Известно, что скорость распространения волн v = λ/Т, где λ — длина волны, Т — период колебаний в каждой точке, тогда как для волн на воде v пропорциональна не λ, а √λ.
Теоретические расчеты показали, что выражение для скорости распространения волны с учетом кругового движения частиц воды может быть принято в следующем виде:
Заметим, что с такой скоростью распространяются волны лишь на «глубокой воде», когда глубина h много больше λ. В случае же «мелкой воды» (когда h =<λ) скорость волны зависит лишь от глубины:
ЕСТЕСТВЕННО, ЧТО ТЕРМИН «МЕЛКАЯ ВОДА» (ВПРОЧЕМ, КАК И ПОНЯТИЯ «МНОГО» — «МАЛО», «ВЫСОКИЙ» — «НИЗКИЙ» И ДР.) ВЕСЬМА УСЛОВЕН И ОТНОСИТЕЛЕН. НАПРИМЕР, ДЛЯ ДЛИННЫХ ВОЛН, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯХ В ОКЕАНЕ, ЕГО СРЕДНЯЯ ГЛУБИНА (ОКОЛО 5 КМ) УЖЕ ОКАЗЫВАЕТСЯ МАЛОЙ. ВОЗНИКАЮЩИЕ В ЭТОМ СЛУЧАЕ ВЕСЬМА ОПАСНЫЕ ВОЛНЫ НОСЯТ НАЗВАНИЕ «ЦУНАМИ».
Для уединенных волн Рассел установил следующие свойства:
1) постоянство скорости и неизменность формы отдельной уединенной волны;
2) зависимость скорости v от глубины канала h и высоты волны а в виде v = √(g(a + h)), где g — ускорение свободного падения, при этом a<h;
3) распад достаточно большой волны на две (или более) уединенные волны;
4) наблюдаются только волны повышения.
Необходимо отметить существенное отличие волн на воде от звуковых, световых и радиоволн. Последние можно складывать на основе принципа Гюйгенса, они обладают свойством дифракции и интерференции.
При наложении двух когерентных волн возникает новая волна, форма которой определяется алгебраическим или векторным сложением двух первичных волн. Это свойство волн, как известно, лежит в основе радиосвязи и телевидения. На языке математики это вытекает из линейности уравнений, описывающих эти волны.
Это значит, что к одному решению можно прибавить другое и получить новое решение.
Если волны имеют малую амплитуду (высоту), то при некотором ее увеличении форма и скорость распространения волны не изменяются.
Для волн в жидкости это уже не соблюдается, т. е. складывать волны можно лишь очень малых амплитуд.
Если сложить волны Герстнера, то в этом случае мы не получим новой волны, которая могла бы реально существовать.
Таким образом, уравнения гидродинамики нелинейны.
Исследования акустических, световых и радиоволн с большой амплитудой выявили также их нелинейность. И лишь в середине нашего столетия, особенно после создания лазера, появились нелинейная оптика, нелинейная акустика, нелинейная радиофизика и другие «нелинейные науки».
ПОЧЕМУ УЕДИНЕННУЮ ВОЛНУ НАЗВАЛИ СОЛИТОНОМ?
Существует еще одна интересная особенность уединенной волны. Еще Рассел заметил, что две уединенные волны после столкновения полностью сохраняют свою форму и скорость движения. Однако от его внимания ускользнуло, что если взаимодействуют две волны — высокая и низкая, то большая замедляется и уменьшается, а малая — ускоряется и растет. Когда малая волна вырастет до размера большой, а большая соответственно уменьшится, то они отрываются друг от друга и далее бывшая малая уходит вперед, а бывшая большая отстает.
Короче говоря, уединенные волны проявляют очень большое сходство с частицами, т. е. две волны не проходят друг через друга: они сталкиваются и отталкиваются друг от друга подобно резиновым мячам.
Это обстоятельство (подобия уединенных волн и частиц) привело к тому, что в 1965 г. уединенная волна получила название солитона, созвучного электрону, протону, фотону и другим названиям элементарных частиц, подчеркивающего тем самым общность их волновых и корпускулярных свойств.
ЗАЧЕМ НАДО ИЗУЧАТЬ СОЛИТОНЫ?
Выдающийся ученый Герман Гельмгольц (1821–1894) сделал одно из фундаментальных открытий, казалось бы, в далеких друг от друга областях естествознания — физиологии и гидродинамике.
Им была измерена скорость распространения нервного импульса, в наше же время убедительно доказано, что нервный импульс есть не что иное, как своеобразная уединенная волна. Гельмгольцем было показано также, что вихри в воде обладают также свойствами, которые делают их похожими на частицы. Иначе говоря, вихри — это солитоноподобные возбуждения, и их исследование, изучение характера их взаимодействия имеют важное практическое значение.
Значение открытия солитона трудно переоценить. Были обнаружены вихри в космосе в виде спиральных структур гигантских галактик (к спиральным галактикам относится и наша Галактика). Существование вихрей в космосе позволило по-новому взглянуть на проблему рождения, эволюции звезд и галактик, т. е. способствовало новому подходу к решению ряда космических проблем, в частности появлению вихревой космогонии (космогония — раздел астрономии, в котором изучают вопросы происхождения и развития небесных тел).
СУЩЕСТВУЮТ ЛИ СОЛИТОНЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ?
Благодаря работам выдающегося советского ученого Я.И.Френкеля (1894–1952) была разработана атомная модель движущейся дислокации (модель Френкеля — Канторовой) — дислокации ФК, сыгравшей огромную роль в современной физике твердого тела, а следовательно, в современной науке и производстве, связанных с холодной и горячей обработкой металлов (ковкой, резанием, литьем и т. д.).
Общеизвестна модель строения большинства твердых тел, имеющих кристаллическую структуру. В узлах кристаллической решетки находятся атомы или ионы, совершающие колебательное движение относительно положения равновесия. Фундаментальная идея, высказанная Я. И. Френкелем, заключается в том, что некоторые атомы или ионы могут покидать узлы решетки и блуждать по кристаллу, а их место становится вакантным, т. е. пустым.
Это пустое место получило название вакансии; самое же важное в том, что она может также перемещаться по кристаллу подобно частице. По выражению самого Френкеля, эти вакансии можно рассматривать как своего рода «отрицательные атомы». Представление о вакансиях как частицах оказалось исключительно важным.
Оно было применено выдающимся физиком-теоретиком Полем Дираком в 1928 г. для создания теории антиэлектронов, т. е. позитронов. Впоследствии идея о вакансиях-дырках получила применение и в теории полупроводников.
Таким образом, согласно модели Френкеля — Канторовой, дислокация ФК — это особого рода дефект в кристаллической структуре твердого тела или солитон со всеми его особенностями.
Предельный случай дислокации — это вакансия в кристаллической решетке. Как уже отмечалось, она может перемещаться по кристаллу, но это перемещение может осуществиться тогда, когда какой-либо атом переместится на свободное место, преодолев силы притяжения со стороны окружающих его атомов. Гораздо легче осуществляется перемещение дефекта, в котором атомы вокруг вакансии также смещены. Этот дефект и есть дислокация, которая может перемещаться по кристаллу как частица, не изменяя своей формы.
ГДЕ ЕЩЕ ПРИМЕНЯЮТ СОЛИТОНЫ?
Наука о нелинейных колебаниях и солитонах является одной из самых молодых, ибо только в последнее десятилетие осознана общезначимость солитонов и сделан ряд физических и математических открытий, а сама теория солитонов появилась лишь во второй половине XX в. Потребуется, видимо, не менее 20–30 лет, чтобы наука о солитонах «окрепла и твердо стала на ноги».
То, что она имеет большое будущее, ни у кого не должно вызывать сомнений, так как нигде единство природы и универсальность ее законов не проявляются так наглядно и убедительно, как в колебательных и волновых процессах.
Оглянитесь вокруг! Везде вы столкнетесь с колебательным движением, а весь мир пронизан электромагнитными волнами. Колебания кустов и деревьев; качелей и маятника в часах; биение сердца и колебание зданий, станков и механизмов; колебательные процессы в телевизоре, саксофоне, океанском лайнере и самолете… И все это изучает единая наука — теория колебаний и волн, в которой все больший вес приобретают нелинейные процессы и эффекты.
Сейчас изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, сверхпроводниках и живых организмах, в атмосфере Земли и планет, в Галактиках. Есть предположение о том, что элементарные частицы (например, протон) тоже можно рассматривать как солитоны, что могут существовать солитоны, несущие магнитный заряд.
Уже начинается применение солитонов для хранения и передачи информации, а это со временем может привести к существенным и даже революционным изменениям, например, в технике связи, принципах работы ЭВМ и других областях человеческой деятельности.
Нам трудно сейчас судить о других технических и промышленных возможностях использования солитонов. В жизни было много случаев, когда использование тех или иных теоретических и экспериментальных открытий было проблематичным. Даже великие Рентген и Герц не только не увидели, но и подвергли сомнению вероятность практического применения открытых ими целительных лучей и электромагнитных волн!
Итак, солитон — это волна. Но этот же солитон похож на частицу. Решение солитонного типа, как показано недавно советским физиком В. И. Патвиашвили, есть и у уравнений, описывающих атмосферу. Образование, которое соответствует этому решению, по своим свойствам очень близко антициклону. Там, где есть вихри, могут, следовательно, возникать солитоны. С другой стороны, сами вихри и более сложные объекты, построенные из вихрей, можно рассматривать как многомерные солитоноподобные образования.
В 1958 г. акад. Р. 3. Сагдеев показал, что уединенные волны могут распространяться и в плазме. Таким образом, изучая солитоны, мы входим в круг вопросов о самом мироздании, а в этом не только познавательный, но и глубокий философский аспект науки о солитонах.