Эти разнообразные примеры, от динамики цепных реакций и воя в микрофонах из-за обратной связи до накопления денег на банковских счетах, создают впечатление, что показательные функции и логарифмы прочно укоренились в тех областях анализа, которые имеют дело с изменениями во времени. И действительно, экспоненциальные рост и уменьшение – важные темы на современной стороне перекрестка анализа. Однако логарифмы впервые были обнаружены на другой стороне, еще тогда, когда анализ сосредоточивался на геометрии кривых. На самом деле натуральный логарифм появился давно, при изучении площади под гиперболой y = 1 / x. Дело запуталось в 1640-х годах, когда было установлено, что площадь под гиперболой определяет функцию, которая ведет себя странно, похоже на логарифм (фактически это и был логарифм). Он подчинялся тем же правилам и преобразовывал задачу умножения в задачу сложения, как и другие логарифмы, но его основание оставалось неизвестным.
Предстояло еще многое узнать о площадях под кривыми. Это было одной из двух крупных задач, стоящих перед анализом. Вторая заключалась в создании более систематического метода нахождения касательных и наклонов кривых. Решение этих двух задач и обнаружение удивительной связи между ними вскоре привело анализ и весь мир к современному состоянию.
Глава 6. Словарь изменений
С точки зрения XXI века анализ часто рассматривается как математика изменений. Он количественно их оценивает с помощью двух важных понятий – производные и интегралы. Производные определяют скорость изменений, они и будут главной темой этой главы, а интегралы – накопление изменений и мы обсудим их в главах 7 и 8.
Производные отвечают на вопросы «Насколько быстро?», «Насколько круто?» или «Насколько чувствительно?». Все эти вопросы касаются скорости изменений в той или иной форме. Скорость изменения – это изменение зависимой переменной, деленное на изменение независимой переменной. Символьно скорость изменения записывается в виде Δy / Δx, то есть изменение y, деленное на изменение x. Иногда используются другие буквы, но структура записи та же. Например, если независимой переменной будет время, то естественнее записать эту величину как Δy / Δt, где t – время.
Наиболее известный пример скорости изменений – обычная скорость движения. Когда мы говорим, что автомобиль движется со скоростью 100 километров в час, эта величина рассматривается как скорость изменений, поскольку определяет скорость движения в виде Δy / Δt, то есть указывает, сколько проехал автомобиль (Δy = 100 километров) за данный промежуток времени (Δt = 1 час).
Аналогично скоростью изменений является и ускорение. Оно определяется как быстрота изменения скорости и обычно записывается в виде Δv / Δt, где v – скорость. Когда американский производитель автомобилей Chevrolet заявляет, что одна из его мощных моделей V-8 Camaro SS может разогнаться от 0 до 60 миль в час за 4 секунды, он указывает ускорение в форме быстроты изменения: изменение скорости (от 0 до 60 миль в час) делится на промежуток времени (4 секунды).
Третий пример скорости изменений – наклон пандуса (наклонного ската). Он определяется как высота пандуса по вертикали Δy, деленная на его горизонтальную протяженность Δx. Чем больше наклон, тем круче скат. Американское законодательство требует, чтобы наклон пандусов для инвалидных колясок не превышал 1/12. Горизонтальная поверхность имеет нулевой наклон.
Из всех существующих различных скоростей изменений важнее и полезнее всего наклон кривой на координатной плоскости, поскольку он может заменить все остальные. В зависимости от того, что обозначают x и y, наклон кривой может указывать скорость движения, ускорение, ставку выплат, обменный курс, прибыль от инвестиций или любой иной вид скорости изменений. Например, когда мы строили график количества калорий y, содержащихся в x ломтиках хлеба с изюмом и корицей, он представлял собой прямую линию с наклоном 200 (калорий на ломтик). Такой наклон – геометрическая характеристика – сообщает нам, с какой скоростью хлеб передает калории, то есть выражает характеристику питательности. Аналогично на графике, показывающем зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени, наклон будет указывать скорость машины. Таким образом, наклон – своего рода универсальный показатель скорости изменения. Поскольку любую функцию одной переменной можно изобразить в виде графика на координатной плоскости, мы можем найти скорость ее изменения, найдя наклон ее графика.
Ловушка здесь в том, что скорость изменений в реальном мире или в математике редко бывает постоянной. В этом случае ее определение усложняется. Первый важный вопрос в дифференциальном исчислении – выяснить, что делать, когда скорость изменений не постоянна. Устройства GPS и спидометры решили эту задачу: они всегда знают, какую скорость показать, даже несмотря на то, что автомобиль при этом ускоряется или замедляется. Как они это делают? Какие вычисления производят? С помощью анализа, как мы сейчас увидим.
Так же как скорость движения не должна быть постоянной, так и наклоны не обязаны быть постоянными. Например, кривая вроде окружности или параболы (или любая другая гладкая линия, за исключением идеальной прямой) в одних местах будет круче, чем в других. Так происходит и в реальном мире. На горных тропах есть более крутые участки и более спокойные, плоские. Поэтому остается вопрос: как нам определить наклон, если он может меняться?
Первое, что нужно осознать, – это необходимость расширить наше представление о том, что такое скорость изменений. В алгебраических задачках, где пройденное расстояние равнялось произведению скорости на время, скорость всегда оставалась постоянной. Но в анализе это не так. Поскольку скорость движения, наклон и прочие величины изменяются вместе с изменениями независимой переменной x или t, их нужно рассматривать как функции. Скорости изменения – отныне не просто числа. Они должны стать функциями.
Именно это и делает понятие производной Оно определяет скорость изменения как функцию, а также скорость изменения в заданной точке в данное время, даже если эта скорость переменная. В этой главе мы увидим, как определяются производные, что они означают и почему так важны.
Не секрет, что важность производных объясняется их вездесущностью. Законы природы на самом глубоком уровне выражаются с помощью производных – словно Вселенная знала о скорости изменений раньше нас. На более приземленном уровне производные появляются всякий раз, когда нам нужно количественно оценить, как изменения в одной величине подействуют на изменения в другой. Как повышение цены на какое-нибудь приложение повлияет на пользовательский спрос на него? Насколько повышение дозы статинов улучшает их способность снижать уровень холестерина у пациента или увеличивает риск появления побочных эффектов, например вреда для печени? Каждый раз, изучая взаимоотношения любого рода, мы хотим знать: если изменяется одна переменная, то насколько сильно меняется связанная с ней другая переменная? И в каком направлении – возрастая или убывая? Эти вопросы связаны с производными. Ускорение ракеты, рост населения, доходность инвестиций, перепад температур в миске с супом – все это производные.
В анализе производная обозначается dy / dx. Предполагается, что это напомнит вам об обычной скорости изменений Δy / Δx, но теперь изменения dy и dx считаются бесконечно малыми. Это новая дикая идея, с которой мы будем работать медленно и осторожно, хотя она и не должна вызывать удивления. Мы знаем из принципа бесконечности, что путь к успеху в решении сложной задачи состоит в ее делении на бесконечно малые кусочки, их анализе и последующем сложении обратно с целью найти ответ. В контексте дифференциального исчисления небольшие изменения dy и dx – это те самые бесконечно малые кусочки. Их объединение – уже задача интегрального исчисления.
Чтобы подготовиться к тому, что нас ждет впереди, нужно с самого начала представлять общую картину. В анализе есть три центральные задачи. Они схематически показаны на диаграмме ниже.
1. Прямая задача: дана кривая, найти ее наклон в любой точке.
2. Обратная задача: дан наклон кривой в любой точке, найти кривую.
3. Задача площади: дана кривая, найти площадь лежащей под ней области.
На диаграмме представлена некая обобщенная функция y(x). Я не уточнял, что означают y или x, потому что это не имеет значения. Картинка отражает обобщенность – она просто изображает некоторую кривую на плоскости. Эта кривая может представлять любую функцию одной переменной, и поэтому ее можно применять в любой области математики, где используются такие функции, то есть фактически везде. Значимость наклона и площади я объясню позже. Сейчас же думайте о них так, как есть: это наклон и площадь, то есть те вещи, которые интересуют геометров.
Мы можем рассматривать эту кривую двумя способами – старым и новым. В начале XVII века, до появления анализа, такие кривые считались геометрическими объектами, интересными сами по себе. Математики стремились количественно выразить их геометрические характеристики. Получив какую-то кривую, они хотели иметь возможность вычислять угол наклона касательной в каждой точке, длину дуги кривой, площадь под кривой и так далее. В XXI веке нас больше интересует функция, которая создала эту кривую, – функция, моделирующая какое-то природное явление или технологический процесс, в итоге отраженные в этой кривой. Кривая – это данные, но в их основе лежит нечто более глубокое. Сегодня мы думаем о кривой как о следах на песке, как о намеках на какой-то процесс, ее породивший. Мы интересуемся именно этим процессом (который моделируется функцией), а не следами, которые он после себя оставил.