Портрет Эйлера.
«Читайте, читайте Эйлера — он учитель всех нас!»
* * *
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА
Если обозначить через θ угол наклона маятника относительно вертикали, то нелинейное дифференциальное уравнение колебаний маятника будет записываться так: d2θ/dt2 + sin θ = 0.
Для малых колебаний это уравнение можно заменить линейным, использовав в качестве приближенного значения тригонометрической функции sin θ сам угол θ. Полученное уравнение d2θ/dt2 + sin θ = 0 решить нетрудно: это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, так как в нем фигурирует вторая производная, однако ни вторая производная, ни θ не возводятся в степень, большую 1.
Приведем еще один пример нелинейного дифференциального уравнения: m∙(dv/dt) — v2 = mg, где g — ускорение свободного падения (9,8 м/с2). Это уравнение описывает движение снаряда в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату его скорости (v2 и будет нелинейным членом уравнения).
* * *
После того как задача n тел была решена для n = 2, физики и математики XVIII и XIX столетий приступили к решению этой задачи для n = 3, чтобы описать относительное движение Солнца, Земли и Луны. Были начаты две параллельные исследовательские программы: в рамках первой велся поиск общих приближенных решений с помощью метода возмущений, в рамках второй — поиск точных частных решений. К примеру, Лагранж решил задачу трех тел, рассмотрев систему, включающую Солнце, Юпитер и астероид Ахиллес. Самый знаменитый труд Лагранжа,
«Аналитическая механика», стал достойным завершением работ Ньютона по механике. Вообще этот математик считал Ньютона счастливейшим из ученых: Вселенная всего одна, а ее математические законы открыл именно он.
В то же самое время возник еще один вопрос, тесно связанный с задачей n тел, — вопрос об устойчивости Солнечной системы, которая в то время представляла собой систему из семи тел. Ответ на этот вопрос напрямую зависел от решения задачи n тел. Ньютон знал, что для задачи двух тел можно привести точное решение для любого промежутка времени, однако при рассмотрении трех тел все обстояло иначе.
Хотя взаимное притяжение планет слабее, чем их притяжение к Солнцу, этими силами нельзя пренебречь, поскольку они могут сместить планету с орбиты или даже вытолкнуть ее за пределы Солнечной системы.
В своем труде «О движении тел по орбитам» (De motu corporum in gyrum), изданном в 1684 году, Ньютон писал, что планеты не движутся по эллипсам и не проходят по одной и той же орбите дважды. Он признавал, что задача о расчете траекторий движения планет на произвольный интервал времени неподвластна человеческому разуму.
Лист рукописи «О движении тел по орбитам» Исаака Ньютона.
Оставался вопрос: устойчива ли Солнечная система? Не сойдут ли ее планеты в будущем со своих орбит? По мнению Ньютона, если планеты Солнечной системы постепенно сходили с орбит, требовалось радикальное решение: рука Бога периодически должна подталкивать каждую планету внутрь орбиты, восстанавливая равновесие. Лейбниц возражал Ньютону: Создателя нельзя уподоблять часовщику, который время от времени подводит часы.
Несколько десятилетий спустя великий физик и математик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827), который при Наполеоне занял пост министра внутренних дел, счел, что объяснил отклонения Сатурна и Юпитера от орбиты. Эти отклонения сильно беспокоили Ньютона, считавшего, что они объясняются исключительно законом всемирного тяготения и со временем скомпенсируют — ся. Юпитер, казалось, двигался с ускорением, Сатурн же постепенно замедлялся, и если бы эта тенденция сохранялась, то Юпитер покинул бы Солнечную систему, а Сатурн упал бы на Солнце.
* * *
ПОЛЕМИКА ЛЕЙБНИЦА И КЛАРКА
В 1715–1716 годах философ, математик, юрист, посол и человек множества других профессий Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) вступил в дискуссию по переписке с Сэмюелом Кларком (1675–1729), англиканским священником и сторонником Ньютона. Спор был посвящен влиянию механики Ньютона на христианские догматы. Лейбниц к тому времени уже вел активную переписку с самим Ньютоном по поводу авторства дифференциального и интегрального исчисления: оба ученых обвиняли друг друга в плагиате. Лейбниц во время этой переписки обсудил открытия Ньютона на примере задачи трех тел и устойчивости Солнечной системы.
Предполагалось, что Бог совершенен, следовательно, созданный Им мир — лучший из возможных, поэтому абсурдно предположение, что Бог должен регулярно подводить часы Вселенной.
По мнению Лейбница, Ньютон недооценил Бога. И действительно, в «Оптике» Ньютон писал: «В связи с вязкостью жидкостей, трением частей и слабой эластичностью тел движение с намного большей вероятностью будет затухать, нежели появляться, и неизменно будет сходить на нет». В ответ на это Лейбниц задавал вопрос: «Неужели машина, созданная Богом, способна приходить в такой беспорядок, что Он сам должен чинить ее подобно простому ремесленнику?»
Ньютон, дабы не унижать свое достоинство, предоставил право ответа на этот вопрос Кларку.
На этом полемика Лейбница и Ньютона завершилась, и английская математика надолго оказалась в изоляции. В результате пострадала и континентальная наука: французы, к примеру, долго следовали Декарту и его теории вихрей, пока Вольтер в 1727 году, вернувшись из Англии, не познакомил соотечественников с теорией тяготения Ньютона.
* * *
Лаплас доказал, что ускорение Юпитера и замедление Сатурна были вызваны второстепенными факторами, обусловленными особым расположением планет относительно Солнца. Солнечная система восстанавливала равновесие самостоятельно. Казалось, что спустя почти 100 лет Лейбниц праздновал победу над Ньютоном. Когда Лаплас представил свой «Трактат о небесной механике» Наполеону, тот заметил, что ни в одном томе этого монументального труда не упоминается Бог. Лаплас ответил: «Это потому, что я в этой гипотезе не нуждался». Система мира, описанная Лапласом, была полностью детерминированной и устойчивой. В своем «Опыте философии теории вероятностей» (1814) ученый писал:
«Мы должны рассматривать нынешнее состояние Вселенной как результат его предшествующего состояния и как причину состояния, которое воспоследует. Разум, которому в настоящий момент были бы известны все силы, движущие природой и относительное положение всех существ, ее составляющих, и который был бы достаточно обширным, чтобы подвергнуть все эти данные анализу, подытожил бы в одной и той же формуле движения величайших тел Вселенной и мельчайших атомов: для этого разума ничто не было бы неопределенным, и грядущее, равно как и прошлое, предстали бы перед его глазами.
То совершенство, которым человеческий разум наделил астрономию, есть лишь слабый отголосок этого разума. Открытия человека в области механики и геометрии наряду с открытием закона всемирного тяготения позволили описать теми же аналитическими выражениями прошлое и будущее состояние системы мира».
Однако Лаплас был очень и очень далек от истины. В своих уравнениях, описывавших систему «Солнце-Юпитер-Сатурн» (задачу трех тел) ученый пренебрег одним слагаемым, которое он счел слишком малым. Но это слагаемое могло неограниченно возрастать и вести к потере устойчивости Солнечной системы. В отличие от Лагранжа, крайне скрупулезного в расчетах, Лаплас был подобен лису, заметавшему собственные следы хвостом. Он часто забывал указывать источники, из которых брал те или иные результаты, и создавалось впечатление, что все они принадлежали ему лично. Математические задачи, с которыми Лаплас сталкивался в физических исследованиях, он решал так же небрежно. Американский астроном, который перевел «Трактат о небесной механике» на английский язык, говорил, что каждый раз, когда он видел фразу «нетрудно видеть, что…», то понимал: для восстановления пропущенного потребуется несколько часов упорного труда.
Портрет Лапласа (1749–1827), «Ньютона революционной Франции».
Многие физики и математики XIX века посвятили себя поискам полного решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Со времен великого Ньютона до 1900 года на эту тему было написано более 800 работ.
Среди математиков, пытавшихся справиться с этой задачей, нашелся и человек, сыгравший ключевую роль в создании теории хаоса, — гениальный Анри Пуанкаре (1854–1912).
Еще в детстве Пуанкаре проявлял живой интерес к математике, однако в остальном он был неуклюжим и рассеянным. Он считается последним математиком-универ салом: в отличие от узких специалистов, Пуанкаре интересовало буквально все — он занимался анализом, дифференциальными уравнениями, группами, топологией, небесной механикой и математической физикой, а также философией, преподаванием и просветительской работой. Разумеется, он был первым математиком, кто столкнулся лицом к лицу с хаосом при решении задачи трех тел.
Жюль Анри Пуанкаре в возрасте 36 лет.
«Мысль — это всего только молния в ночи. Но в этой молнии — все».
Знаменитая работа Пуанкаре, посвященная этой задаче, была опубликована в 1890 году, когда ученому было всего 36 лет, однако ее история началась раньше.
В 1885 году европейские математики узнали, что под покровительством Оскара II, короля Швеции и Норвегии, пройдет важный международный математический конкурс. Оскар II, изучив ряд математических дисциплин в университете, чувствовал, что математике нужно придать новый толчок. В рамках международного конкурса была учреждена премия для того, кто сможет решить задачу трех тел и открыть путь к изучению устойчивости Солнечной системы.