мся, поэтому и планеты перед нашими глазами синхронно описывают петли. Коперник поместил в центр Солнце, но не смог отказаться от круговых орбит. Поэтому в его системе мира у планет сохранились некоторые эпициклы.
Рис. 1.38. Николай Коперник и страница его книги «О вращении небесных сфер».
Теория Коперника была проще теории Птолемея. Почему же она не сразу завоевала признание ученых? Потому что она противоречила некоторым наблюдательным фактам. Если Земля совершает периодическое движение по орбите, то должны наблюдаться не только петли на траекториях планет, но и регулярное параллактическое смещение звезд, а его в ту эпоху заметить не удавалось. Во второй половине XVI в. точность астрономических наблюдений не превышала 1 минуты дуги, а параллаксы звезд, как мы теперь знаем, не превышают 1 угловой секунды. Астрономам понадобилось три с половиной столетия, чтобы изобрести телескоп, усовершенствовать методы наблюдения и повысить их точность в 100 раз, прежде чем они надежно зафиксировали параллаксы ближайших звезд. Но кто мог знать в эпоху Коперника, что звезды от нас так далеки!
Не знал этого и Тихо Браге — лучший астроном эпохи Коперника. Он был уверен в непревзойденной точности своих наблюдений, однако звездных параллаксов заметить не смог, а потому решил, что Земля стоит на месте. И ведь в рамках научного метода он был абсолютно прав. Сегодня, используя орбитальное движение Земли, мы измеряем расстояние до звезд именно по их параллактическому смещению. Но кто мог знать в ту эпоху, что оно такое маленькое?
Рис. 1.39. Тихо Браге.
Опираясь на наблюдения, Тихо Браге не позволил Земле сдвинуться с места, но и теория Коперника ему тоже нравилась своей элегантностью. Поэтому Тихо создал свою, эклектическую, модель мира (рис. 1.41): Земля покоится в центре, Луна и Солнце обращаются вокруг нее, а все остальные планеты — вокруг Солнца. В ту эпоху это была вполне научная теория, объяснявшая все наблюдательные факты. Но просуществовала она недолго. Молодой сотрудник Тихо Браге немецкий математик Иоганн Кеплер перевернул своими расчетами всю небесную механику.
К концу жизни Тихо Браге понял, что он хоть и первоклассный наблюдатель, но математик слабый, а потому для обработки своих многолетних наблюдений пригласил Иоганна Кеплера — прекрасного математика с плохим зрением, человека, который ни разу в жизни не смотрел в телескоп. Кеплер, взяв за основу теорию Коперника, нашел для орбит форму, которая наилучшим образом объясняла их видимое движение (эллипс), и вывел эмпирические законы движения планет: первый, второй и третий законы Кеплера.
Рис. 1.40. Иоганн Кеплер.
Рис. 1.41. Схема Солнечной системы по Тихо Браге.
Первые два закона описывают орбиту планеты и характер движения по ней, а третий закон связывает между собой орбитальные параметры двух разных планет одной системы. Вот эти законы.
1. Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
3. Квадраты периодов обращения планет (T) вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет (a).
Рис. 1.42. Сечения эллипса — возможные орбиты небесных тел.
Эти эмпирические законы движения планет помогли Исааку Ньютону сформулировать закон всемирного тяготения (F ~ 1/R2) и сами получили теоретическое обоснование в рамках Ньютоновой механики. Ньютон уточнил и расширил законы Кеплера. Он доказал, что кроме эллиптических орбит, характерных для гравитационно связанных систем, возможно движение и по другим коническим сечениям — параболе и гиперболам, описывающим однократное сближение (пролет) двух гравитационно не связанных тел.
Рис. 1.43. Первый и второй законы Кеплера.
Второй закон Кеплера оказался частным случаем фундаментального закона природы о сохранении момента импульса в изолированной системе. А третий закон, сформулированный Кеплером для двух маломассивных тел (планеты 1 и 2), обращающихся вокруг одного массивного (звезда):
Ньютон обобщил на случай двух разных двойных систем (1 и 2) с произвольными массами компонентов (M1, m1 и M2, m2):
Астрономы с успехом применили эту формулу не только к спутниковым системам разных планет Солнечной системы, но и к двойным звездам, получив возможность определять их массы. Это сделало закон гравитации Ньютона поистине всемирным.
2. Основы небесной механики
Изучение физики обычно начинают с классической механики. Статистическую физику или квантовую механику интуитивно понять трудно, а классическая механика — это то, что у нас постоянно происходит перед глазами: кирпичи падают, мячики летают. Законы механики мы ощущаем на уровне интуиции, потому что с нами, людьми, происходит то же самое: время от времени мы падаем, иногда даже летаем. Так что небесная механика, самая изящная часть астрономии, для физика должна быть тоже интуитивно понятной.
За одну лекцию изучить небесную механику — дело нереальное, поэтому знакомиться с ней мы будем бегло. Советую вам прочитать замечательную книжку «Очерки о движении космических тел» Владимира Васильевича Белецкого — это один из наших сильнейших небесных механиков. Картинки там прекрасные, формулы тоже, и вообще от ее чтения получаешь наслаждение.
Итак, сегодня мы будем знакомиться только с основными идеями и простейшими формулами. Есть, к примеру, у нас планета (или любое другое небесное тело). Она движется и развивается под действием каких-то сил (рис. 2.1): гравитационных и негравитационных (светового давления, прямых ударов других тел). Есть также внутренние силы, которые вызывают деятельность вулканов, движение материков. Но сегодня мы будем говорить только о гравитации. И тему гравитации мы поделим пополам.
Первая часть представляет самый простой подход к изучению движения небесных тел. Поскольку большие небесные тела практически шарообразны (о причинах этого я скажу ниже), их притяжение друг к другу можно описать притяжением материальных точек, расположенных в центрах тел и содержащих всю их массу (это мы тоже сегодня докажем). В этом случае неплохо работает очень простой, известный даже школьникам закон Ньютона. Правда, он не вполне правилен, общая теория относительности (ОТО) корректнее описывает гравитацию, но для нас это пока несущественно.
Рис. 2.1. Различные силы, воздействующие на планету.
Есть более тонкий подход. Он учитывает, что тела являются протяженными и что все их конкретные точки находятся на разных расстояниях от соседнего тела. Значит, в общем случае нельзя подставлять одно и то же расстояние в первую формулу (рис. 2.1), надо учитывать зависимость гравитационной силы от расстояния до притягивающего тела (вторая формула). Это уже второе приближение к истине, и называется оно теорией приливов. Приливы — вообще штука интересная и очень важная, но об этом — в одной из следующих лекций. А сегодня будем говорить только о небесной механике.
Самая слабая сила
Давайте посмотрим на запись закона всемирного тяготения Ньютона, связывающего силу притяжения F между двумя материальными точками, в которых сосредоточены массы M и m, разделяемые расстоянием R: F = GMm/R2, — и осознáем одну неприятную вещь. А именно: значение коэффициента пропорциональности G = 6,672 ·10–11 H · м2/кг2, называемого гравитационной постоянной, очень малó в знакомых нам единицах измерения (метры, килограммы, ньютоны). Если сто граммов (столько весит полстакана воды) положить на ладошку — это будет сила тяжести в один ньютон.
Прикинем, каковы гравитационные силы. Пусть каждый из вас весит порядка ста килограммов (не хочу никого обидеть, а лишь округляю для простоты вычислений) и вы находитесь в аудитории на расстоянии 1 метра друг от друга. Подставляем эти значения в формулу и находим силу взаимного притяжения: F ~10–10 · 100 · 100/12 = 10–6 Н, это одна миллионная от силы в 100 граммов, или 1/10 миллиграмма. Это притяжение друг к другу вы не ощущаете, хотя закон говорит, что оно есть. То есть гравитация — самая слабая из всех природных сил, она практически неощутима. Почему же мы чувствуем, что нас притягивает к сиденью?
Очень малое значение гравитационного коэффициента говорит о том, что только большие массы могут ощутимо взаимодействовать друг с другом. Например, масса всей Земли — большая, поэтому мы ощущаем притяжение к ней. А сидя рядом друг с другом, даже и не догадываемся, что существует сила гравитации.
Есть и другая особенность. Если сравнить значение этой физической константы с другими, например зарядом электрона e = 1,60217739 · 10–19 Кл, что сразу бросается в глаза? Огромная разница в количестве значащих цифр. Естественно задать вопрос: электроном, значит, физики интересуются, измерили его заряд до десяти значащих цифр, а гравитацию почему-то проигнорировали? Почему они не хотят измерить ее точно?
Отнюдь нет — хотят, но не могут. Ведь в формулу наряду с G входит величина M, но откуда мы можем знать массу Земли — кто-то ее взвешивал? Ее ведь на весы не положишь. Ускорение свободного падения a = F/m, а значит, и произведение G · M мы можем измерить точно. Но чтобы отделить их друг от друга, надо действовать как-то по-другому. Например, можно сначала взвесить тело на весах, а потом посмотреть, как оно притягивает соседей. Для этого «древний» английский физик Дж. Мичелл (1793) придумал крутильные весы (рис. 2.2, 2.3) — очень чувствительный прибор, с помощью которого другой английский физик, Г. Кавендиш (1798), впервые измерил силу гравитационного притяжения двух лабораторных тел и определил значение гравитационной постоянной Ньютона. В нашем институте (Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга, МГУ) сделали такую же и потом очень долго мучились, чтобы решить типичную для физиков проблему: отделить от изучаемого явления все паразитные эффекты.