агала возможную связь между нелинейными уравнениями и кривыми. В линейное уравнение вроде y = 200x переменные x и y входят в первой степени, а не возводятся во вторую, третью и любую более высокую степень. Ферма и Декарт поняли, что в ту же игру можно играть с другими степенями и уравнениями. Они могли бы составить любое уравнение, какое пожелают, сделать с x и y все что угодно – возвести одну переменную в квадрат, а другую в куб, перемножить их, сложить, да все что заблагорассудится, – а затем интерпретировать результат как кривую. С определенным везением она может оказаться интересной, возможно, даже такой, которую никто никогда не представлял, а Архимед никогда не изучал. Любое уравнение с x и y становилось новым приключением. Одновременно изменялась точка зрения: вместо того чтобы смотреть на кривую, вы начинали с уравнения и смотрели, какого рода кривую оно дает. Пересадите геометрию на заднее сиденье и дайте управлять алгебре.
Ферма и Декарт начали с рассмотрения квадратных уравнений. В них, кроме констант (например, 200) или линейных членов x и x2, должны быть переменные во второй степени, то есть квадратичные члены, такие как y, xy или y2. Возведение в квадрат традиционно интерпретировалось как поиск площади, то есть x2 означало площадь квадрата со стороной x. В древности площадь считалась величиной, принципиально отличной от длины или объема. Однако для Ферма и Декарта x2 было всего лишь еще одним действительным числом; это означало, что его можно отобразить на числовой прямой – ровно так же, как x, x3 или любую иную степень x.
Сегодня предполагается, что даже школьники умеют строить графики уравнений наподобие y = x2, и соответствующая кривая оказывается параболой. Примечательно, что все уравнения, содержащие квадратичные члены по x и y, но не включающие члены более высоких степеней, дают кривые только четырех возможных типов: параболы, эллипсы, гиперболы и окружности. Это все. (Если не считать некоторых вырожденных случаев, когда появляются прямые, точки или графика нет вообще, но эти редкие странности мы можем смело игнорировать.) Например, квадратное уравнение xy = 1 дает гиперболу, x2 + y2 = 4 – окружность, а x2 + 2y2 = 4 – эллипс. Даже такая страшная на вид зависимость, как x2 + 2xy + 2y2 + x + 3y = 2 должна быть одним из четырех вышеуказанных вариантов. Оказывается, это парабола.
Ферма и Декарт первыми обнаружили это замечательное соответствие: квадратные уравнения относительно x и y представляют собой алгебраические аналоги конических сечений греков – четырех видов кривых, получающихся при сечении конуса под различными углами. Здесь, на новой арене Ферма и Декарта, вновь, подобно призракам из тумана, вынырнули классические кривые.
Новообретенная связь между алгеброй и геометрией оказалась благом для обеих областей. Каждая могла помочь компенсировать недостатки другой. Геометрия обращалась к правому полушарию мозга. Она была интуитивно понятной и наглядной, а истинность утверждений часто была видна с первого взгляда. Однако она требовала определенной изобретательности. В случае геометрии нередко не было ни единого намека, с чего начинать доказательство. Для этого требовались гениальные идеи.
Алгебра же была систематической. С уравнениями можно было разбираться спокойно, почти бездумно: вы могли добавить по одинаковой величине к их обеим частям, сократить слагаемые, выразить относительно неизвестной величины и выполнить дюжину других процедур и алгоритмов по стандартным рецептам. Алгебраические процессы могут успокаивать, как вязание. Но при этом алгебра страдала от пустоты. Ее символы были пусты. Они ничего не означали, пока им не придавали какое-то значение. Нечего было представлять наглядно. Алгебра была левополушарной и механической.
Однако вместе алгебра и геометрия были неудержимы. Алгебра дала геометрии систему. Вместо изобретательности теперь требовалось упорство. Она превращала сложные вопросы, нуждающиеся в понимании, в простые, хотя и трудоемкие вычисления. Использование символов освободило разум и сэкономило время и энергию.
Со своей стороны, геометрия придала алгебре смысл. Уравнения перестали быть бесплодными; теперь они воплощали извилистые геометрические формы. Как только уравнения стали рассматривать с точки зрения геометрии, появился целый новый континент кривых и поверхностей. Пышные джунгли геометрической флоры и фауны ждали, когда их обнаружат, каталогизируют, классифицируют и анатомируют.
Любой изучающий математику и физику обязательно столкнется с именами Ферма и Декарта. Однако никто из моих учителей или учебников не рассказывал об их соперничестве и о том, насколько злобным мог быть Декарт. Чтобы понять, что стояло на кону в их сражениях, вам нужно больше узнать об их жизни и амбициозных целях.
Рене Декарт (1596–1650)[155] был одним из самых амбициозных мыслителей всех времен. Дерзкий, интеллектуально бесстрашный и презирающий авторитеты, с раздутым эго, не уступавшим по масштабам его гению. Например, о греческом подходе к геометрии, который почитали все математики в течение двух тысяч лет, он пренебрежительно писал: «То, чему нас учили древние, настолько скудно и по большей части настолько ненадежно, что единственный подход к истине, на который я могу надеяться, – отказаться от всех путей, которыми они следовали»[156]. Что касается личных качеств, то он мог быть подозрительным и обидчивым. На самом известном его портрете изображен человек с изможденным лицом, надменными глазами и ехидными усиками. Очень похож на мультяшного злодея.
Декарт намеревался построить человеческое знание на фундаменте разума, науки и скептицизма. Больше всего он известен своими философскими работами, которые увековечила знаменитая фраза Cogito ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»). Другими словами, когда все находится под сомнением, несомненно как минимум одно: сомневающийся ум существует. Его аналитический подход, который, похоже, был вдохновлен строгой логикой математики, сегодня принято рассматривать как начало современной философии. В своей самой знаменитой книге «Рассуждение о методе» Декарт ввел новый бодрящий стиль размышления о философских проблемах, а также включил три приложения, представляющие интерес сами по себе: одно посвящено геометрии, в нем он представил свой подход к аналитической геометрии; второе – оптике, что имело большую важность в эпоху, когда телескопы, микроскопы и линзы были новейшими технологиями; а третье – погоде, и о нем почти забыли, за исключением правильного объяснения природы радуги. Его обширного интеллекта хватало на все. Он рассматривал живое тело как систему механических устройств и помещал душу в эпифиз (шишковидное тело мозга). Он предложил грандиозную (но неверную) систему мира, согласно которой невидимые вихри пронизывали все пространство, а планеты носились, как листья в водовороте.
Декарт родился в состоятельной семье. В детстве он был болезненным ребенком, и ему разрешали оставаться в кровати и размышлять, сколько захочется, – привычка, которую он сохранил на всю жизнь, никогда не вставая до полудня. Мать умерла, когда ему исполнился всего год, но, к счастью, оставила ему значительное наследство, что позволило ему в дальнейшем вести праздную жизнь, полную приключений. Он нанялся в голландскую армию, но никогда не видел сражений[157], и у него было достаточно времени для занятий философией. В Голландии он провел большую часть жизни, развивая свои идеи, общаясь и споря с другими великими мыслителями. В 1650 году он с неохотой перебрался в Швецию (которую презирал как «страну медведей, скал и льдин»[158]), согласившись стать наставником шведской королевы Кристины. К несчастью для Декарта, энергичная молодая королева вставала рано и настояла, чтобы занятия начинались в пять часов утра – безумное время для кого угодно, а тем более для Декарта, привыкшего подниматься в полдень. Та зима в Стокгольме выдалась самой холодной за последние десятилетия. Через несколько недель Декарт подхватил пневмонию и умер.
Пьер де Ферма (1601–1665)[159] был на пять лет моложе Декарта и вел спокойную размеренную жизнь представителя верхушки среднего класса. Днем он был юристом и провинциальным судьей в Тулузе, расположенной вдали от парижской суеты, а ночью – мужем и отцом. Придя с работы, он ужинал с женой и пятью детьми, а затем на несколько часов отдавался своей единственной истинной страсти – математике. В то время как Декарт был крупным мыслителем с колоссальными амбициями, Ферма был скромным, тихим, уравновешенным и наивным. Его цели были куда скромнее, чем у Декарта. Он не считал себя философом или ученым. Ему хватало математики. Он занимался ею как любитель, вкладывая душу. Ферма не видел необходимости публиковать свои результаты и не занимался этим. Он делал для себя небольшие заметки в книгах, которые читал, – в классических греческих трудах Диофанта и Архимеда, и время от времени отправлял свои идеи тем ученым, которые, по его мнению, могли бы их оценить. Он никогда не уезжал далеко от Тулузы и не встречался с крупными математиками своего времени, но переписывался с ними через Марена Мерсенна – францисканского монаха, математика и координатора научной жизни того времени.
Именно через Мерсенна и сцепились Ферма с Декартом