконец, третий мотив - амбиция, жажда заслужить репутацию и добиться положения, даже власти или денег, которые приносит с собой положение. Возможно, приятно ощущать, что ты сделал "свою работу", добавил радости или умерил страдание других, но это не является мотивом, побудившим тебя сделать твою работу. Поэтому если математик, химик или даже физиолог скажет мне, что движущей силой в его работе было желание облагодетельствовать человечество, то я не поверю этим словам (равным образом не стану думать о том, кто их произнесет лучше, если даже поверю). В действительности он руководствовался теми мотивами, которые я привёл выше, и в них нет ничего такого, чего следовало бы стыдиться любому достойному человеку.
8
Если интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция - доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, ни у кого нет лучших шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований - прелюбопытнейший; нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы самые причудливые штуки. Математика обладает разработанным до тончайших деталей увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя ценность, обладает наибольшей "долговечностью" по сравнению с достижениями всех других наук.
Мы можем убедиться в этом даже на примере полуисторических цивилизаций. Вавилонская и ассирийская цивилизации пали; Хаммурапи[105], Саргон[106] и Навуходоносор[107] - ныне пустые имена, тем не менее вавилонская математика и поныне представляет интерес, а вавилонская шестидесятеричная система счисления всё ещё применяется в астрономии. Но самым убедительным примером служит, конечно, Древняя Греция.
Древние греки были первыми математиками, чьи результаты актуальны для нас и поныне. Математика Древнего Востока может быть интересна для любознательных, но древнегреческая математика - "вещь" вполне реальная. Древние греки впервые заговорили на языке, который понятен современному математику. Как сказал мне однажды Литлвуд, древние греки - не умные школьники и не "кандидаты на стипендию" за отличные успехи, а "ученые из другого колледжа". Поэтому древнегреческая математика сохранила "непреходящее" значение - более непреходящее, чем даже древнегреческая литература. Архимеда[108] будут помнить, даже когда забудут Эсхила[109] потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, "бессмертны" - глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.
Математику нет необходимости всерьёз опасаться, что будущее будет несправедливо по отношению к нему. Бессмертие часто бывает смешным или жестоким: лишь немногим из нас суждено стать Огом, Ананией или Галилеем[110]. Даже в математике история иногда выкидывает странные трюки: Ролль[111] фигурирует во всех учебниках математического анализа, как если бы он был математиком того же ранга, как и Ньютон; Фарей обрел бессмертие потому, что не понял теорему, которую Харос строго доказал четырнадцатью годами раньше; имена пяти состоятельных норвежцев вошли в биографию Абеля только из-за акта сознательного слабоумия, исполненного с сознанием выполненного долга за счёт их величайшего соотечественника. Но в целом история науки вполне справедлива, и это особенно верно в отношении математики. Ни одна другая наука не обладает столь чёткими или единодушно принятыми стандартами, и люди, о которых хранят память математики, почти всегда заслуживают этого. Математическая слава, если вы сможете получить её, одна из самых прочных и долговечных.
9
Всё это весьма приятно для донов и особенно для профессоров математики. Иногда юристы, политики или бизнесмены высказывают предположение о том, что академическая карьера привлекает главным образом осторожных и неамбициозных людей, более всего заботящихся о собственном комфорте и безопасности. Такое мнение полностью неосновательно. Дон отказывается кое от чего, в частности, от шансов зарабатывать большие суммы денег; например, профессору очень трудно заработать в год 2000 фунтов стерлингов. Прочность положения, естественно, служит одним из соображений, облегчающих отказ от перспективы финансового процветания. Но Хусман отказался бы стать лордом Саймоном[112] или лордом Бивербруком[113] не по этой причине. Он бы отверг их карьеры из-за своих амбиций: ему бы претила мысль, что через какие-нибудь двадцать лет его забудут.
Но как больно сознавать, что при всех преимуществах академической карьеры вы не застрахованы от неудачи. Помню, как Бертран Рассел рассказывал мне о своём страшном сне. Ему снится, что он находится на верхнем этаже университетской библиотеки в году эдак 2100-м. Помощник библиотекаря обходит книжные полки с огромной корзиной. Он берет с полки одну за другой книги, смотрит их названия и либо ставит обратно на полку, либо швыряет в корзину. Наконец, очередь доходит до трёхтомного издания, в котором Рассел узнает последний сохранившийся экземпляр "Principia Mathematica"[114]. Он снимает с полки один из томов, перелистывает несколько страниц, явно озадаченный странными символами, захлопывает том, прикидывает его на руке и останавливается в нерешительности...
10
Математик, подобно художнику или поэту, создаёт образы. Если его "образы" долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Художник создаёт свои образы из форм и цветов, поэт - из слов. Изображение может воплощать "идею", но эта идея находится на уровне обычного здравого смысла и малосущественна. В поэзии идеи значат гораздо больше, но, как настаивает Хусман, важность идей в поэзии обычно преувеличивают: "Я не могу согласиться с тем, что существует нечто, именуемое поэтическими идеями... Поэзия - это не то, что сказано, а то, как сказано".
"Бушующего моря вод не хватит, чтоб смыть помазанье с чела владыки-короля".
Какие строки! Но могут ли выраженные в них идеи быть более банальными и более фальшивыми? Мы видим, что скудность идей вряд ли влияет на красоту словесного узора. С другой стороны, у математика нет другого материала для работы, кроме идей, из-за чего создаваемые им образы с большей вероятностью будут существовать, так как идеи изнашиваются со временем меньше, чем слова.
Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике. В этой связи я не могу не упомянуть одно всё ещё широко распространенное заблуждение (хотя, возможно, что ныне оно распространено далеко не так широко, как двадцать лет назад). Я имею в виду то, что Уайтхед назвал "литературным предрассудком": любовь к математике и эстетическая оценка её есть "мономания, охватывающая в каждом поколении лишь несколько эксцентриков".
Трудно было бы в наше время найти образованного человека, совершенно нечувствительного к эстетической привлекательности математики. Возможно, определить математическую красоту очень трудно, но то же самое можно сказать и о красоте любого рода: мы не знаем с абсолютной точностью, что подразумеваем под красивой поэмой, но это не мешает нам распознать её при чтении. Даже профессор Хогбен, который любой ценой стремится минимизировать значимость эстетического элемента в математике, не отваживается отрицать его реальность. "Разумеется, найдутся индивиды, для которых математика обладает холодной отстраненной привлекательностью... Эстетическая привлекательность математики для немногих избранных может быть вполне реальной". Но он предполагает, что их "немного" и их чувства холодны (это действительно очень смешные люди, которые живут в дурацких маленьких университетских городках, за стенами которых они укрываются от свежих ветров, дующих на широких открытых пространствах). В этом профессор Хогбен лишь вторит "литературному предрассудку" Уайтхеда.
А факт состоит в том, что существует мало предметов, более "популярных", чем математика. Большинство людей способны получать удовольствие от математики так же, как большинство людей обладают способностью наслаждаться приятной мелодией. И наверно, большинство людей в действительности больше интересуются математикой, чем музыкой. На первый взгляд картина может показаться иной, но этому легко найти объяснения. Музыку можно использовать для того, чтобы стимулировать массовые эмоции, - математика для этого не подходит; отсутствие музыкальных способностей воспринимается (вне всякого сомнения правильно) как нечто умеренно порочащее данное лицо, в то время как большинство людей настолько боятся самого названия математики, что они готовы совершенно искренне преувеличивать свою неспособность к математике.
Не требуется глубоких размышлений, чтобы понять абсурдность "литературного предрассудка". В любой цивилизованной стране имеется огромная масса любителей шахмат - в России в шахматы играет почти всё образованное население; и почти каждый любитель шахмат может распознать и оценить "красивую" шахматную партию или задачу. Однако шахматная задача - это просто упражнение по чистой математике (шахматная партия - не вполне, так как психология также играет роль), и каждый, кто называет шахматную задачу "красивой", аплодирует математической красоте, даже если речь идёт о красоте сравнительно низкого рода. Шахматные задачи - это хвалебные песнопения в честь математики.
Тот же урок на более низком уровне, но для более широкой публики мы можем извлечь из игры в бридж или, если спуститься ещё ниже, из тех колонок массовых газет, в которых публикуются головоломки. Почти вся необычная популярность этих игр и развлечений - дань притягательной силе рудиментарной математики, и лучшие составители головоломок, такие, как Дьюдени или "Калибан", практически не используют ничего, кроме самой элементарной математики. Они знают своё дело: всё, что нужно широкой публике, это небольшая интеллектуальная "встряска", а ничто не может сравниться с той встряской, которую даёт интеллекту математика.
Я мог бы добавить, что ничто в мире не доставляет большего удовольствия даже весьма известным людям (в том числе и тем из них, кто позволял себе пренебрежительные высказывания о математике), чем открытие или переоткрытие настоящей математической теоремы. Герберт Спенсер[115] опубликовал в своей автобиографии переоткрытую им теорему об окружностях, которую он доказал, когда ему было двадцать лет (не зная, что она была доказана Платоном более чем двумя тысячами лет раньше). Более свежий и более поразительный пример - профессор Содди (но его теорема действительно принадлежит ему).
11
Шахматная задача - настоящая математика, но в каком-то смысле это "тривиальная" математика. Сколь бы изысканными и тонкими, оригинальными и удивительными ни были ходы, нечто существенное всё же отсутствует. Шахматные задачи неважные. Лучшая математика серьёзна и красива - если угодно, "важна", но это слово многозначно, и слово "серьёзна" лучше выражает то, что я хочу сказать.
Я не имею в виду "практические" следствия математики. К этому вопросу мне ещё придётся вернуться в дальнейшем, а пока скажу лишь, что если шахматная задача, грубо говоря, "бесполезна", то о лучшей математике большей частью можно сказать то же самое, и лишь очень малая толика математики практически полезна, и что эта малая часть математики сравнительно неинтересна. "Серьёзность" математической теоремы кроется не в практических следствиях из неё, (обычно они ничтожны), а в значимости математических идей, между которыми теорема устанавливает взаимосвязь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что математическая идея "значительна", если её можно естественно и просто связать с широким комплексом других математических идей. Таким образом, серьёзная математическая теорема, теорема, которая связывает значительные идеи, весьма вероятно приводит к существенным продвижениям в самой математике и даже в других науках. Ни одна шахматная задача не оказала влияния на общее развитие научной мысли; Пифагор[116], Ньютон, Эйнштейн, каждый в своё время, изменили направление научной мысли.
Разумеется, серьёзность теоремы не в её следствиях; следствия лишь свидетельствуют о её серьёзности. Шекспир оказал огромное влияние на развитие английского языка, Отуэй не оказал почти никакого влияния, но Шекспир был лучшим поэтом по иной причине. Он был лучшим поэтом потому, что его поэзия была намного лучше. Незначительность шахматной задачи, подобно поэзии Отуэя, не в её последствиях, а в её содержании.
Существует ещё один вопрос, на котором я остановлюсь очень кратко, не потому, что он не интересен, а потому, что он сложен и я не обладаю должной квалификацией для того, чтобы вести сколько-нибудь серьёзную дискуссию по эстетике. Красота математической теоремы во многом зависит от её серьёзности: даже в поэзии красота строки может в какой-то мере зависеть от значимости заложенных в ней идей. Выше я привёл две шекспировские строки как пример подлинной красоты словесного рисунка, но строка
"Но лихорадка жизни отступила, и крепко спит он."
кажется мне ещё прекрасней. Образ столь же прекрасен, но в этом случае идеи исполнены смысла, тезис здрав, и поэтому строка глубже затрагивает наши чувства. Идеи оказывают существенное влияние на образ даже в поэзии и, естественно, в гораздо большей степени в математике, но я даже не пытаюсь обсуждать этот вопрос сколько-нибудь серьёзно.
12
Становится ясно, что для дальнейшего продвижения мне необходимо привести несколько примеров "настоящих" математических теорем - теорем, которые любой математик сочтет первоклассными. И здесь я оказываюсь в сильном затруднении из-за ограничений, при которых пишу. С одной стороны, мои примеры должны быть очень простыми и понятными читателю, не обладающему специальными познаниями в математике; не должно быть сложных предварительных объяснений, и читатель должен быть в силах проследить как за доказательствами, так и за формулировками теорем. Эти условия исключают, например, многие из красивейших теорем теории чисел, такие, как теорема Ферма о двух квадратах или закон квадратичной взаимности. С другой стороны, мои примеры должны быть заимствованы из "первоклассной" математики, математики активно работающего профессионального математика, и это условие исключает многое из того, что было бы легко сделать доступным для понимания широкого читателя, но что в то же время выходит за рамки логики и математической философии.
Вряд ли можно предложить лучший выход из положения, чем обращение к математике древних греков. Я сформулирую и докажу две из знаменитых теорем древнегреческой математики. Обе эти теоремы принадлежат к числу "простых" - как по идее, так и по исполнению, но несомненно, при всём этом обе - теоремы высочайшего класса. Каждая из этих теорем так же свежа и значима, как в пору своего открытия. Два прошедших с тех пор тысячелетия не оставили и морщинки на их лике. Наконец, интеллигентный читатель, сколь бы скудным ни был его математический багаж, может за какой-нибудь час одолеть и формулировки, и доказательства этих теорем.
1. Первый пример - предложенное Евклидом доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел(3).
Простыми называются числа
которые не могут быть разложены на меньшие множители(4). Например, 37 и 317 - простые числа. Именно простые числа служат тем материалом, из которого с помощью умножения образуются все числа: например, 666 = 2·3·3·37. Каждое число, которое не является простым, делится по крайней мере на одно простое число (разумеется, обычно оно делится на несколько простых чисел).
Требуется доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т.е. последовательность (1) никогда не кончается.
Предположим, что последовательность (1) кончается, т.е. что 2, 3, 5, ..., P - все входящие в неё числа (таким образом, P - наибольшее простое число). Следуя этой гипотезе, рассмотрим число
Ясно, что Q не делится ни на одно число 2, 3, 5, ..., P, так как при делении на любое из этих чисел даёт остаток 1. Но если число Q не простое, то оно должно делиться на какое-то простое число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, само число Q), больше, чем любое из чисел 2, 3, 5, ..., P. Это противоречит сделанному нами предположению о том, что не существует простого числа, которое бы превосходило число P, и, следовательно, это предположение неверно.
Метод доказательства reductio ad absurdum (доказательство от противного), столь любимый Евклидом, - один из самых лучших инструментов математика(5). Это гораздо более "хитроумный" гамбит, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешку или даже фигуру, но математик жертвует партию.
13
2. Мой второй пример - предложенное Пифагором(6) доказательство "иррациональности" числа .
Рациональные числа представляются в виде дроби где a и b - целые числа. Можно предположить, что a и b не имеют общих множителей, так как если бы они их имели, то на общий множитель можно было бы сократить. Утверждение "число иррационально" равносильно утверждению "число 2 не представимо в виде ", а оно в свою очередь равносильно утверждению о том, что соотношению
не могут удовлетворять целые значения a и b, не имеющие общего множителя. Это - теорема чистой арифметики, не требующая знания "иррациональных чисел" и не зависящая ни от какой теории иррациональных чисел.
Снова воспользуемся доказательством от противного. Предположим, что соотношение (2) выполняется и что a и b целые числа, не имеющие общего множителя. Из соотношения (2) следует, что число a чётно (так как 2b делится на 2), и, следовательно, число a чётно (так как квадрат нечётного числа нечётен). Если a чётно, то
где c - некоторое целое число, и, следовательно,
или
Следовательно, число b чётно, а это значит (по той же причине, что и прежде), что число b чётно. Таким образом, оба числа a и b чётны и поэтому имеют общий множитель 2, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, наше исходное предположение ложно.
Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение - не рациональное число, что не существует такой единицы длины, целыми кратными которой были бы диагональ и сторона квадрата). Действительно, если мы примем сторону за единицу длины и d - длина диагонали, то по другой хорошо известной теореме, также приписываемой Пифагору(7),
поэтому d не может быть рациональным числом.
Я могу привести сколько угодно красивых теорем из теории чисел, смысл которых может быть понят любым человеком. Например, утверждение, известное под названием "основной теоремы арифметики", гласит: любое целое число разложимо в произведение простых чисел, причём только одним (с точностью до порядка сомножителей) способом. Например, 666 = 2·3·3·37, и других разложений не существует; разложения 666 = 2·11·29 или 13·89 = 17·73 невозможны (в этом мы можем убедиться, не вычисляя произведения). Эта теорема, о чём свидетельствует её название, служит основой высшей арифметики, но её доказательство, хотя и не является "трудным", требует некоторых предварительных пояснений и для читателя-нематематика может показаться скучным.
Ещё одним примером знаменитой и красивой теоремы может служить теорема Ферма о двух квадратах. Простые числа (если исключить особое простое число 2) можно разбить на два класса - на простые числа
дающие при делении на 4 остаток 1 и простые числа
дающие при делении на 4 остаток 3. Все простые числа из первого класса можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:
Ни одно простое число из второго класса, например, 3, 7, 11, 19, в виде суммы квадратов двух целых чисел не представимо. (В этом читатель может легко убедиться с помощью проверки). Это утверждение является теоремой Ферма, которую с полным основанием принято считать одной из красивейших в теории чисел. К сожалению, не существует её доказательства, доступного пониманию кого-нибудь, кроме специалистов-математиков.
Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора[117] о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.
Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность - те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?
14
Прежде всего математические теоремы имеют явное и подавляющее превосходство в серьёзности. Шахматная задача - продукт очень ограниченного комплекса остроумных идей, которые отличаются одна от другой не слишком фундаментально и не имеют внешних последствий. Мы мыслили бы так же, даже если бы шахматы никогда не были изобретены, в то время как теоремы Евклида и Пифагора оказали глубокое влияние на человеческую мысль даже за пределами математики.
Таким образом, теорема Евклида имеет жизненно важное значение для всей структуры арифметики. Прямые числа - тот сырой материал, из которого мы должны строить арифметику, и теорема Евклида убеждает нас в том, что для выполнения этой задачи мы располагаем достаточным количеством сырья. Но теорема Пифагора имеет более широкий круг приложений и более приятную формулировку.
Следует заметить, что предложенное Пифагором доказательство допускает далеко идущее обобщение и после небольшого изменения основного принципа может быть применено к весьма широкому классу "иррациональных чисел". По аналогии с доказательством Пифагора, мы можем доказать (как это, по-видимому, сделал Теэтет[118]), что числа
иррациональны или (выходя за рамки доказанного Теэтета), что числа иррациональны(8).
Теорема Евклида говорит нам о том, что в нашем распоряжении имеется достаточный запас материала для построения непротиворечивой арифметики целых чисел. Теорема Пифагора и её обобщения говорят нам о том, что, когда мы построим арифметику целых чисел, она окажется недостаточной для наших целей, так как существует множество величин, привлекших наше внимание, которые мы не сможем измерить в целых числах. Диагональ квадрата - лишь самый очевидный пример. Глубокое значение этого открытия было сразу осознано древнегреческими математиками. Сначала они предполагали (в соответствии, как я предполагаю, с "естественными" требованиями "здравого смысла"), что все величины одного и того же рода соизмеримы, например, что любые две величины длины кратны одной и той же общей единице длины, и, исходя из этого допущения, построили теорию пропорций. Открытие Пифагора показало, что это допущение не верно, и привело к построению гораздо более глубокой теории Евдокса[119], изложенной в кн. V "Начал" Евклида. В наше время многие математики считают теорию Евдокса прекраснейшим достижением древнегреческой математики. Эта теория поразительно современна по духу и может рассматриваться как предтеча современной теории иррациональных чисел, совершившей переворот в математическом анализе и оказавшей сильное влияние на философию новейшего времени.
Впрочем, в "серьёзности" любой из теорем нет никаких сомнений, и поэтому мы лучше заметим, что ни одна из теорем не имеет ни малейшего "практического" значения. В практических приложениях нас интересуют лишь сравнительно небольшие числа. Только звёздная астрономия и атомная физика оперируют с "большими" числами, но и эти науки, по крайней мере ныне, едва ли имеют большее практическое значение, чем самая абстрактная чистая математика. Я не знаю, какая высшая точность полезна для инженера. Будем щедрыми и предположим, что речь идёт о десяти знаках после запятой. Тогда число 3,14159265 (значение числа ? с точностью восемь знаков после запятой) представимо в виде отношения
двух чисел, соответственно, девяти- и десятизначных. Количество простых чисел, не превышающих 1000000000, составляет 50847478. Этого достаточно для инженера, и он может чувствовать себя вполне счастливым без всего остального. О теореме Евклида сказано достаточно. Что же касается теоремы Пифагора, то ясно, что для инженера иррациональные числа не представляют интереса, так как он имеет дело только с приближёнными значениями различных величин, а все приближённые значения рациональны.
15
Под "серьёзной" принято понимать теорему, содержащую "значительные" идеи. Мне кажется, что нужно попытаться провести более подробный анализ тех качеств, которые делают математическую идею значительной. Сделать это очень трудно, и маловероятно, что проводимый мной анализ окажется очень ценным. Мы узнаем "значительную" идею, когда нам случается её видеть, как мы узнали значительные идеи в приведённых выше теоремах Евклида и Пифагора, но способность распознать важное требует весьма высокой степени математической мудрости и знания математических идей, которое берётся только от многолетнего пребывания в их компании. Поэтому я всё же попытаюсь проанализировать в какой-то мере "серьёзности" математической идеи и сделать анализ при всей его неадекватности разумным и понятным насколько это возможно. Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддаётся определению легко и просто.
Значительная математическая идея, серьёзная математическая теорема должна обладать "общностью" в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе её доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьёзной теоремы, если в ней явно недостаточно этих свойств. Нам остаётся только привести примеры отдельных курьезов, которые во множестве встречаются в арифметике. Приведу, два примера, заимствованных мной почти наугад из книги "Математические эссе и развлечения" Роуза Болла и Коксетера. (Русский перевод: Болл Р., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986. - Прим. перев.)
(а) 8712 и 9801 единственные четырёхзначные числа, равные целым кратным числам, полученным при записи в обратном порядке:
Других чисел, не превосходящих 10000, которые бы обладали этим свойством, не существует.
(б) Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,
Все это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика. Их доказательства не трудны и не интересны, а всего лишь немного утомительны. Соответствующие утверждения, как теоремы, не серьёзны. Ясно, что одна из причин этого (хотя, вероятно, не самая важная) - чрезмерная конкретность как формулировок, так и доказательств, не допускающих никаких обобщений.
16
"Общность" - многозначное и весьма опасное слово, и мы должны тщательно следить за тем, чтобы оно не слишком доминировало в наших обсуждениях. Оно используется в различных смыслах и в математике и в литературе о математике, и на общности, понимаемой в одном из смыслов, логики делают особый акцент, хотя для нас такое понимание логиков здесь полностью неуместно. В этом смысле, как нетрудно доказать, все математические теоремы обладают одинаковой и полной "общностью".
"Определённость математики, - говорит Уайтхед, - зависит от её совершенно абстрактной общности". Когда мы утверждаем, что 2+3=5, мы говорим об отношении между тремя группами "вещей", и эти "вещи" - не яблоки, монеты или вещи того или иного вполне определённого рода, а просто "вещи", "любые виды вещей". Смысл утверждения совершенно не зависит от индивидуальностей членов групп. Все математические "объекты", "сущности" или "отношения", такие, как "2", "3", "5", "+" или "=", и все математические предложения, в которые они входят, носят совершенно общий характер в том смысле, что они совершенно абстрактны. Одно из слов в утверждении Уайтхеда излишне, так как общность в этом смысле есть абстрактность.
Этот смысл слова "общность" важен, и логики поступают вполне справедливо, подчёркивая его, так как он воплощает в себя трюизм, о котором весьма многие из тех, кто должен был бы разбираться в этом лучше, склонны забывать. Например, нередко приходится слышать, как какой-нибудь астроном или физик заявляет, будто ему удалось найти "математическое доказательство" того, что физическая Вселенная должна вести себя так, а не иначе. Все такие заявления, если интерпретировать их буквально, представляют собой абсолютный нонсенс. Невозможно доказать математически, что завтра произойдёт солнечное или лунное затмение потому, что затмения и другие физические явления не входят в качестве составных частей в абстрактный мир математики. Я убеждён, что все астрономы были бы вынуждены признать правильность этого утверждения, сколько бы затмений они ни предсказали до этого.
Ясно, что сейчас нас интересует "общность" иного рода. Мы ищем различия в общности математических теорем, которые в смысле Уайтхеда все обладают одинаковой общностью. Таким образом, "тривиальные" теоремы (а) и (в) из §15 столь же "абстрактны" или "общи", как теоремы Евклида и Пифагора и как любая шахматная задача. Для шахматной проблемы безразлично, какого цвета фигуры - белые и чёрные или красные и зелёные и, вообще, существуют ли физические "фигуры". Во всех этих случаях мы имеем дело с одой и той же задачей, которую знаток легко держит в голове, а нам приходится трудолюбиво воспроизводить на шахматной доске. Нужно сказать, что шахматная доска и фигуры - всего лишь устройства, стимулирующие наше вялое воображение и имеющие к сути проблемы ничуть не больше отношения, чем доска и мел - к теоремам, доказываемым на лекции по математике.
Речь идёт не о той общности, которая присуща всем математическим теоремам, поиском которой мы занимались до сих пор. Сейчас нас интересует та, более тонкая и неуловимая, общность, которую я попытался в общих чертах описать в §15. И нам следует тщательно следить за тем, чтобы не делать чрезмерный акцент даже на такой общности (как это имеют обыкновение делать логики, например, Уайтхед). Это не просто "нагромождение тонкостей обобщения на тонкости обобщения", принадлежащее к числу выдающихся достижений современной математики. Некоторая мера общности должна присутствовать в любой теореме высокого класса, но чрезмерная дозировка общности неизбежно приводит к "бесцветности" теоремы. "Всё есть то, что оно есть, а не другое", и различия между вещами не менее интересны, чем сходство между ними. Мы выбираем своих друзей не потому, что они воплощают в себя все приятные качества, какие только могут быть присущи людям, а потому, что они являются теми, кто они есть. Так происходит и в математике; свойство, общее для слишком многих объектов, вряд ли может быть очень интересным, и математические идеи также становятся скучными, если не обладают индивидуальностью в достаточной мере. Здесь я по крайней мере могу процитировать Уайтхеда, выступающего в данном случае на моей стороне: "Плодотворная концепция заключается в широком обобщении, ограниченном удачной конкретизацией".
17
Второе свойство, которое я потребовал от значительной идеи, - её глубина. Определить его ещё труднее. Оно каким-то образом связано с трудностью; "более глубокие" идеи обычно труднее постичь, но вместе с тем это не одно и то же. Идеи, лежащие в основании теоремы Пифагора и её обобщений весьма глубоки, но современный математик не счёл бы их трудными. С другой стороны, теорема может быть в сущности поверхностна, но очень трудна для доказательства (таковы, например, очень многие "диофантовы"[120] теоремы, т.е. теоремы о решении уравнений в целых числах).
Создаётся впечатление, что математические идеи "стратифицированы", т.е. расположены как бы слоями, идеи в каждом слое связаны целым комплексом отношений между собой и с идеями, лежащими в верхних и нижних слоях. Чем ниже слой, тем глубже (и, как правило, труднее) идея. Так, идея "иррационального числа" глубже идеи целого числа, и по этой причине теорема Пифагора глубже теоремы Евклида.
Сосредоточим внимание на отношениях между целыми числами или в какой-нибудь другой группе объектов, лежащих в каком-нибудь конкретном слое. Может случиться так, что одно из этих отношений окажется полностью понятным, что мы сможем распознать и доказать, например, какое-нибудь свойство целых чисел, не зная о содержании слоев, расположенных ниже. Так, теорему Евклида мы доказали, рассматривая только свойства целых чисел. Но существует также немало теорем о целых числах, которые мы не можем должным образом оценить и ещё в меньшей степени доказать, не "копая" глубже и не выясняя того, что происходит в лежащих ниже слоях.
Нетрудно привести соответствующие примеры из теории простых чисел. Теорема Евклида очень важна, но не отличается особой глубиной: мы можем доказать, что существует бесконечно много простых чисел, не пользуясь ничем глубже понятия "делимости". Но как только мы узнаем, что простых чисел бесконечно много, сразу же возникают новые вопросы. Да, простых чисел бесконечно много, но как они распределены? Пусть N - некоторое большое число, например, или (13). Сколько существует простых чисел, не превосходящих числа N?(14) Стоит нам задать эти вопросы, как мы оказываемся в совершенно ином положении. Мы в состоянии ответить на них с поразительной точностью, но только если копнем глубже, оставив на время в стороне целые числа, и воспользуемся самым мощным оружием современной теории функций. Таким образом, теорема, дающая ответ на наши вопросы (так называемая "теорема о распределении простых чисел"), гораздо глубже теоремы Евклида или даже теоремы Пифагора.
Я мог бы легко увеличить число примеров, но понятие "глубины" неуловимо даже для математика, способного его распознать, и вряд ли я могу сказать ещё что-нибудь об этом понятии, что будет особенно полезным читателям-неспециалистам.
18
Есть ещё один вопрос, оставшийся после §11, где я позволил себе сравнить "настоящую" математику и шахматы. Мы можем считать теперь не подлежащим сомнению, что по самой своей сути, серьёзности и значимости настоящая математическая теорема имеет подавляющее преимущество перед шахматами. Для тренированного интеллекта почти столь же очевидно, что настоящая математика обладает большим преимуществом и в красоте, но это преимущество гораздо труднее определить или указать его местоположение, так как основной дефект шахматной задачи заключается просто в её "тривиальности", и контраст в этом отношении смешивается с любым чисто эстетическим соображением и возмущает последнее. Какие "чисто эстетические" свойства мы можем обнаружить в таких теоремах, как теорема Евклида и теорема Пифагора? Я рискну сделать лишь несколько разрозненных замечаний.
И та и другая теорема (разумеется, в теоремы я включаю не только формулировки, но и доказательства) отличаются весьма высокой степенью неожиданности в сочетании с непреложностью и экономичностью. Доказательства необычны и удивительны по форме; используемые инструменты кажутся по-детски простыми по сравнению с далеко идущими результатами, но все заключения с необходимостью вытекают из теоремы. Детали не загромождают основную линию доказательства - в каждом случае достаточно атаковать только в одном направлении. То же самое относится и к доказательству многих гораздо более трудных теорем. Чтобы оценить их по достоинству, требуются весьма основательные познания в математике. "Многовариантность" доказательства математической теоремы отнюдь не требуется: перечисление всех случаев - одна из наиболее скучных форм математического доказательства. Математическое доказательство должно напоминать созвездие с ясными и чёткими очертаниями, а не скопление звёзд с размытыми границами в Млечном Пути.
Шахматная задача также обладает неожиданностью и определённой экономичностью. Существенно, чтобы ход был неожиданным и чтобы каждая фигура на шахматной доске играла свою роль. Но эстетический эффект обладает кумулятивным действием. Существенно также (если только шахматная задача не слишком проста для того, чтобы быть по-настоящему занимательной), чтобы ходы, следующие за ключевым ходом, допускали много вариаций, каждая из которых требовала бы своего индивидуального ответа. "Если белые делают ход пешкой на b5, то чёрные отвечают ходом коня на e6, если ..., то ..., если ..., то...". Эффект был бы испорчен, не будь у игроков на каждый ход противника так много различных вариантов ответных ходов. Всё это самая настоящая математика и имеет она свои достоинства, но шахматные доказательства принадлежат к числу тех самых доказательств путём перечисления всех мыслимых случаев, которые по существу отличаются друг от друга не так уж сильно(15), к которым в настоящей математике принято относиться с презрением.
Я склонен думать, что мог бы усилить свою аргументацию, апеллируя к чувствам самих шахматистов. Не подлежит сомнению, что шахматный мастер, участник выдающихся партий и матчей, в глубине души с презрением относится к чисто математическому искусству шахматного задачерешателя. У настоящего шахматного мастера всегда есть немало в резерве, из которого он может почерпнуть нужный ход в случае необходимости: "если мой оппонент сделает такой-то ход, то я смогу парировать его такой-то выигрышной комбинацией". Но выдающаяся шахматная партия представляет собой главным образом психологический поединок, конфликт между одним тренированным интеллектом и другим, а не только коллекцию небольших математических теорем.
19
Мне необходимо вернуться к моей оксфордской апологии и рассмотреть немного более внимательно некоторые из пунктов, которые я отложил в §6. Теперь уже очевидно, что математика интересует меня только как искусство, как вид творческой деятельности. Но следует рассмотреть и другие вопросы, в частности, вопрос о "полезности" (или бесполезности) математики, по поводу которого существует много неясности. Нам необходимо также обсудить, так ли "безвредна" математика в действительности, как я утверждал в своей оксфордской лекции.
Науку или искусство принято считать "полезными", если они, хотя бы косвенно, увеличивают материальное благосостояние и комфорт людей, или способствуют их счастью, если воспользоваться этим словом в его примитивном обыденном смысле. Например, медицина и физиология полезны, так как они исцеляют страдания, инженерное дело полезно, так как оно помогает нам возводить дома и мосты и тем самым способствует повышению уровня жизни (разумеется, инженерное дело также причиняет и вред, но сейчас речь идёт не об этом). В этом смысле какая-то часть математики несомненно полезна. Инженеры не могли бы справляться со своей работой без хорошего "работающего" знания математики, и математика начинает находить приложение даже в физиологии. Таким образом, здесь мы находим почву для защиты математики. Возможно, это не лучшая и даже не особенно сильная защита, но нам необходимо её изучить. Более "благородные" приложения математики, если таковые существуют, приложения, разделяемые математикой со всеми видами творческой деятельности, для нашего анализа несущественны. Подобно поэзии или музыке, математика может способствовать "развитию и поддержанию возможной привычки ума" и тем самым увеличивать счастье математиков и даже нематематиков, но защита математики на этом основании означала бы повторение того, что я уже сказал. То, что нам необходимо проанализировать сейчас, - "грубая" польза от математики.
20
Всё это может показаться вполне очевидным, но даже здесь нередко бывает много путаницы, так как самыми "полезными" предметами обычно бывают те, изучать которые для большинства из нас особенно бесполезно. Полезно иметь в обществе адекватное количество физиологов и инженеров, но для обычных людей изучение физиологии или инженерного дела - не самые полезные занятия (хотя изучение этих предметов можно отстаивать, исходя из других оснований). Со своей стороны должен заметить, что никогда не оказывался в положении, когда бы научные знания, которыми я обладаю помимо чистой математики, давали бы мне малейшее преимущество.
Действительно, просто поразительно, какую малую практическую ценность имеет научное знание для обычных людей, как скучны и обыденны те фрагменты научного знания, которые имеют практическую ценность, и как практическая ценность научного знания почти обратна его предполагаемой полезности. Полезно уметь терпимо быстро производить арифметические вычисления (арифметика, несомненно, принадлежит к чистой математике). Полезно немного знать французский или немецкий язык, немного разбираться в истории и географии, возможно, даже в экономике. Что же касается химии, физики или физиологии, то скромные познания в этих науках не имеют вообще никакой ценности в обыденной жизни. Мы знаем, что газ горит, хотя его состав нам не известен; если ломается наша автомашина, то мы отправляем её в авторемонтную мастерскую; если у кого-нибудь из нас болит живот, то мы обращаемся к врачу или идём в аптеку. Мы полагаемся либо на здравый смысл и практический опыт, либо на профессиональные познания других людей.
Кроме того, полезность той или иной науки имеет побочный интерес, относящийся к педагогике и составляющий предмет забот директоров частных школ, которым необходимо давать рекомендации родителям, с пеной у рта требующих "полезного" образования для своих сыновей. Разумеется, мы отнюдь не имеем в виду, что если физиология является полезной, то большинство людей должно изучать физиологию. Смысл сказанного нами состоит в другом: развитие физиологии усилиями экспертов будет способствовать повышению комфортности большинства людей. Вопрос, представляющий интерес для нас сейчас, заключается в том, в какой мере математика может претендовать на полезность такого рода, какие разделы математики особенно сильно претендуют на полезность, и насколько интенсивное изучение математики может быть обосновано только из соображений полезности.
21
Возможно, уже стало очевидным, к каким заключениям я прихожу, поэтому мне хотелось бы сформулировать их сначала догматически, а затем рассмотреть несколько подробнее. Не подлежит сомнению, что значительная часть элементарной математики (я употребляю это слово в том смысле, в каком его используют профессиональные математики, - при таком понимании элементарная математика включает в себя, например, уверенное рабочее владение дифференциальным и интегральным исчислениями) обладает значительной практической полезностью. В целом эти разделы математики очень скучны; это те самые разделы, которые обладают наименьшей эстетической ценностью. "Настоящая" математика "настоящих" математиков, математика Ферма, Эйлера[121], Гаусса, Абеля и Римана, почти полностью "бесполезна" (это верно как в отношении "прикладной", так и в отношении "чистой" математики). Жизнь любого настоящего профессионального математика невозможно оправдать на основании одной лишь "полезности" его трудов.
Здесь мне необходимо коснуться одного заблуждения. Иногда выказывается мнение, что чистые математики приписывают себе в хвалу бесполезность своих трудов(16) и даже хвастаются тем, что эти труды не имеют практических приложений. Такое обвинение обычно исходит из неосторожного высказывания, приписываемого Гауссу, который якобы сказал, что если математика - царица наук, то теория чисел в силу своей абсолютной бесполезности - царица математики. Точную цитату мне так и не удалось найти. Я уверен, что высказывание Гаусса (если он когда-либо высказывал нечто подобное) весьма грубо искажается. Если бы теорию чисел можно было использовать для любой практической и явно почтенной цели, если бы её можно было непосредственно направить на достижение человеческого счастья или утоления человеческих страданий, как в случае физиологии или даже химии, то не подлежит сомнению, что ни Гаусс, ни какой-либо другой математик не были бы столь глупы, чтобы приуменьшать такие приложения или сожалеть о них. Но наука работает как во зло, так и на пользу (особенно во время войны). И Гаусса, и математиков меньшего ранга можно оправдать в их радости по поводу того, что существует по крайней мере одна наука (и это та самая наука, которой они занимаются), чью удаленность от обычной человеческой деятельности во всех её проявлениях необходимо блюсти в чистоте и неприкосновенности.
22
Существует ещё одно заблуждение, которое нам необходимо прояснить. Совершенно естественно предположить, что существует огромное различие в полезности между "чистой" и "прикладной" математикой. Это заблуждение: существует резкое различие между чистой и прикладной математикой, которое я сейчас объясню, но оно слабо влияет на их полезность.
Чем же чистая математика отличается от прикладной? На этот вопрос можно ответить со всей определённостью. Более того, по поводу ответа между математиками существует общее согласие. В моём ответе нет ничего хотя бы сколько-нибудь неортодоксального, но он нуждается в небольшом предисловии.
Следующие два раздела имеют слабый философский привкус. Философия не входит особенно глубоко в мои основные тезисы и не имеет жизненно важного значения для них, но я буду использовать слова, которые очень часто влекут за собой определённые философские импликации и поэтому они могут ввести читателя в заблуждение, если не объяснить, в каком смысле я буду использовать их в дальнейшем.
Я часто использую прилагательное "настоящий" так, как оно употребляется нами в обычном разговоре. Я уже говорил о "настоящей математике" и "настоящих математиках". С тем же успехом я мог бы говорить о "настоящей поэзии" или "настоящих поэтах", и я буду продолжать действовать в том же духе. Но я буду также использовать слово "реальность" в двух следующих различных значениях.
Прежде всего я буду говорить о "физической реальности", и при этом я буду снова использовать слово "реальность" в обычном смысле. Под физической реальностью я понимаю материальный мир дня и ночи, землетрясений и затмений, мир, который пытается описать физическая наука.
До сих пор у меня не возникало опасений относительно того, что у кого-нибудь из моих читателей могут возникнуть трудности с моим употреблением слов, но теперь я вступаю на более зыбкую почву. Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть "математической реальностью", и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует "в умах" и, что мы, в некотором смысле, конструируем её. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в своё описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики.
Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убеждён в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать её, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши "творения", по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения. Читатель, не любящий философию, может изменить язык - это мало что изменит в моих заключениях.
23
Контраст между чистой и прикладной математикой выступает, по-видимому, с наибольшей ясностью в геометрии. Существует наука чистой геометрии(17), включающая в себя многочисленные геометрии: проективную, евклидову, неевклидову и т. д. Каждая из этих геометрий переставляет собой модель, образ из идей, и судить о ней следует по интересу и красоте её индивидуального "образа". Это карта или картина, совместный продукт многих рук, частичная и несовершенная (но тем не менее точная на всём своём протяжении) копия фрагмента математической реальности. Но для нас сейчас важно то, что есть нечто такое, по отношению к чему чистые геометрии не являются картинами, а именно: пространственно-временная реальность физического мира. В том, что чистые геометрии не могут быть картинами реальности, нет ни малейшего сомнения, так как землетрясения и затмения не принадлежат к числу математических концепций.
Для постороннего человека это звучит несколько парадоксально, но для геометрии это - труизм. Возможно, я смогу пояснить свою мысль на примере: предположим, что я читаю лекцию по одной из систем геометрии, например, по обычной евклидовой геометрии, и рисую на доске фигуры, чтобы стимулировать воображение моей аудитории, - грубые чертежи из прямых, окружностей или эллипсов. Ясно, что истинность доказываемых мной теорем не зависит от качества моих чертежей. Их функция состоит лишь в том, чтобы донести до моих слушателей то, что я имею в виду, и если я смогу это сделать, то не будет пользы от того, что их перерисует искусный чертёжник. Мои чертежи выполняют вспомогательную педагогическую функцию и не являются тем, что составляет предмет моей лекции.
Сделаем ещё один шаг. Помещение, в котором я читаю лекцию, составляет часть физического мира и само обладает определённым образом. Изучение этого образа и общего образа физической реальности само по себе является наукой, которую можно назвать "физической геометрией". Предположим теперь, что в аудиторию поместили мощную динамомашину или массивное гравитирующее тело. Физики скажут нам, что геометрия помещения изменилась, что весь его физический образ немного, но совершенно определённо исказился. Стали ли ложными теоремы, которые я доказал. Ясно, что было бы глупо ожидать, будто на доказательствах теорем, которые я приводил на лекции, каким-то образом сказалось наличие в аудитории динамомашины или гравитирующего тела. Это аналогично предположению о том, что пьеса Шекспира изменилась от того, что некий читатель пролил на страницу чай. Пьеса не зависит от страниц, на которых она напечатана, и "чистые геометрии" не зависят от комнаты, в которой читается лекция или от любых других деталей физического мира.
Такова точка зрения чистого математика. Естественно, что прикладные математики, математические физики придерживаются другой точки зрения, так как они имеют дело с самим физическим миром, который также обладает своей структурой, или образом. Мы не можем дать точное описание этого образа, как в случае чистой геометрии, но можем сказать о нём нечто важное. Мы можем описать, иногда с достаточной точностью, иногда - лишь в общих чертах, отношения между некоторыми составляющими структуры физического мира и сравнить их с точными отношениями между составляющими какой-нибудь системы чистой геометрии. Мы можем уловить некоторые сходства между двумя наборами отношений, и тогда чистая геометрия обретает интерес для физиков. В этом случае мы получаем карту, согласующуюся с фактами физического мира. Геометр предлагает физику целый набор карт на выбор. Возможно, что одна карта будет лучше соответствовать фактам, чем другие. В этом случае геометрия, порождающая лучшую карту, окажется геометрией, наиболее важной для прикладной математики. Можно добавить, что оценка такой геометрии даже со стороны чистого математика может повыситься, так как нет математика настолько чистого, чтобы он был напрочь лишен интереса к физическому миру, но в той мере, в какой он уступит этому искушению, он утратит свою позицию чистого математика.
24
Есть ещё одно замечание, которое напрашивается в этой связи. Физикам оно может показаться парадоксальным, хотя в настоящее время парадокс выглядит менее удивительным, чем восемнадцать лет назад. Я приведу его почти в тех же словах, в каких он был сформулирован в моём докладе на секции А Британской ассоциации[122]. Моя аудитория почти целиком состояла из физиков, и поэтому вполне возможно, что моя речь была несколько провокационной. Впрочем, что касается её содержания, то я и сейчас целиком разделяю высказанную тогда позицию.
Я начал с утверждения о том, что различия между позициями математика и физика меньше, чем обычно принято думать. Самое важное заключается в том, что математик контактирует с действительностью гораздо ближе, чем физик. Такое утверждение может показаться парадоксом, так как именно физика, изучающего материальные предметы и явления, обычно принято называть "реалистом". Но достаточно немного поразмыслить, чтобы понять, что физическая реальность, какой бы она ни была, обладает весьма немногими атрибутами (если обладает ими вообще), которые здравый смысл интенсивно приписывает реальности. Стул может быть набором обращающихся вокруг ядер электронов или идеей в уме Господа Бога - каждое из этих описаний, возможно, обладает своими достоинствами, но ни одно из них не соответствует представлениям здравого смысла.
Далее я заметил, что ни физики, ни философы не дали сколько-нибудь убедительного описания "физической реальности" или того, как физик переходит от запутанной массы фактов или ощущений, с которой он начинает, к конструкции тех объектов, которые физик называет "реальными". Например, мы не можем сказать, будто бы нам известно, что такое физика, но это отнюдь не должно мешать нам понимать в общих чертах, что именно пытается делать физик. Ясно, что физик пытается скооперировать разрозненную массу сырых фактов, с которыми он сталкивается, имея в своём распоряжении некоторую определённую упорядоченную схему абстрактных отношений - ту разновидность схемы, которую физик может позаимствовать только из математики.
С другой стороны, математик имеет дело со своей собственной математической реальностью. Как было объяснено в §22, я предпочитаю "реалистическую", а не "идеалистическую" точку зрения на математическую реальность. Во всяком случае (и в этом состоял мой главный тезис), такая реалистическая точка зрения на математическую реальность гораздо более правдоподобна, чем на физическую реальность потому, что математические объекты в гораздо большей степени таковы, какими они кажутся. Стул или звезда ничуть не похожи на то, чем они кажутся; чем больше мы думаем об этом, тем более расплывчатыми становятся их очертания в мареве окружающих их ощущений; но "2" или "317" не имеют никакого отношения к ощущениям, и свойства числа выступают тем более отчётливо, чем пристальнее мы его рассматриваем. Возможно, что современная физика лучше всего укладывается в рамки идеалистической философии. Лично я в это не верю, но так говорят некоторые выдающиеся физики. С другой стороны, чистая математика представляется мне скалой, на которой зиждется идеализм: число 317 простое не потому, что мы думаем так, и не потому, что наш разум устроен так, а не иначе, а потому, что это так, потому, что математическая реальность устроена так.
25
Эти различия между чистой и прикладной математикой важны сами по себе, но не имеют особого отношения к нашему обсуждению "полезности" математики. В §21 я говорил о "настоящей" математике Ферма и других великих математиков - математике, имеющей непреходящую эстетическую ценность, как, например, лучшие образцы древнегреческой математики, математике вечной потому, что её лучшие произведения, подобно лучшим литературным произведениям, продолжают доставлять эмоциональное удовлетворение тысячам людей и поныне, тысячи лет спустя. Творцы этой математики были преимущественно чистыми математиками (хотя в то время различие между чистой и прикладной математикой было значительно менее чётким, чем теперь), но я думал не только о чистых математиках. К "настоящим" математикам я причисляю Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона[123] и Дирака. Великие современные достижения в области прикладной математики были и в теории относительности, и в квантовой механике, и эти разделы науки, по крайней мере сейчас, почти столь же "бесполезны", как и теория чисел. На добро или на зло работают скучные элементарные разделы прикладной математики, равно как и скучные элементарные разделы чистой математики. Время может коренным образом изменить всё это. Никто не предвидел, что теории матриц и групп, а также другие чисто математические теории найдут применение в современной физике, и вполне может случиться так, что какие-то разделы "высоколобой" математики неожиданно станут "полезными". Но, как показывает накопленный опыт, как в одной области знания, так и в другой, в практической жизни полезно то, что обыденно и скучно.
Я помню Эддингтона, подававшего счастливый пример непривлекательности "полезной" науки. Британская ассоциация проводила заседание в Лидсе, и кому-то пришла в голову мысль, что её членам, возможно, будет интересно послушать о приложениях науки в индустрии обработки шерсти. Но организованные с этой целью лекции и демонстрации потерпели фиаско. Выяснилось, что члены Ассоциации (независимо от того, были ли они жителями Лидса или нет) жаждали развлечений, а индустрия обработки шерсти не была особенно занимательной. Поэтому посещаемость лекций была разочаровывающе низкой. Что же касается лекций о раскопках на Кноссе, теории относительности или теории простых чисел, то они вызвали восторженные отзывы собиравшейся на них аудитории.
26
Какие разделы математики полезны?
Прежде всего те, что составляют школьную математику: арифметика, элементарная алгебра, элементарная евклидова геометрия, начала дифференциального и интегрального исчисления. Из этого перечня нам придётся исключить некоторое количество того, чему учат "специалистов", например, проективную геометрию. В прикладной математике полезны элементы механики (теорию электричества в том виде, в котором её преподают в школе, следует классифицировать как физику).
Полезна также значительная часть университетской математики, а именно та её часть, которая по существу служит продолжением школьной математики, но с более изощрённым аппаратом, и некоторые физики, такие, как теория электричества и гидромеханика. Следует помнить, что любой запас знаний всегда является преимуществом и что самые практичные математики могут оказаться в серьёзном затруднении, если их знания ограничены голым минимумом, включающим в себя только самое необходимое. Из этих соображений к каждому из перечисленных выше разделов математики необходимо немного добавить. Что же касается нашего общего заключения, то оно сводится к следующему: математика полезна в том объеме, в котором она востребована инженером высшей квалификации или физиком "средней руки", или, иначе говоря, "полезная" математика не отличается особыми эстетическими достоинствами. Например, евклидова геометрия полезна постольку, поскольку она скучна - нам ни к чему аксиомы о параллельных, теория пропорций или построение правильного пятиугольника.
Возникает одно прелюбопытное заключение: чистая математика в целом явно более полезна, чем прикладная. Чистая математика обладает преимуществом перед прикладной математикой и с практической, и с эстетической стороны. Наиболее полезен прежде всего математический аппарат, или математическая техника, а его изучают главным образом при помощи чистой математики.
Надеюсь, нет необходимости особо оговаривать, что я отнюдь не пытаюсь умалить или принизить математическую физику - великолепную научную дисциплину с замечательными проблемами, решение которых даёт широчайший простор самому буйному воображению. Но не заслуживает ли положение обычного прикладного математика небольшого сочувствия? Если он хочет быть полезным, то ему приходится использовать скучные, банальные методы, и он не может дать волю своей фантазии, даже если желает подняться до небывалых высот. "Воображаемые" вселенные намного прекраснее тупо построенной "реальной" вселенной, и большинство прекраснейших плодов фантазии прикладного математика должны быть отвергнуты сразу же после того, как их сотворили, на том жёстком, но достаточном основании, что они не согласуются с фактами.
Общее заключение достаточно понятно. Если под полезным знанием, как мы временно согласились, понимать такое, которое либо сейчас, либо в сравнительно недалёком будущем, будет способствовать материальному комфорту человечества (т. е. чисто интеллектуальное удовлетворение в расчёт не принимается), то огромная часть высшей математики бесполезна. Современная геометрия и алгебра, теория чисел, теория множеств и функции, теория относительности, квантовая механика - ни одна из этих наук не удовлетворяет критерию полезности намного лучше, чем другая, и нет ни одного настоящего математика, жизнь которого можно было бы оправдать на этой основе. Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риман и Пуанкаре?158) прожили свою жизнь напрасно; их вклад в комфорт человечества ничтожно мал, и мир без них ничего бы не потерял.
27
Против предложенного мной понимания понятия "полезность" можно было бы возразить, указав на то, что я определил его в терминах "счастья" или "комфорта", игнорируя общие "социальные" последствия математики, которым современные авторы с различными пристрастиями и вкусами стали уделять большое внимание. Например, Уайтхед (бывший математиком) толкует об "огромном влиянии математического знания на жизнь людей, их повседневные занятия, организацию общества". Хогбен (не питающий тёплых чувств к тому, что я и другие математики называем математикой и к чему Уайтхед относится вполне положительно) говорит о том, что "без знания математики, грамматики величины и порядка, мы не можем планировать рациональное общество, в котором благосостояние для всех и нищета ни для для кого" (равно как и многие другие авторы).
Не думаю, чтобы всё это красноречие могло особенно успокоить математиков. Язык обоих авторов изобилует чудовищными преувеличениями, и они оба игнорируют весьма очевидные различия. В случае Хогбена это вполне естественно, так как он по всеобщему мнению не математик; под "математикой" он понимает ту математику, которая доступна его разумению, - я называю её "школьной" математикой. Нельзя не признать, что эта математика имеет многочисленные приложения, которые, если угодно, можно было бы назвать "социальными". Хогбен всячески подкреплял их многочисленными интересными экскурсиями в историю математических открытий. Такой прием следует признать удачным, так как он позволяет Хогбену довести до сознания многих читателей его книги, которые не были и никогда не будут математиками, что в математике есть много больше, чем они думали. Вместе с тем Хогбен едва ли понимает, что такое "настоящая" математика (это становится ясно каждому, кто прочитает, что Хогбен пишет о теореме Пифагора, об Евклиде и Эйнштейне), и не питает к ней тёплых чувств (не скрывая этого). "Настоящая" математика для Хогбена - не более чем объект сочувственной жалости.
В случае Уайтхеда трудность заключается не в недостатке понимания или сочувствия: преисполненный энтузиазмом, он забывает об отличительных особенностях математики, которые ему хорошо знакомы. Математика, которая оказывает "огромное влияние" на "повседневные занятия людей" и "организацию обществ", - это математика не Уайтхеда, а Хогбена. Математика, которую можно использовать "для обычных целей обычными людьми", незначительна, а та математика, которую могут использовать экономисты или социологи, вряд ли поднимается до уровня колледжа. Математика Уайтхеда может оказать глубокое влияние на астрономию или физику, значительное - на философию (высокое мышление одного рода всегда с большей вероятностью влияет на высокое мышление другого рода), но на всём остальном сказывается весьма слабо. "Огромное влияние" математика Уайтхеда оказывает не на людей вообще, а на самого Уайтхеда.
28
Итак, существует две математики. Существует "настоящая" математика "настоящих" математиков и то, что я назвал бы, за отсутствием лучшего слова, "тривиальной" математикой. Существование тривиальной математики можно было бы оправдать ссылкой на Хогбена или других авторов его школы, но для реальной математики, которую надлежит оправдать как искусство, если её вообще можно оправдать, такой апологии не существует. В этой точке зрения, обычно разделяемой математиками, нет ничего парадоксального или необычного.
У нас остался ещё один вопрос, который необходимо рассмотреть. Мы пришли к заключению, что тривиальная математика в целом полезна, а настоящая математика - нет. Однако до сих пор нам неизвестно, не приносит ли тривиальная или настоящая математика вреда. Было бы парадоксально думать, что математика того или иного сорта может причинить много вреда в мирное время, поэтому мы с необходимостью приходим к рассмотрению влияния математики на войну. Обсуждать такие вопросы бесстрастно ныне весьма трудно, и я предпочёл бы уклониться от их рассмотрения. Тем не менее полностью воздержаться от обсуждения не представляется возможным. К счастью, такое обсуждение не обязательно должно быть длинным.
Существует одно утешительное заключение, приятное для настоящего математика: настоящая математика не оказывает влияния на войну. Никому ещё не удалось обнаружить ни одну военную, или имеющую отношение к войне, задачу, которой служила бы теория чисел или теория относительности, и маловероятно, что кому-нибудь удастся обнаружить нечто подобное, на сколько бы лет мы ни заглядывали в будущее. Правда, существует такие разделы прикладной математики, как баллистика и аэродинамика, которые были намеренно созданы для военных нужд и требуют тонкого математического аппарата. Их трудно назвать "тривиальными", но ни баллистика, ни аэродинамика не претендуют на ранг "настоящих". И та, и другая отталкивающе безобразны и нестерпимо скучны. Даже Литлвуд не смог придать баллистике респектабельность, а если это не удалось ему, то кому же это по силам? Таким образом, совесть реального математика чиста; нет ничего такого, что бы поставило под сомнение ценность его работы; как я сказал в своей инаугурационной лекции в Оксфорде, математика - занятие "безвредное и невинное".
С другой стороны, тривиальная математика имеет много военных приложений. Например, специалисты по артиллерийским системам и авиаконструкторы не могли бы выполнять свою работу без тривиальной математики. Общий эффект таких приложений ясен: математика способствует (хотя и не столь явно, как физика или химия) ведению современной научной "тотальной" войны.
Стоит ли сожалеть об этом - не так ясно, как может показаться на первый взгляд, так как по поводу современной научной войны существуют два резко противоположных мнения. Согласно первому, наиболее очевидному, мнению, воздействие науки на войну заключается лишь в том, что наука усиливает ужас войны, увеличивая страдания меньшинства, которое вынуждено сражаться, и распространяя эти страдания на другие классы. Это - самая естественная и ортодоксальная точка зрения. Но существует и другое, весьма отличное от первого, мнение, которое также кажется вполне логичным. Его с огромной силой сформулировал Холдейн[124] в "Каллиникусе"16). Можно согласиться с тем, что современная война менее ужасна, чем война до научных времён; что бомбы как оружие милосерднее, чем штыки; что слезоточивый и горчичный газы, насколько можно судить, - самое гуманное оружие, когда-либо изобретённое военной наукой; и что ортодоксальная точка зрения зиждется исключительно на сентиментализме, оперирующем смутными понятиями(19). Можно также настаивать на том (хотя это и не входило в число тезисов Холдейна), что выравнивание рисков, которое, как ожидается, в конечном счёте принесет наука, отрадно; что жизнь "штатского" имеет отнюдь не большую ценность, чем жизнь военного, а жизнь женщины стоит не больше, чем жизнь мужчины, что угодно лучше, чем сосредоточение варварства в каком-то одном классе, и что короче говоря, чем скорее война "будет исчерпана", тем лучше.
Я не знаю, какой из перечисленных тезисов ближе к истине. Вопрос этот весьма злободневен и волнует многих, но мне не хотелось бы останавливаться на его обсуждении. Он затрагивает только "тривиальную" математику, отстаивать которую скорее дело Хогбена, чем моё. Его математика изрядно запятнана участием в военных делах, тогда как моя математика не имеет к ним никакого отношения.
По этому поводу следует сказать ещё кое-что, так как существует по крайней мере одна цель, во имя которой реальная математика может служить войне. Когда мир сходит с ума, математик может найти несравненное успокаивающее средство в математике. Из всех искусств и наук математика - наиболее чистая и наиболее абстрактная, и математик из всех людей должен быть тем самым, кто легче всего может найти убежище там, где по словам Бертрана Рассела "по крайней мере один из наших благородных импульсов может наилучшим образом найти себе приют и спасение от унылого плена реального мира". Жаль, что в этом месте приходится делать одну весьма серьёзную оговорку: математик не должен быть слишком старым. Математика - наука не созерцательная, а творческая; тот, кто утратил способность или желание творить, не сможет получить от математики особенно много утешения. Это происходит с математиком довольно скоро. Это печально, но математик ничего не может сделать по этому поводу, и беспокоиться об этом было бы глупо.
29
Я закончу тем, что приведу обзор моих заключений, но изложу их в более личной манере. Я уже говорил в начале, что всякий, кто занимается апологией своего дела, обнаруживает, что он занимается апологией самого себя, и моя апология жизни профессионального математика, если разобраться, является попыткой оправдать мою собственную жизнь. Поэтому заключительный раздел моей "Апологии" по существу представляет собой фрагмент моей автобиографии.
Сколько я себя помню, мне никогда не хотелось стать кем-нибудь ещё, кроме как математиком. Думаю, всегда было ясно, что мои индивидуальные способности лежат именно в области математики, и мне никогда не приходило в голову поставить под сомнение вердикт старших. Не помню, чтобы в детстве я испытывал страсть к математике, и представления, какие могли сложиться у меня в ту пору, о карьере математика, были далеки от возвышенных и благородных. Я размышлял о математике как о серии экзаменов и стипендий: мне хотелось одолеть других мальчишек, и мне казалось, что в математике я смогу осуществить свою мечту наиболее определённо.
Мне было около пятнадцати лет, когда (весьма странным образом) мои амбиции приняли более определённые очертания. Есть такая книга, принадлежащая перу некого "Алана Сент-Обина"(20), под названием "Член Тринити-колледжа", одна из серии книг, описывавших то, что, как предполагалось, было жизнью в кембриджских колледжах. Думаю, что эта книга была хуже, чем большинство книг Мори Корелли, но книга миссис Маршалл не могла быть совсем уж плохой, если она могла зажечь воображение пятнадцатилетнего мальчишки. В книге было два героя - главный по фамилии Флауэрс, который почти всегда был хорошим, и второстепенный персонаж по фамилии Браун, человек менее благонадежный. Флауэрса и Брауна в университетской жизни подстерегали многочисленные опасности, самой ужасной из которых был игорный салон в Честертоне, который содержали две очаровательные, но чрезвычайно испорченные молодые леди. Флауэрс благополучно преодолевает все соблазны, становится Вторым ранглером и Старшим классиком, что обеспечивает ему автоматическое избрание в члены колледжа (надеюсь, что именно так он и поступил). Что же касается Брауна, то он не выдерживает искушений, разоряет своих родителей, спивается и спасается от белой горячки в самый разгар бури только молитвами младшего декана, с большим трудом получает степень бакалавра без отличия и в конце концов становится миссионером. Эти злоключения Брауна не наносят ущерба дружбе, и попивая портвейн с жареными каштанами в свой первый вечер в профессорской столовой, Флауэрс с сочувственной жалостью размышляет о бедняге Брауне. Флауэрс был вполне славным парнем (насколько "Алан Сент-Обин" нарисовал его образ), но даже мой неизощрённый ум отказывался признать его умным. Но если он мог проделывать всё, о чём написано в моей книге, то почему это не могу проделать я? В частности, меня восхитила финальная сцена в профессорской столовой, и с того времени и до тех пор, пока я не стал членом Тринити-колледжа, математика означала для меня главным образом членство в Тринити.
Прибыв в Кембридж, я тотчас же узнал, что членство в колледже подразумевало "оригинальную работу", но прошло немало времени, прежде чем у меня сформировалось сколько-нибудь ясное представление о моём самостоятельном исследовании. Разумеется, в школе я, как всякий будущий математик, обнаружил, что нередко могу решать задачи гораздо лучше, чем мой учитель, и даже в Кембридже мне удавалось решать задачи лучше некоторых преподавателей, хотя это, естественно, происходило гораздо реже, чем в школе. Но в действительности, даже когда прошёл Трайпос, я оставался полным невеждой в тех самых проблемах, которым посвятил всю остальную жизнь. О математике я по-прежнему думал как по существу "состязательной" науке. Впервые мне открыл глаза профессор Ляв, у которого я проучился несколько семестров. У него же я получил первое серьёзное представление о математическом анализе. Но более всего я обязан ему за то, что он, будучи по существу прикладным математиком, посоветовал мне прочитать знаменитый "Курс математического анализа" Жордана. Никогда не забуду изумление, которое охватило меня при чтении этой замечательной книги, ставшей первым источником вдохновения для столь многих математиков моего поколения. Прочитав её, я впервые понял, что такое математика. С тех пор я на свой собственный лад стал настоящим ("реальным") математиком со здоровыми математическими амбициями и подлинной страстью к математике.
За следующие десять лет я написал много работ, но очень мало из них имели хотя бы какое-то значение: лишь четыре или пять из них я всё ещё могу вспомнить с некоторым удовлетворением. Настоящий перелом в моей карьере наступил дважды: через десять или двенадцать лет - в 1911 году, когда я начал продолжительное сотрудничество с Литлвудом, и в 1913 году, когда я открыл Рамануджана. С тех пор все мои лучшие работы были связаны с их работами, и не подлежит сомнению, что моё сотрудничество с ними стало решающим событием моей жизни. Я и сейчас говорю себе, когда мне приходится выслушивать помпезных докучливых людей: "А всё-таки мне удалось сделать одну вещь, которую ни за что не удастся сделать вам: я сотрудничал с Литлвудом и Рамануджаном на равных". Именно им, Литлвуду и Рамануджану, я обязан необычно поздней зрелостью: мой расцвет как математика произошёл, когда мне было слегка за сорок и я был профессором в Оксфорде. Затем наступила фаза всё большего угасания - обычная судьба престарелых людей, в особенности престарелых математиков. В шестьдесят лет математик может оставаться вполне компетентным, но бесполезно ожидать от него оригинальных идей.
Ныне жизнь моя, если иметь в виду то, ради чего стоит жить, закончена, и я не могу сделать ничего такого, что бы сколь-нибудь значительно увеличило или уменьшило её ценность. Очень трудно быть беспристрастным, но я считаю, что моя жизнь прожита "успешно". Я был достаточно вознаграждён - не меньше, чем причитается человеку моих способностей. Я занимал ряд приличных и "престижных" постов. Не имел никаких хлопот, связанных с утомительной университетской рутиной. Я ненавидел "преподавание", и мне пришлось очень мало им заниматься. То, что выпало на мою долю по части преподавания, сводилось почти исключительно к руководству исследованиями. Я любил читать лекции и читал много лекций чрезвычайно способным студентам, и у меня всегда оставалось много свободного времени для собственных работ, которые служили великим и неизбывным счастьем моей жизни. Оказалось, что я легко могу работать с другими, и мне выпало основательно посотрудничать с двумя исключительными математиками. Это позволило мне внести в математику гораздо больший вклад, чем я мог бы рассчитывать в разумных пределах. Как и у любого другого математика, у меня были разочарования, но ни одно из них не было слишком серьёзным и не сделало меня особенно несчастным. Если бы мне предложили прожить такую же жизнь, не лучше и не хуже, когда мне было бы двадцать лет, то я согласился бы без малейших колебаний.
Было бы абсурдно полагать, будто я мог бы "добиться большего". Я не обладаю ни лингвистическими ни артистическими способностями и не питаю ни малейшего интереса к экспериментальной науке. Я мог бы быть сносным философом, но не очень оригинальным. Полагаю, что из меня мог бы получиться хороший адвокат, но журналистика - единственная профессия вне академической жизни, в которой я реально мог бы иметь шанс на успех. Нет сомнения в том, что я правильно выбрал профессию математика, если судить по критерию, который принято называть успехом.
Итак, если я хотел разумно комфортной и счастливой жизни, то мой выбор был правильным. Но адвокаты, биржевые брокеры и букмекеры нередко тоже ведут комфортную и счастливую жизнь, и что-то не видно, чтобы мир становился богаче от их существования. Есть ли какой-нибудь смысл в моём утверждении, что моя жизнь была менее тщетной, чем их? И снова я вижу лишь один возможный ответ: возможно, есть, но если это и так, то лишь по одной причине.
Я никогда не делал ничего "полезного". Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира. Я помогал воспитывать других математиков, но математиков такого же рода, как и я сам, и их работы, во всяком случае в той части, в которой я помогал им, были столь же бесполезны, как и мои собственные работы. По любым практическим меркам ценность моей математической жизни равна нулю, а вне математики она, так или иначе, тривиальна. У меня есть лишь один шанс избежать вердикта полной тривиальности - если будет признано, что я создал нечто такое, что заслуживает быть созданным. А в том, что мне удалось создать нечто такое, нет сомнения: вопрос заключается лишь в том, насколько ценно то, что я создал.
Смысл моей жизни или жизни кого-нибудь ещё, кто был математиком в том же смысле, в каком был математиком я, заключается в следующем: я внёс нечто своё в сокровищницу знания и помог другим сделать то же, и эти "нечто" обладали ценностью, которая отличалась только величиной, но никак не сущностью, от творений великих математиков или любых других художников, больших и малых, которые оставили после себя нерукотворные памятники.
Примечание
Профессор Броуд и д-р Сноу заметили в беседе со мной, что если я хочу продемонстрировать точный баланс между добром и злом, приносимым наукой, мне не следует чрезмерно сосредотачивать внимание на влиянии науки на войну и, что даже если я размышляю об этом влиянии, мне не следует забывать о том, что вмешательство науки влечёт за собой множество очень важных последствий помимо чисто разрушительных. Так (если начать с последнего пункта), я должен напомнить, что (а) организация всего населения на войну возможна только научными методами; (б) наука значительно увеличивает силу пропаганды, используемой почти исключительно во зло; и (в) наука сделала "нейтральность" почти невозможной или бессмысленной, в результате чего напрочь исчезли "острова мира", из которых после войны могли бы распространиться здравый смысл и восстановление. Всё это, разумеется, свидетельствует против науки. С другой стороны, если довести ситуацию до предела, то вряд ли возможно всерьёз считать, что добро, творимое наукой, не перевешивает полностью творимое ею же зло. Например, если бы каждая война уносила десять миллионов человеческих жизней, то суммарный эффект науки всё же сводился бы к увеличению средней продолжительности жизни. Короче говоря, §28 моей "Апологии" излишне "сентиментален".
Не стану оспаривать обоснованность этой критики, но по причинам, изложенным мной в предисловии, я счёл невозможным учесть замечания профессора Броуда и д-ра Сноу в тексте и ограничиваюсь этим признанием.
Д-р Сноу сделал также интересное замечание по поводу §8. Даже если мы согласимся с тем, что "Архимеда будут помнить и тогда, когда Эсхила забудут", то не является ли математическая слава немного слишком "анонимной" для того, чтобы быть полностью удовлетворительной? Исходя только из произведений, мы могли бы составить непротиворечивый портрет личности Эсхила (и в ещё большой степени Шекспира или Толстого), в то время как Архимед и Евдокс и после тщательного изучения их трудов остались бы только именами.
Более красочное замечание по этому поводу принадлежит мистеру Дж. М. Ломасу. Как-то раз мы с ним проходили мимо нельсоновской колонны[125] на Трафальгар-сквер[126], он спросил: "Если бы вы были статуей на колонне, воздвигнутой на одной из площадей Лондона, что бы вы предпочли: чтобы та колонна была такой высокой, что статуя скрылась бы из виду, или достаточно низкой, чтобы можно было бы различить детали статуи?" Я предпочёл бы первую альтернативу, д-р Сноу, по-видимому, предпочёл бы вторую.