Ферма не был в этом уверен. Такие вычисления не из легких. От источника в одной среде к целевой точке в другой свет может двигаться бесконечным числом прямолинейных путей, каждый из которых изгибается на границе двух сред по-своему.
Вычислить минимум среди всех этих времен перемещения было сложно, в особенности на стадии зарождения дифференциального исчисления. У Ферма не было никаких инструментов, кроме старого метода двойного пересечения. К тому же он боялся получить неправильный ответ. Как он написал Кюро, «страх обнаружить после долгих и трудных вычислений какое-то неправильное и фантастическое соотношение, а также моя природная леность оставили этот вопрос в том же состоянии»[176].
Понадобилось пять лет, в течение которых Ферма работал над другими задачами, чтобы любопытство все же взяло верх. В 1662 году он заставил себя произвести нужные вычисления. Это было изнурительно и неприятно. Но, пробираясь сквозь заросли символов, он начал кое-что замечать. Слагаемые стали сокращаться. Алгебра работала. И вот он: закон синусов. В письме Кюро Ферма назвал эти вычисления «самыми необычными, самыми непредвиденными и самыми счастливыми» из всех, что он когда-либо делал. «Я был так удивлен этому неожиданному событию, что едва могу оправиться от изумления»[177].
Ферма применил свою зачаточную версию дифференциального исчисления к физике. До него этого никто не делал. Тем самым он показал, что свет двигается наиболее эффективным способом – не самым прямым путем, а самым быстрым. У света множество возможных путей, но он каким-то образом знает (или ведет себя так, словно знает), как добраться из одной точки в другую максимально быстро. Это стало важной подсказкой к тому, что анализ как-то встроен в операционную систему Вселенной.
Позже принцип наименьшего времени был обобщен до принципа наименьшего действия[178], где термин «действие» имеет технический смысл, в который нам сейчас незачем вдаваться. Было установлено: такой принцип оптимизации, согласно которому природа ведет себя наиболее экономным способом в каком-то точно определенном смысле, верно предсказывает законы механики. В XX веке принцип наименьшего действия был распространен на общую теорию относительности, квантовую механику и другие области современной физики. Он даже произвел сильное впечатление на философию XVII века, когда Готфрид Вильгельм Лейбниц сказал свою знаменитую фразу «Все к лучшему в этом лучшем из миров», и эта оптимистическая точка зрения была позднее спародирована Вольтером в «Кандиде». Идея использования принципа оптимальности для объяснения физических явлений и вывода следствий с помощью анализа зародилась именно с этого вычисления Ферма.
Технические методы оптимизации Ферма также позволяли ему находить касательные к кривым. Эта задача по-настоящему приводила Декарта в бешенство.
Слово «касательная» происходит от глагола «касаться». Эта прямая не пересекает кривую в двух точках, а соприкасается с нею в одной точке.
Условия касания аналогичны условиям максимума или минимума. Если мы берем прямую и пересекаем ею кривую, а затем начинаем непрерывно двигать прямую вверх или вниз, то касание возникает, когда две точки пересечения сливаются в одну.
Где-то в конце 1620-х годов Ферма научился находить касательные практически для всех алгебраических кривых (это означает, что кривая выражается многочленом различных степеней x и y; функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными – это синусы, логарифмы и так далее). Благодаря своей идее двойного пересечения он мог вычислить все, что мы делаем сегодня с помощью производных.
У Декарта был собственный метод нахождения касательных[179]. В «Геометрии» 1637 года он с гордостью объявил о нем миру. Не подозревая, что Ферма уже решил эту задачу, Декарт независимо пришел к идее двойного пересечения, но для пересечения кривых использовал не прямые, а окружности. Вблизи точки касания типичная окружность либо пересекает кривую в двух точках, либо не пересекает вообще.
Меняя положение и радиус окружности, Декарт заставлял две точки пересечения сливаться в одну. В итоге окружность касалась кривой – бинго!
Это давало ученому возможность найти касательную к кривой. Одновременно у него получалась нормаль к кривой – прямая, перпендикулярная касательной в точке касания; по ней идет радиус построенной окружности.
Метод Декарта был верным, но неуклюжим. Приходилось производить массу вычислений, гораздо больше, чем в методе Ферма. Однако Декарт тогда даже не слышал о Ферма, поэтому в своей обычной самоуверенной манере полагал, что превзошел всех. В «Геометрии» он хвалился: «Я дам общий способ проведения прямых, пересекающих под прямыми углами кривые линии в любых точках. И я смею сказать, что эта задача является наиболее полезной и общей не только среди известных мне, но также среди всех тех задач, которые я когда-либо желал знать в геометрии»[180],[181].
Позднее, в 1637 году, когда Декарт узнал от своих корреспондентов в Париже, что Ферма опередил его в решении задачи о касательной примерно на десять лет, хотя так и не удосужился опубликовать его, он встревожился. В 1638 году он изучил метод Ферма, ища в нем дыры. Конечно же, их было много! В письме одному посреднику Декарт заявлял: «Я даже не хочу называть его имени, чтобы он не стыдился тех ошибок, что я обнаружил»[182]. Он оспаривал логику Ферма, которая, честно говоря, была расплывчатой и плохо объясненной. Но в конце концов, после обмена несколькими письмами, в которых Ферма спокойно пытался объяснить свои идеи, Декарт был вынужден согласиться, что рассуждения оппонента верны.
Однако, прежде чем признать поражение, он попытался озадачить тулузского математика, предложив ему найти касательную к кривой, определяемой кубическим уравнением x3 + y3 = 3axy, где величина a представляла собой константу. Декарт знал, что с помощью своего неуклюжего метода, использующего окружности, сам он не смог бы ее найти – алгебраические вычисления стали неуправляемыми, поэтому с уверенностью полагал, что и Ферма не справится с задачей с помощью своего метода с применением прямых. Однако Ферма был более сильным математиком и его метод был лучше, поэтому, к немалой досаде Декарта, он разобрался с задачей без особых усилий.
Ферма заложил основы анализа в его современной форме. Его принцип наименьшего времени показал, что оптимизация глубоко вплетена в ткань природы. Работы по аналитической геометрии и касательным проложили путь к дифференциальному исчислению, по которому вскоре последовали другие. А виртуозное владение алгеброй позволило ему определить площади под некоторыми кривыми, которые не смогли найти даже его самые выдающиеся предшественники. В частности, он вычислил площадь под кривой y = xn для любого положительного целого n (другие математики решили задачу для первых девяти случаев, n = 1,2,…,9, однако не смогли найти решение для всех n)[183]. Прорыв Ферма был колоссальным шагом в сторону интегрального исчисления, который закладывал фундамент для будущих прорывов.
И тем не менее его исследования не дотянули до секрета[184], который вскоре откроют Ньютон и Лейбниц, – секрета, который революционизировал и объединил обе стороны анализа. Жаль, что это не удалось Ферма, ведь он подобрался очень близко. Недостающее звено имело отношение к тому, что он придумал, но не счел важным – нечто скрытое в его методе максимумов и касательных. Позднее это назовут производной. Их использование выйдет далеко за рамки кривых и касательных и включит все виды изменений.
Глава 5. Перекресток
Итак, мы подошли в нашей истории к перекрестку. Именно здесь анализ становится современным и переходит от загадки кривых к изучению загадок движения и изменений. Именно здесь анализ начинает интересоваться ритмами Вселенной, ее взлетами, падениями и закономерностями. Анализ больше не довольствуется статическим миром геометрии: он увлекается динамикой. Он спрашивает: каковы правила движения и изменений? Что мы можем уверенно предсказать о будущем?
За четыре столетия, прошедшие с тех пор, как анализ оказался на этом перекрестке, он ушел от алгебры и геометрии в сторону физики и астрономии, биологии и медицины, инженерии и технологий, то есть во все сферы, где есть нескончаемые перемены. Анализ математизировал время и вселил в нас надежду, что мир, в котором мы живем, при всех его несправедливостях, страданиях и хаосе, глубоко в своем сердце, где он следует математическим законам, может быть разумным. Иногда мы можем найти эти законы с помощью науки. Иногда можем понять их с помощью анализа. А иногда можем использовать, чтобы улучшить нашу жизнь, помочь обществу и изменить ход истории к лучшему.
Поворотный момент в истории анализа произошел в середине XVII века, когда загадки кривых, движения и изменений столкнулись на двумерной сетке – координатной плоскости Ферма и Декарта. В тот момент Ферма и Декарт понятия не имели, насколько универсальный инструмент создали. Они задумывали прямоугольную систему координат для использования в чистой математике. Но с самого начала она тоже стала своего рода перекрестком, где уравнения встречались с кривыми, алгебра – с геометрией, а математики Запада – с коллегами с Востока. Далее, уже в следующем поколении, Исаак Ньютон, опираясь на их работы и на труды Кеплера и Галилея, объединил геометрию и физику в великом синтезе. Искра Ньютона зажгла тот огонь, который дал старт эпохе Просвещения и революции в западной науке и математике.