С первыми тремя степенями 10 мы встречаемся каждый день.
1 101 = 10
2 102 = 100
3 103 = 1000
Обратите внимание на закономерность: в левой колонке x растет аддитивно, тогда как в правой 10x растет мультипликативно, как мы и ожидаем при экспоненциальном росте. В левой колонке каждый шаг добавляет 1 к предыдущему числу, в то время как в правой – умножает предыдущее число на 10. Это интригующее соответствие между сложением и умножением – отличительная черта показательных функций в целом и степеней 10 в частности.
Из-за такого соответствия между колонками справедливо следующее: сложение двух чисел в левой колонке соответствует умножению чисел в правой колонке. Например, 1 + 2 = 3 слева переводится в 10 × 100 = 1000 справа. Такой переход от сложения к умножению имеет смысл, потому что
101+2 = 103 = 101 × 102.
Таким образом, когда мы перемножаем степени 10, их показатели складываются, как в нашем случае 1 и 2. Общее правило таково:
10a × 10b = 10a+b.
Аналогичным образом вычитание в левой колонке соответствует делению в правой:
3–2 = 1 соответствует 1000/100 = 10.
Эти изящные закономерности подсказывают, как продолжить обе колонки в сторону все меньших и меньших чисел. Принцип такой: всякий раз, вычитая 1 в левой колонке, делим на 10 в правой. Теперь снова посмотрим на верхние строки:
1 101 = 10
2 102 = 100
3 103 = 1000
Поскольку вычитание 1 слева соответствует делению на 10 справа, соответствие продолжается в новом ряду сверху, где будет 1–1 = 0 слева и 10/10 = 1 справа:
0 100 = 1
1 101 = 10
2 102 = 100
3 103 = 1000
Это рассуждение объясняет, почему 100 определяется как 1 (и должно определяться таким образом) – действие, которое озадачивает многих людей. Любой другой выбор нарушил бы закономерность. Это единственное определение, которое продолжает тенденции, установленные в двух колонках.
Действуя в том же духе, мы можем экстраполировать соответствие еще дальше, в область отрицательных чисел в левой колонке. Тогда справа появятся дроби, соответствующие степеням 10:
– 2 1/100
– 1 1/10
0 1
1 10
2 100
3 1000
Обратите внимание, что числа справа всегда остаются положительными, в то время как слева становятся нулем или отрицательными.
Потенциальная когнитивная ловушка при использовании степеней 10 заключается в том, что они могут заставить сильно различающиеся числа казаться ближе, чем они есть на самом деле. Чтобы избежать ее, имеет смысл сделать вид, что различные степени десяти образуют принципиально разные категории. Иногда человеческие языки делают это сами, присваивая различным степеням десятки собственные названия, как если бы это были неродственные виды. Например, для 10, 100 и 1000 у нас есть три не связанных между собой слова «десять», «сто» и «тысяча». Это хорошо и отражает правильную идею, что эти числа качественно различны, хотя и являются соседними степенями числа 10. Любой, кто ценит разницу между пятизначной и шестизначной зарплатой, знает, что один лишний нолик имеет очень большое значение.
Когда слова для обозначения степеней десятки звучат похоже, мы путаемся. Во время президентской кампании 2016 года сенатор Берни Сандерс часто выступал против чрезмерных налоговых льгот для «миллионеров и миллиардеров». Неважно, согласны вы с этой политикой или нет, но, к сожалению, его фраза звучала так, словно с точки зрения благосостояния миллионеры и миллиардеры сопоставимы. На деле же миллиардеры гораздо богаче миллионеров. Чтобы понять, насколько миллион отличается от миллиарда, подумайте о них так: миллион секунд – это чуть меньше двух недель, а миллиард секунд – это примерно 32 года. Первое – это продолжительность одного отпуска, второе – значительная часть жизни.
Это говорит о том, что со степенями десятки нужно обращаться с осторожностью. Это мощные средства сжатия, способные уменьшить гигантские числа до размеров, которые нам проще оценить. По той же причине они так популярны среди ученых. В контекстах, где какие-то количества меняются на несколько порядков по величине, степени десятки часто применяют для создания удобной измерительной шкалы. Примеры включают шкалу pH кислотности и шкалу щелочности, шкалу Рихтера для магнитуды землетрясений, измерение громкости с помощью децибел. Скажем, если показатель pH раствора меняется с 7 (нейтральный раствор, как чистая вода) до 2 (кислый раствор, как лимонный сок), то концентрация ионов водорода увеличивается по величине на пять порядков, то есть в 105, или в сто тысяч раз. Снижение показателя pH с 7 до 2 может показаться всего лишь пятью крошечными шажками, как бы совсем небольшим изменением, хотя на самом деле концентрация ионов водорода изменяется в сто тысяч раз.
В рассмотренных выше примерах числа в правой колонке, например 100 и 1000, всегда были круглыми. Поскольку степени десятки настолько удобны, было бы здорово, если бы мы могли выражать аналогичным образом и некруглые числа. Возьмем, к примеру, 90. Раз 90 немного меньше 100, а 100 = 102, то, видимо, 90 – это 10 в степени, немного меньшей, нежели 2. Но в какой именно?
Для ответа на такие вопросы и были изобретены десятичные логарифмы[185]. Если на калькуляторе вы наберете 90, а затем нажмете кнопку lg, то получите
lg90 = 1,9542…
Это и есть ответ: 101,9542… = 90.
Таким образом, логарифмы позволяют нам записать любое число как степень десятки. Это упрощает многие вычисления, а также раскрывает удивительные связи между числами. Посмотрите, что произойдет, если мы умножим 90 на коэффициент 10 или 100, а затем снова найдем его логарифм:
lg900 = 2,9542…
и
lg9000 = 3,9542…
Обратите внимание на две поразительные вещи:
1. У всех таких логарифмов одинаковая дробная часть: 0,9542…
2. Умножение исходного числа 90 на 10 увеличивает его десятичный логарифм на 1. Умножение на 100 увеличивает логарифм на 2 и так далее.
Мы можем объяснить оба факта, обратившись к правилу: логарифм произведения равен сумме логарифмов Из него следует, что
lg90 = lg(9 × 10) = lg9 + lg10 = 0,9542… + 1
и
lg900 = lg(9 × 100) = lg9 + lg100 = 0,9542… + 2
и так далее. Это объясняет, почему у десятичных логарифмов чисел 90, 900 и 9000 будет одинаковая дробная часть: 0,9542… Она соответствует логарифму числа 9, которое входит множителем в эти числа. Различные степени числа 10 дают целую часть этих чисел (в нашем случае 1, 2 и 3). Вследствие этого нам достаточно работать с десятичными логарифмами чисел от 1 до 10. Они отвечают за дробную часть. Логарифмы всех остальных положительных чисел можно будет выразить через них. У степеней десятки собственная работа: они отвечают за целую часть.
Общее правило для логарифмов в символической форме можно записать следующим образом:
lg(a × b) = lga + lgb.
Другими словами, когда мы умножаем два числа и ищем логарифм произведения, результатом будет сумма (а не произведение!) логарифмов отдельных сомножителей. В этом смысле логарифмы заменяют задачу умножения задачей сложения, которая намного проще. Вот почему они, собственно, и были изобретены. Они неизмеримо ускорили вычисления. Вместо того чтобы прикладывать геркулесовые усилия для задач умножения, нахождения квадратных и кубических корней и прочего, математики свели такие вычисления к задачам сложения и эти расчеты стали производиться с помощью готовых таблиц логарифмов. В начале XVII века идея логарифмов уже витала в воздухе, но значительная заслуга в их популяризации принадлежит шотландскому математику Джону Неперу, который в 1614 году опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов». Десять лет спустя Иоганн Кеплер с энтузиазмом использовал новые вычислительные инструменты при составлении астрономических таблиц для положений планет и других небесных тел. Логарифмы были суперкомпьютерами своей эпохи.
Многие люди считают логарифмы сложными, но их смысл можно понять, если провести аналогию с плотницкими работами. Логарифмы и другие функции подобны инструментам. У разных инструментов – разное назначение. Молотки предназначены для забивания гвоздей; дрели – для сверления отверстий; пилы – для разрезания на части. Аналогично показательные функции предназначены для моделирования роста, который подпитывает сам себя, а степенные функции – для моделирования менее агрессивных видов возрастания. Логарифмы полезны по той же причине, что и антистеплер, удаляющий скобки: они отменяют действие другого инструмента. Конкретнее говоря, логарифмы отменяют действие показательных функций, и наоборот.
Рассмотрим показательную функцию 10x и применим ее к какому-нибудь числу, например 3. В результате получим 1000. Чтобы отменить это действие, нажмем кнопку lgx. Применив ее к числу 1000, мы вернемся к исходному числу 3. Функция lgx – логарифм по основанию 10 – отменяет действие функции 10x. В этом смысле указанные функции являются обратными одна другой.
Кроме выполнения роли обратной к показательной функции, логарифмы также описывают многие природные явления. Например, наше восприятие высоты тона примерно логарифмическое. Когда высота тона поднимается на последовательные октавы, от одной ноты до до следующей, такое повышение соответствует последовательным удвоениям частоты соответствующих звуковых волн. Хотя при каждом повышении на октаву волны колеблются вдвое быстрее, мы слышим эти удвоения – которые представляют собой