V(a) = V(b). Следовательно,
45a2 – 2a3 = 45b2 – 2b3.
Теперь полезно перегруппировать слагаемые. Перенесем квадраты в одну часть, а кубы в другую и получим
45a2 – 45b2 = 2a3 – 2b3.
Вспомнив школьную алгебру, разложим обе части на множители и получим
45(a – b)(a + b) = 2(a – b)(a2 + ab + b2).
Разделим обе части на общий множитель a – b. Это корректное действие, поскольку предполагается, что a и b различны (если бы они были одинаковыми, то деление на a – b означало бы деление на 0, что запрещено, как мы говорили в главе 1). В результате получим уравнение
45(a + b) = 2(a2 + ab + b2).
А теперь напрягитесь, чтобы разобраться в несколько смущающем логическом выводе. Ферма только что предполагал, что a и b не равны, но тем не менее утверждает, что выведенное уравнение останется верным, когда a и b станут равными – при слиянии в максимуме. Он пытается оправдать это соображение, прибегая к туманному понятию «квазиравенства»[168] («приближенного равенства», adaequalitas). Оно выражает идею, что a и b в точке максимума становятся в определенном смысле равными, но равными не по-настоящему (сегодня мы бы это сформулировали с помощью понятия предела или бесконечной близости). В любом случае он принимает a ≈ b, где знак означает приближенное равенство, а затем бесцеремонно подставляет a вместо b в вышеуказанное уравнение и получает
45(2a) = 2(a2 + a2 + a2).
Это уравнение упрощается до 90a = 6a2, откуда получаются два решения: a = 0 и a = 15. Первое, a = 0, дает коробку минимального объема с нулевой длиной и шириной, а значит и объем ее равен 0. Второе, a = 15, дает коробку максимального объема – как раз тот ответ, который мы и ожидали: оптимальная ширина и длина составляют по 15 дюймов.
С современной точки зрения рассуждения Ферма кажутся странными. Он находит максимум, не прибегая к производным. Сегодня, прежде чем решать задачи на оптимизацию, мы изучаем производные; Ферма поступал наоборот. Но это не имеет значения. Его идеи эквивалентны нашим.
Как Ферма помог ФБР
Наследие первых работ Ферма по оптимизации окружает нас повсюду. Наша нынешняя жизнь зависит от алгоритмов, которые решают задачи оптимизации с помощью условий, выражаемых производными. Современные задачи, как правило, намного сложнее, чем у французского математика, но дух остается тем же.
Одно важное применение касается больших массивов данных, когда их полезно кодировать как можно компактнее. Например, в базе ФБР миллионы отпечатков пальцев. Для их хранения, поиска и эффективного извлечения эта организация использует методы сжатия данных, основанные на анализе. Умные алгоритмы уменьшают размеры файлов с оцифрованными отпечатками без ущерба для важных деталей. То же самое верно при хранении нами на телефоне музыки или изображений. Вместо того чтобы сохранять каждую ноту и каждый пиксель, алгоритмы сжатия, используемые в форматах MP3 и JPEG[169], экономят место за счет преобразования информации в более эффективную форму. Они также позволяют нам быстро загружать песни и фотографии и отправлять их нашим близким, не слишком забивая их почтовые ящики.
Чтобы понять, какое отношение анализ и оптимизация имеют к сжатию данных, давайте рассмотрим статистическую задачу подбора какой-либо кривой, наилучшим образом соответствующей определенным данным, – задачу, которая возникает повсюду, от климатологии до бизнес-прогнозирования. Изучим данные, показывающие, как изменяется продолжительность дня в зависимости от времени года[170]. Как мы знаем, летом дни длиннее, а зимой короче, но как выглядит общая закономерность? На приведенном ниже графике я отобразил сведения для Нью-Йорка за 2018 год, отложив по горизонтальной оси время от 1 января слева до 31 декабря справа. Вертикальная ось показывает количество минут между рассветом и закатом в разное время года. Чтобы не загромождать картинку, я показал только точки для 27 дней – через каждые две недели, начиная с 1 января.
.
График показывает, что, как и ожидалось, в течение года продолжительность дня увеличивается и уменьшается. Самые длинные дни приходятся на период летнего солнцестояния (21 июня, что соответствует пику около 172-го дня примерно в середине графика), а самые короткие – зимнего солнцестояния, через полгода. В целом же картина напоминает некую плавную волну.
На уроках тригонометрии в школе учителя рассказывают об определенном виде такой кривой – синусоиде. Чуть позже я вам тоже более подробно объясню, что такое синусоида и почему она важна для анализа. А пока нам нужно знать, что синусоида связана с круговым движением. Чтобы увидеть связь, представьте себе точку, которая движется по окружности с постоянной скоростью. Если мы будем следить за ее положением на вертикали, рассматривая его как функцию от времени, то получится синусоида.
Поскольку окружности тесно связаны с циклами, синусоиды появляются везде, где есть циклические явления, – от смены времен года до колебаний камертона и частоты переменного тока в 50 Гц (герц), используемого в лампах и электрических сетях. Раздражающее гудение различных бытовых приборов, как правило, представляет собой звук с частотой 50 Гц (1 Гц = 1 колебание в секунду). Это надежный признак переменного тока, вырабатываемого электрогенераторами, крутящимися с такой частотой. Там, где есть круговое движение, есть и синусоиды.
Любая синусоида полностью определяется четырьмя основными характеристиками: периодом, средним значением, амплитудой и фазой.
Эти четыре параметра истолковываются просто. Период T указывает, сколько времени требуется волне для прохождения одного полного цикла. Для рассматриваемых данных по продолжительности светового дня T составляет 365,25 дня (именно эта лишняя четверть дня – причина, по которой раз в четыре года нужен високосный год, чтобы поддерживать синхронизацию календаря с природными циклами). Среднее значение синусоиды b – это ее сдвиг по вертикали. Для нашего примера это типичное количество минут в световом дне в Нью-Йорке, усредненное по всем дням 2018 года. Амплитуда a волны говорит нам, сколько дополнительных минут света приходится на самый длинный день года по сравнению со средним днем. Наконец, фаза волны c сообщает день, когда волна на пути вверх пересекает свое среднее значение: это происходит около дня весеннего равноденствия.
Эти четыре параметра – a, b, c, T – можно представлять как четыре рукоятки, которые позволяют регулировать форму и положение синусоиды. Они действуют так: b-рукоятка перемещает синусоиду вверх и вниз; c-рукоятка двигает ее влево и вправо; T-рукоятка контролирует, как быстро волна колеблется, сжимая и растягивая ее по горизонтальной оси; и, наконец, a-рукоятка определяет, насколько сильный размах у колебаний.
Если бы мы могли каким-то образом настроить эти рукоятки так, чтобы синусоида проходила через все нарисованные нами ранее точки, то это позволило бы существенно сжать информацию и означало бы, что вместо 27 значений мы бы обошлись всего четырьмя параметрами такой подобранной синусоиды, то есть сжали бы данные в 27/4 = 6,75 раза. В реальности же, поскольку у нас один из параметров – год, по сути, мы можем играть всего с тремя параметрами, что дает нам сжатие в 27/3 = 9 раз. Такое уменьшение возможно, потому что наши данные не случайны. Они подчинены некоторой закономерности, а синусоида воплощает ее и делает за нас всю работу.
Единственная загвоздка – отсутствие синусоиды, которая бы идеально проходила через все точки. Этого следует ожидать при подгонке к реальным данным идеализированной модели: определенные расхождения неизбежны, но всегда есть надежда, что они окажутся незначительными. Для их минимизации требуется найти синусоиду, которая максимально близко подходит к нашим точкам. Вот тут-то в игру и вступает анализ.
На рисунке ниже показана наилучшая синусоида, определяемая алгоритмом оптимизации, который я объясню чуть ниже.
Но сначала обратите внимание, что результирующая кривая подходит не идеально. Например, она недостаточно низка в декабре, когда дни очень короткие и данные попадают ниже кривой. Тем не менее простая синусоида, безусловно, отражает суть происходящего. В зависимости от наших целей такое качество приближения может оказаться достаточным.
Но при чем тут анализ? Он помогает оптимально выбрать четыре параметра. Представьте, что вы поворачиваете эти четыре рукоятки, добиваясь наилучшей настройки, – нечто вроде поворота ручек на радиоприемнике для получения самого сильного сигнала. Фактически это то, что делал Ферма в задаче с багажной полкой, когда искал параметры самой вместительной коробки. Он менял единственный параметр x, длину боковой стороны коробки, и искал сигнал о максимальном объеме коробки. В нашем же случае требуется настроить четыре параметра. Однако основная идея та же. Мы должны добиться сигнала оптимальности, меняя четыре параметра.
Если подробнее, то работает это так. Мы вычисляем погрешность (иными словами, ошибку) для любого конкретного набора значений для четырех параметров, то есть разницу между соответствующей синусоидой и реальными данными во всех 27 точках года. Естественный критерий при выборе наилучшей кривой – чтобы общая ошибка по всем 27 точкам была настолько мала, насколько это возможно. Однако при этом общая ошибка – не самая удачная вещь, потому что нам не нужно, чтобы отрицательные ошибки компенсировали положительные и в результате складывалось ложное впечатление, что кривая подходит хорошо, хотя в реальности это не так. Отклонения вниз так же плохи, как и вверх, и от обоих нужно избавляться; нельзя допускать, чтобы они компенсировали друг друга. По этой причине математики рассматривают не ошибки, а