По методу DNS решаются уравнения Навье-Стокса напрямую непосредственно без применения моделей турбулентности (например, модели «k-ε») в отличии от других методов расчета.
При решении уравнений Навье-Стокса находят для любой точки в потоке скорость течения и давление. Результатом расчета по методу DNS является нахождение этих параметров потока.
По методу DNS возможно выполнение расчета течения для различных значений числа Рейнольдса.
В программных пакетах уравнения Навье-Стокса, то есть дифференциальные уравнения в частных производных, решаются конечно-разностным методам. Из конечно-разностных методов для решения задач гидродинамики используется метод конечных объемов (МКО).
Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса состоит из замены дифференциальных уравнений с назначенными граничными условиями на алгебраические дискретные уравнения и применение конечно-разностного метода решения.
В конечно-разностном методе, как указывается в работе [12,с.26], производная заменяется на алгебраическое отношение . При стремлении размеров ячейки сетки к нулю конечно-разностное отношение стремиться к производной , т.е. решение стремиться к решению дифференциального уравнения. При этом пределом является предел всего разностного уравнения, а не только его отдельных производных.
Операция дискретизации позволяет получить алгебраические уравнения, которые решаются вычислительными средствами применяемого компьютера.
Флетчер в работе [13,с.73] показал пример дискретизации на примере уравнения теплопроводности
на уравнение
В этом уравнении параметр показывает параметр Т в узле (j, n) сетки.
Таким образом, в каждом из узлов находится значение , проблема нахождения непрерывного решения дифференциального уравнения решается нахождением суммы значений.
Решение должно плавно изменяться в промежутках между узловыми точками элементов сетки. Решение в точках, не совпадающих с узловыми точками сетки, находится интерполяцией решений, полученных для окружающих её узловых точек.
Пример построения расчетной (дискретной) сетки по данным [13,с.74]:
Из указанного выше уравнения можно найти неизвестное по известным значениям на слое n (временном слое). Такая формула будет являться алгоритмом решения. Полное решение для сетки является суммой решений для всех узлов [13,с.74]:
Процесс дискретизации вносит ошибку. Для окрестности узла, в пределах которой вычисляется производная, ошибка дискретизации находится разложением в ряд Тейлора. Главный член ряда достаточной корректно оценивает ошибку дискретизации при малой величине ΔА (стороне ячейки). Ошибка дискретизации является критерием оценки ошибки решения в зависимости от уменьшения размеров ячеек расчетной сетки.
__
Метод конечных объемов
По методу конечных объемов в пространстве проточной части насоса строится расчетная сетка, структурными элементами которой являются конечные объемы. Трехмерный конечный объем может быть представлен в виде куба, тетраэдра, гексаэдра. В элементе конечного объема уравнения решаются для точки, находящейся геометрическом центре этого элемента. Метод можно назвать «методом частиц в ячейках» [12,с.48].
Метод конечных объемов обеспечивает для исходный дифференциальных уравнений Навье-Стокса выполнение законов сохранения в интегральной форме, то есть обладает свойством консервативности [12,с.51]. Законы сохранения могут быть записаны для различных величин, например, массы, импульса и др.
Скорость накопления величины А в ячейке равна сумме конвективного и диффузионного притока в единицу времени [12,с.52]. По граням смежных ячеек решение интеграла должно быть одинаковым.
__
Химическая гидродинамика
К уравнениям, описывающим движение потока без химических реакций, добавляется описание химической кинетики методами, описанной в дифференциальных уравнениях химической гидродинамики. Уравнения химической гидродинамики приведены в работах [34], [35].
Решая численными методами совместно систему уравнений из дифференциальных уравнений вычислительной гидродинамики для турбулентного течения и дифференциальных уравнений химической гидродинамики, получают решение для турбулентного потока, в котором протекают химические процессы.
__
Академик Колмогоров А.Н. в работе [17] описал единственно верно модель структуры турбулентного потока. В этой же работе отмечается, что нобелевский лауреат, академик Ландау Л.Д. высказался о корректности предложенной Колмогоровым А.Н. модели. Согласно этой модели происходит передача энергии от вихрей макромасштаба более мелким и до колмогоровского масштаба. На колмогоровском масштабе энергия тратится на вязкое трение. Колмогоровский масштаб по сути совпадает с элементарным масштабом (см. выше), описанным вокруг произвольно взятой точки внутри потока. Очевидно, что корректная постановка численного расчета состоит в расчете мелких масштабов с переходом к макроскопическому масштабу, являющимся интегральным в численном расчете. По методу DNS напрямую решается система уравнений Навье-Стокса.
Для учета протекания химических реакций необходимо решаемую численным методом систему уравнений дополнить уравнениями химической гидродинамики.
__
Проблема решения уравнений Навье-Стокса рассмотрена Ефановым К.В. в работе [18] и возможно, что решена (попытка решения проблемы как физиком, а не как математиком).
Заключение
В монографии подробно приведена теория расчета валов на резонанс по теории колебаний и приведена теория расчета на резонанс методом конечных элементов.
Расчеты на резонанс следует выполнять в специальных компьютерных программных пакетах, а теорию расчета необходимо знать для глубокого понимания физики процесса и для выполнения расчета а также конструирования вала.
Предложен подход по выбору мешалки, по которому по геометрии аппарата предполагается структура потока, а затем под эту структуру выбирается мешалка. Такой подход является обоснованным технически по сравнению с подбором мешалок на основе простого сравнения их выходных данных по структуре потока.
Приведен технологический расчет аппарата с мешалкой, снабженного теплообменным устройством в виде рубашки.
Приведена теория идеальных реакторов и теория вычислительных методов гидродинамики.
Критериальные методики расчета имеют меньшее физическое обоснование по сравнению с прямым решением уравнений гидродинамики.
Структура потока на основе решения уравнений гидродинамики имеет большее физическое обоснование по сравнению с моделями идеальных реакторов и учета в них неидеальности.
Расчет процессов перемешивания следует выполнять численными методами в специальных программных пакетах
Литература
1. Васильцов Э.А., Ушаков В.Г. Аппараты для перемешивания жидких сред: Справочное пособие. – Л.: Машиностроение, 1979. – 272 с.
2. Лунц Е.Б. Упругие колебания. – М.: Изд-во МАИ, 1935. – 182 с.
3. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. 3-е изд. – М.: Высш. шк, 1975. – 248 с.
4. Бабаков И.М. Теория колебаний. 3-е изд. – М.: Наука, 1968. – 560 с.
5. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1965. – 303 с.
6 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10т. т. 6. Гидродинамика. – 3-е изд. – М.: Наука, 1986 – 736 с.
7. Кафаров В.В. Основы массопередачи. 2-е изд. – М.: Высш. шк., 1972. – 496 с.
8. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. – М.: Химия, 1969. – 624 с.
9. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика, т.1. М. Наука. 1965. 641 с.
10. Фрост У. Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир. 1980. – 536 с.
11. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. М.: ФАЗИС. 1998. 346 с.
12. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир. 1980. 619 с.
13. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.1. М.: Мир. 1991. 504 с.
14. Ефанов К.В. О перемешивании без закручивания потока // Нефтегазовые технологии и аналитика. – 2019. – №8. – С.53-54.
15. Ефанов К.В. Перемешивающее устройство с соосными пропеллерными мешалками противоположного вращения // Химическая техника. – 2018. – №6. – С.35-36.
16. Алямовский А.А. SolidWorks Simulation. Как решать практические задачи. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 448 с.
17. Колмогоров А.Н. Уравнение турбулентного движения несжимаемой жидкости Избранные труды. Механика и математика. М. Наука. 1985. – 470 с.
18. Ефанов К.В. Уравнения Навье-Стокса, отсутствие решения / Navier-Stokes equations, no solution. – М.: Литрес, 2020. – 18 с.
19. Кафаров В. В., Ветохин В.Н., Бояринов А.И. Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии. – М.: Наука, 1972. – 487 с.
20. Секулович М. Метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1993. – 664 с.
21. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. – М.: Химия, 1973. – 752 с.
22. Вихман Г.Л., Круглов С.А. Основы конструирования аппаратов и машин нефтеперерабатывающих заводов. – 2-е изд. – М.: Машиностроение, 1978. – 328 с.
23. Голованчиков А.Б. Дулькина Н. А., Козловцев В. А., Шагарова А. А. Расчет на ЭВМ экзотермического реактора идеального смешения. Методические указания к лабораторной работе. – Волгоград: ВолгГТУ, 2006. – 18 с.
24. Голованчиков А.Б., Дулькина Н.А., Ильин А.В., Шагарова А.А. Расчет на ЭВМ реактора идеального вытеснения для проведения эндотермических процессов. Методические указания к лабораторной работе. – Волгоград, ВолгГТУ, 2008. – 20 с.
25. Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. 10-е изд. – Л.: Химия, 1987. – 576 с.
26. Ефанов К.В. О возможности повышения эффективности аппаратов воздушного охлаждения газа применением привода с соосными колесами вентилятора // Химическая техника. – 2018. – №10.