Тем не менее он не сдавался и продолжал размышлять о планетах, а вскоре добился успеха, когда Тихо Браге пригласил его в помощники. Тихо (как его всегда именовали историки) был лучшим астрономом-наблюдателем в мире. Его данные были на порядок точнее всех полученных ранее. Еще до появления телескопов он создал специальные инструменты, которые позволяли ему невооруженным глазом разрешать угловые положения планет с точностью до двух угловых минут, то есть до тридцатой доли градуса.
Чтобы понять, насколько мал этот угол, представьте себе полную Луну в ясную ночь и вытяните перед лицом мизинец. Его ширина – около 60 угловых минут, а Луна – примерно вдвое меньше. Поэтому, когда мы говорим, что Тихо Браге использовал разрешение в две минуты дуги, это означает, что если вы по всей ширине мизинца на равных расстояниях нарисуете 30 точек (или 15 точек поперек Луны), то Тихо сможет отличить эти точки между собой.
После смерти Тихо Браге в 1601 году Кеплер унаследовал его данные о Марсе и других планетах. Чтобы объяснять их движение, он пробовал одну теорию за другой, заставляя планеты двигаться то по эпициклам, то по яйцевидным кривым, то по кругам, где Солнце находилось не в центре. Но все эти модели давали расхождение с данными Тихо, что нельзя было игнорировать. «Дорогой читатель, – сокрушался Кеплер после одного такого вычисления, – если ты устал от столь утомительной процедуры, пожалей меня, ибо я проделал ее как минимум 70 раз»[139].
Первый закон Кеплера: эллиптические орбиты
В поисках объяснения движения планет Кеплер в конце концов попробовал хорошо известную кривую – эллипс. Как и парабола, эллипс изучался учеными античности. Из главы 2 мы узнали, что древнегреческие геометры определяли эллипс как овалоподобную кривую, образованную при сечении конуса наклонной плоскостью, угол наклона которой меньше, чем у образующей конуса[140]. Если плоскость почти горизонтальна, то эллипс в сечении будет почти кругом; если же плоскость почти параллельна образующей, то эллипс будет сильно вытянутым и похожим на сигару. Если вы начнете менять наклон плоскости, эллипс будет принимать вид от округлого до сильно сжатого.
Есть еще один простой способ начертить эллипс – с помощью нескольких обычных предметов.
Возьмите карандаш, пробковую доску, лист бумаги, две кнопки и кусок нитки. Положите бумагу на доску. Прикрепите кнопками к бумаге концы нитки так, чтобы она немного провисала. Затем натяните нить кончиком карандаша и начните рисовать кривую, удерживая при этом нить натянутой. Когда карандаш обойдет вокруг обеих кнопок и вернется в исходную точку, получившаяся кривая и будет эллипсом.
Особую роль тут играет положение кнопок. Кеплер назвал их фокусами (или фокальными точками) эллипса. Они настолько же важны для эллипса, как центр для окружности. Окружность определяется как множество точек, расстояние от которых до данной точки (центра) – постоянная величина. Аналогично эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) – постоянная величина. В нашей конструкции из нитки и двух кнопок эта постоянная сумма двух расстояний в точности равна длине натянутой нити.
Первое величайшее открытие Кеплера – и на этот раз он не ошибся и не нуждался в пересмотре своих идей – состояло в том, что все планеты двигаются по эллиптическим орбитам. Не окружность и не окружность в сочетании с круглыми эпициклами, как считали Аристотель, Птолемей, Коперник и даже Галилей. Нет. Эллипсы. Более того, он обнаружил, что Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты для всех планет.
Это было поразительно, именно на такую божественную подсказку Кеплер и надеялся. Планеты двигались в соответствии с геометрией. Пусть это и не геометрия пяти платоновых тел, как он предполагал изначально, но тем не менее его инстинктивные догадки были правильными. Геометрия действительно управляла небесами.
Второй закон Кеплера: равные площади за равное время
Кеплер обнаружил в имеющихся данных еще одну закономерность. Если первая касалась траектории планет, то эта – их скоростей. Сегодня она известна как второй закон Кеплера, который гласит: воображаемая линия, проведенная от Солнца к планете, заметает равные площади за равные промежутки времени, когда планета двигается по своей орбите.
Чтобы разъяснить смысл этого закона, предположим, что мы смотрим, где сегодня на своей эллиптической орбите находится Марс. Соедините эту точку с Солнцем прямой линией.
Теперь представьте эту линию как щетку дворника-стеклоочистителя, где Солнце находится в шарнире, а Марс – на кончике щетки (правда, стеклоочиститель двигается в обоих направлениях, а наш отрезок – всегда в одну сторону, причем очень-очень медленно). По мере перемещения Марса по своей орбите в последующие ночи наш отрезок-стеклоочиститель заметает внутри эллипса какую-то площадь. Если мы снова посмотрим на Марс через какое-то время (скажем, через три недели), то наш отрезок заметет фигуру, называемую сектором.
Кеплер обнаружил, что площадь «трехнедельного» сектора остается неизменной, где бы ни находился Марс на своей орбите. Если мы посмотрим на Марс в любых двух точках его орбиты, разделенных равными промежутками времени, то все получающиеся секторы всегда будут иметь одинаковые площади, независимо от их места нахождения на орбите.
Попросту говоря, второй закон утверждает, что планеты двигаются не с постоянной скоростью. Чем ближе они к Солнцу, тем быстрее перемещаются. Утверждение о заметании равных площадей за равные промежутки времени – способ сформулировать это точно.
Если время перехода из P1 в P2 равно времени перехода из P3 в P4, то получающиеся секторы имеют равные площади.
Как Кеплер измерил площадь эллиптического сектора, учитывая, что у него одна изогнутая сторона? Он поступил так же, как и Архимед – разрезал сектор на много тонких ломтиков и аппроксимировал их треугольниками. Затем вычислил их площадь (это просто, потому что у них прямые стороны) и сложил их, чтобы оценить площадь исходного сектора. По сути, он применил архимедову версию интегрального исчисления к реальным данным.
Третий закон Кеплера и священный экстаз
Законы, которые мы обсуждали до сих пор – каждая планета движется по эллипсу с фокусом в Солнце, а ее радиус заметает равные площади за равные промежутки времени, – относятся к каждой планете в отдельности. Кеплер открыл их оба в 1609 году. Но ему потребовалось еще десять лет, чтобы открыть третий, «коллективный» закон, связывающий всю Солнечную систему единой нумерологической закономерностью. Он стал результатом многих месяцев яростных вычислений и появился спустя двадцать лет после мучительного промаха с платоновыми телами. В своем предисловии к «Гармонии мира» (1619) Кеплер в экстатическом восторге писал, что наконец-то увидел план Бога: «Ныне, после того как 18 месяцев назад впервые забрезжил рассвет, после того как 3 месяца назад наступил ясный день и лишь несколько дней назад взошло яркое солнце чудеснейшего зрелища, ничто не может остановить меня. Я отдаюсь священному экстазу. Не боясь насмешек смертных, я исповедуюсь открыто»[141].
Числовой закономерностью, так очаровавшей Кеплера, стало открытие, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния от Солнца. Иными словами, отношение T2 / a3 одинаково для всех планет. Здесь T – это время оборота планеты вокруг Солнца (1 год для Земли, 1,9 года для Марса, 11,9 лет для Юпитера и так далее), а буквой a обозначено среднее расстояние планеты от Солнца. Его определить несколько сложнее, потому что реальное расстояние до планеты меняется в силу того, что орбита эллиптична: иногда она ближе к Солнцу, а иногда дальше. Чтобы учесть это, Кеплер определил a как среднее значение самого малого и самого большого расстояния.
Суть третьего закона проста: чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется и тем больше время ее оборота. Однако интересно то, что период обращения не пропорционален просто расстоянию. Например, период обращения нашей ближайшей соседки Венеры равен 61,5 % от нашего года, но среднее расстояние от Солнца у нее – 72,3 % от земного, а не 61,5 %, как можно было бы наивно полагать. А все потому, что период в квадрате пропорционален расстоянию в кубе (а не в квадрате), поэтому зависимость между периодом и расстоянием сложнее, чем прямая пропорциональность.
Если T и a выразить в виде процентной доли от земного периода и земного расстояния, как мы сделали выше, то третий закон Кеплера упрощается до формулы: T2 = a3. Прямой пропорциональности нет. Чтобы посмотреть, насколько хорошо он работает, подставим параметры Венеры: T2 = (0,615)2 ≈ 0,378, в то время как a3 = (0,723)3 ≈ 0,378. Точность – три значащие цифры. Вот почему Кеплер был так взволнован. Не менее впечатляющи результаты и для остальных планет.
Кеплер и Галилей никогда не встречались, но они переписывались, обсуждали свои коперниканские взгляды и открытия, сделанные в астрономии. Когда некоторые люди отказывались смотреть в телескоп Галилея, опасаясь, что это инструмент дьявола, ученый написал Кеплеру: «Мой дорогой Кеплер, хотел бы я, чтобы мы посмеялись над необычайной глупостью толпы. Что бы вы сказали о выдающихся философах этого университета, которые со ослиным упорством, несмотря на мои тысячекратные приглашения, отказывались смотреть на планеты или на Луну в мой телескоп?»