Чтобы получить простую параболу, Галилею нужно было предположить, что боковое движение не замедляется, а продолжается вечно. Это был пример его закона инерции, который гласит, что движущееся тело остается в движении с той же скоростью и в том же направлении, если на него не действуют внешние силы. Для реального брошенного тела сопротивление воздуха будет такой внешней силой. Но, по мнению Галилея, в качестве приближения лучше проигнорировать это, чтобы охватить львиную долю истины и красоты в том, как двигаются предметы.
От качающейся люстры к системе глобального позиционирования
Согласно легенде, Галилей сделал свое первое научное открытие, еще будучи студентом-медиком. Однажды во время церковной службы в Пизанском соборе он заметил, что висевшая над головами люстра раскачивается подобно маятнику[120]. Ее двигали потоки воздуха, и Галилей подметил, что для одного колебания всегда требуется одно и то же время – независимо от того, сильное оно или слабое. Это удивило его. Как могут большие и маленькие колебания занимать одинаковое время? Но чем больше он над этим думал, тем логичнее казался ответ. Да, при большом отклонении люстра проходила большее расстояние, но и двигалась она быстрее. Возможно, эти два эффекта уравновешиваются? Чтобы проверить эту догадку, Галилей измерил время колебания с помощью собственного пульса. И действительно, каждое колебание длилось одинаковое количество его ударов.
Эта легенда чудесна, и мне хочется в нее верить, однако многие историки сомневаются в ее истинности. Она дошла до нас от первого и самого преданного биографа Галилея – Винченцо Вивиани. Этот молодой человек был помощником и учеником Галилея в конце жизни ученого, когда тот ослеп и жил под домашним арестом. Разумеется, испытывая вполне понятное почтение к своему старому учителю, Вивиани приукрасил пару историй, когда писал биографию ученого после его смерти.
Но даже если история недостоверна (но, может, и нет!), мы точно знаем, что Галилей проводил опыты с маятниками еще в 1602 году и писал о них в книге «Две новые науки». В этой книге, построенной как сократовский диалог, один из персонажей говорит так, словно был тогда в соборе с тем мечтательным юным студентом: «Тысячи раз наблюдал я колебания, в особенности церковных паникадил, подвешенных часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения»[121],[122]. В остальной части диалога разъясняется, что маятнику требуется одно и то же время, чтобы пройти дугу любого размера. Итак, мы знаем, что Галилей был хорошо знаком с явлением, описанным в рассказе Вивиани; остается только догадываться, действительно ли именно он открыл его в молодости.
В любом случае утверждение Галилея, что колебания маятника занимают одно и то же время, не совсем верно; для больших размахов потребуется чуть больше времени. Но если дуга достаточно мала, скажем меньше 20 градусов, то это практически точно. Такая неизменность маятника при небольших колебаниях называется изохронностью, от др.-греч. ίσος (изос) «равный» и χρόνος (хронос) «время». Это свойство создает теоретическую основу для метрономов и маятниковых часов, от обычных напольных до башенных часов в лондонском Биг-Бене. Галилей сам конструировал первые маятниковые часы в мире в последний год своей жизни, но умер, так и не успев их доделать. Первые работающие маятниковые часы появились пятнадцать лет спустя – их изобрел голландский математик и физик Христиан Гюйгенс.
Галилея особенно интриговал (и разочаровывал) открытый им любопытный факт – элегантное отношение между длиной маятника и его периодом (временем, которое потребуется маятнику, чтобы качнуться в обе стороны). Как объяснял ученый, «если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею»[123]. Говоря языком отношений, он сформулировал общее правило: для тел, подвешенных на нитях разной длины, длины относятся друг к другу как квадраты периодов колебания[124]. К сожалению, Галилею так и не удалось доказать это математически. Это была эмпирическая закономерность, которая нуждалась в теоретическом объяснении. Ученый годами работал над этой проблемой, но так и не смог с нею справиться. С точки зрения современной науки он и не мог этого сделать. Объяснение требовало новой математики, которой не владели ни он, ни его современники. Пришлось ждать Исаака Ньютона и его открытия языка, на котором говорит Бог, – языка дифференциальных уравнений.
Галилей признавал, что изучение маятников многим может показаться крайне скучным[125], хотя более поздние работы показали, что это совсем не так. В математике загадки маятника стимулировали развитие анализа. В физике и технике маятники стали образцами колебаний. Подобно строке Уильяма Блейка, где мир виден в песчинке[126], физики и инженеры смогли увидеть мир в колебании маятника. Везде, где возникают колебания, применяется одна и та же математика. Доставляющие беспокойство движения пешеходного мостика, подпрыгивание автомобиля на амортизаторах, грохот стиральной машины с неравномерной загрузкой, трепетание жалюзи на ветерке, шевеления земли при повторных толчках после землетрясения, гудение флуоресцентных ламп, работающих с частотой шестьдесят герц, – в каждой области науки и техники сегодня найдется свой вариант таких ритмических движений, свой вариант колебаний. Маятник – это их дедушка. Его схема универсальна. Так что скучный – неподходящее слово.
Иногда взаимосвязи между маятниками и другими явлениями настолько точны, что уравнения можно даже не менять. Достаточно по-другому истолковать символы, а синтаксис оставить тем же. Как будто природа раз за разом возвращается к одному и тому же мотиву – регулярному повтору темы маятника. Например, уравнения для колебания маятника без изменений можно перенести на работу генераторов, вырабатывающих переменный ток и отправляющих его в наши дома и офисы. Благодаря такой родословной электрики называют свои уравнения уравнениями колебаний.
Те же уравнения возникают в квантовых осцилляциях высокотехнологического устройства, которое в миллиарды раз быстрее и миллионы раз меньше, чем любой генератор или напольные часы. В 1962 году Брайан Джозефсон, тогда 22-летний аспирант Кембриджского университета, предсказал, что при температурах, близких к абсолютному нулю, электроны могут проходить туда и обратно через непроницаемый барьер из диэлектрика между двумя сверхпроводниками, что казалось абсолютным нонсенсом согласно классической физике. Тем не менее анализ и квантовая механика вызвали к жизни эти маятникообразные колебания, или, если выражаться менее мистически, открыли возможность их появления. Через два года после предсказания Джозефсона в лаборатории были созданы условия, необходимые для их возникновения, и они действительно были обнаружены. У устройств, использующих джозефсоновский переход[127], масса областей практического применения. Они способны обнаруживать сверхслабые магнитные поля, в сто миллиардов раз слабее поля нашей планеты, что помогает геофизикам находить нефть глубоко под землей. Нейрохирурги используют джозефсоновские переходы, чтобы точно определять места опухолей головного мозга и обнаруживать у пациентов с эпилепсией поражения, вызывающие судороги. В отличие от эксплоративных операций[128], такие процедуры полностью неинвазивны[129]. Они работают посредством отображения мельчайших изменений магнитного поля, которое создается аномальными электрическими путями в мозге. Джозефсоновские переходы могут также обеспечить основу для крайне быстрых микросхем в следующем поколении компьютеров и даже сыграть определенную роль в квантовых вычислениях, которые произведут революцию в компьютерной науке, если это когда-нибудь произойдет.
Маятники также предоставили человечеству первый способ для точного отсчета времени. До появления маятниковых часов даже самые лучшие часы производили жалкое впечатление. Даже в идеальных условиях за день они отставали или уходили вперед на 15 минут. Маятниковые часы можно было сделать в сотни раз точнее. Они впервые давали реальную надежду на решение величайшей технологической задачи эпохи Галилея: найти способ определения долготы[130] в морских путешествиях. В отличие от широты, которую можно установить, просто глядя на Солнце и звезды, долгота не имеет аналога в физической среде – это искусственная конструкция. Но проблема ее измерения была весьма реальной. В эпоху мировых открытий моряки отправлялись в океаны, чтобы воевать или вести торговлю, но часто сбивались с пути или садились на мель, потому что не знали своего местонахождения. Правительства Португалии, Испании, Англии и Голландии предлагали огромные деньги любому, кто решит проблему долготы. Это была задача первостепенной важности.
Когда Галилей в последний год жизни пытался сконструировать маятниковые часы, он имел в виду именно задачу определения долготы. Ученые уже с 1500-х годов знали, что проблему можно решить с помощью очень точных часов. Штурман мог установить часы в порту отправления и выйти в море с домашним временем. Чтобы определить долготу судна при его движении на восток или запад, штурман мог свериться с часами в точный момент местного полудня (когда солнце находится выше всего в небе). Поскольку Земля делает полный оборот (360 градусов) за 24 часа, каждый час расхождения между местным и домашним временем соответствует 15 градусам разницы в долготе. Однако в терминах расстояния 15 градусов на экваторе означает колоссальную тысячу миль. Следовательно, чтобы при такой схеме судно попадало в нужное место с допустимой ошибкой в несколько миль, точность хода часов должна была составлять несколько секунд в день. И эту точность требовалось поддерживать в бурном океане, при резких колебаниях давления воздуха и температуры, в условиях солености и влажности – факторах, способных привести к ржавлению механизма часов, растяжению пружин, загустеванию смазки, что могло ускорить, замедлить или даже остановить их ход