calcium (кальций) и chalk (мел). Ваш дантист может применять это слово для обозначения зубного камня. Врачи употребляют его для желчных камней, камней в почках или в мочевом пузыре. По иронии судьбы, оба пионера анализа – и Ньютон, и Лейбниц – умерли в мучительных болях, страдая от камней: у Ньютона были камни в мочевом пузыре, а у Лейбница – в почках…
Хотя при исчислениях когда-то использовались камешки, ко времени Ньютона и Лейбница исчисление вовсю занималось кривыми и их новомодными исследованиями с помощью алгебры. Тридцатью годами ранее Ферма и Декарт открыли, как использовать алгебру для нахождения максимумов, минимумов и касательных к кривым. Неуловимым оставалось поиск площадей кривых, или, точнее, площадей фигур, ограниченных кривыми.
Задача площади, изначально называемая квадратурой, или квадрированием кривых, поглощала и разочаровывала математиков два тысячелетия. Для отдельных частых случаев было придумано множество хитроумных трюков – от работ Архимеда по определению площади круга и квадратуры параболы до нахождения Пьером Ферма площади под кривой y = xn. Однако в этих попытках не было системы. Задачи с областями решались по ситуации, от случая к случаю, как если бы математик каждый раз начинал работу заново.
С теми же сложностями математики сталкивались при определении объемов криволинейных тел и длин различных дуг. Даже Декарт полагал, что определение длины дуги выше человеческого понимания. В своей книге по геометрии он писал: «Отношение, существующее между прямыми и кривыми линиями, не известно человеку и даже, по моему мнению, не может быть известно»[197]. Все подобные задачи – длины кривых, площади и объемы – требуют нахождения бесконечных сумм бесконечно малых частей. Говоря современным языком, они все нуждаются в интегралах. Ни у кого не было надежной системы решения таких задач.
Именно это и изменилось после Ньютона и Лейбница. Они независимо друг от друга открыли и доказали основную теорему анализа, которая сделала эти задачи стандартными. Теорема связала площади с наклонами, то есть интегралы с производными. Это было потрясающе. Словно в романе Диккенса, два с виду далеких персонажа оказались близкими родственниками. Интегралы и производные были кровной родней.
Влияние этой фундаментальной теоремы было ошеломляющим. Почти в мгновение ока площади стали сговорчивыми. С задачами, которые ранее пытались решить гении, теперь можно было справиться за минуты. Как писал Ньютон одному своему другу, «не существует кривой, выраженной каким-нибудь уравнением… чтобы я не мог меньше чем за четверть часа сказать, можно ли ее квадрировать»[198]. Понимая, насколько невероятным может прозвучать такое заявление для современников, он продолжал: «Это может показаться смелым утверждением… но мне это очевидно по источнику, откуда я черпаю, хотя я и не берусь доказывать это другим»[199].
Секретным источником Ньютона была основная теорема анализа. Хотя ни он, ни Лейбниц не были первыми, кто ее сформулировал[200], они получили все лавры, потому что впервые доказали ее во всей полноте, осознали ее огромную пользу и важность и построили вокруг нее целую алгоритмическую систему. Разработанные ими методы стали обычным делом. Интегралы были обезврежены и превратились в домашние задания для подростков.
Прямо сейчас миллионы школьников и студентов по всему миру решают задачи по математическому анализу, считая один интеграл за другим с помощью основной теоремы. При этом многие даже не замечают подарка, который им преподнесли. И это вполне понятно – ситуация похожа на старый анекдот про рыбу, которая спрашивает свою подругу: «Разве ты не благодарна за воду?» На что вторая рыба отвечает: «А что такое вода?» Учащиеся, имеющие дело с анализом, постоянно погружены в основную теорему и поэтому, естественно, воспринимают ее как должное.
Основную теорему можно понять на интуитивном уровне, размышляя о расстоянии, которое проходит двигающийся объект, например бегун или автомобиль. Познакомившись с таким способом мышления, мы поймем, о чем она говорит, почему верна и почему так важна. Это не просто трюк для нахождения площадей. Это ключ к предсказанию будущего для всего, что нас волнует (в тех случаях, когда это возможно), и к раскрытию секретов движения и изменений во Вселенной.
Основная теорема пришла Ньютону в голову, когда он рассмотрел задачу определения площади с динамической точки зрения. Ему пришла в голову идея внести в эту картину время и движение. Пусть площадь меняется, решил он, и пусть она постоянно увеличивается.
Простейшая иллюстрация его идеи возвращает нас к знакомой задаче с автомобилем, движущимся с постоянной скоростью, для которого пройденное расстояние равно скорости, умноженной на время. Каким бы элементарным ни был этот пример, он все же отражает суть основной теоремы и поэтому подойдет для начала ее рассмотрения.
Представьте, что машина едет по шоссе со скоростью 60 километров в час. Если мы построим график зависимости расстояния от времени и график зависимости скорости от времени, то они будут выглядеть так:
Сначала посмотрим на расстояние в зависимости от времени. Через один час автомобиль проедет 60 километров, через два часа – 120 километров и так далее. В целом расстояние и время связаны соотношением y(t) = 60t, где y(t) – расстояние, пройденное за время t. Я буду называть y(t) = 60t функцией расстояния. Как показано на верхнем рисунке, график функции расстояния – это прямая с наклоном (угловой коэффициент) 60 километров в час. Эта величина сообщает нам скорость автомобиля в любой момент (если бы мы ее еще не знали). В более сложных ситуациях скорость может меняться, но сейчас это простая постоянная функция, v(t) = 60 для любых значений t. Она отображена на нижнем рисунке в виде горизонтальной линии.
Посмотрев, как скорость проявляет себя на графике расстояния (как наклон прямой), теперь переиначим вопрос и спросим: как расстояние проявляет себя на графике скорости? Иными словами, есть ли на графике скорости какая-нибудь визуальная или геометрическая особенность, которая позволила бы нам увидеть, какое расстояние преодолел автомобиль за любое конкретное время t? Да, есть. Пройденное расстояние – это площадь под кривой скорости (в нашем случае это прямая линия) до момента времени t.
Чтобы понять, почему это так, предположим, что машина проехала какое-то определенное время, например полчаса. В этом случае она проедет 30 километров, поскольку Но суть всего этого в том, что мы можем узнать это расстояние в виде площади серого прямоугольника под прямой между моментами времени t = 0 и часа.
Высота этого прямоугольника – 60 километров в час, основание – часа. Это дает нам площадь 30 километров, что и будет пройденным расстоянием.
То же самое рассуждение работает для любого времени t. Основанием прямоугольника будет t, высота – по-прежнему 60, поэтому площадь равна 60t. И действительно, именно это расстояние мы и ожидаем найти, y = 60t.
Таким образом, как минимум в этом примере, где скорость всегда постоянна, а кривая скорости – просто прямая линия, ключ к определению пройденного расстояния – поиск площади под кривой скорости. Открытие Ньютона состояло в том, что это равенство между площадью и расстоянием верно всегда, даже если скорость непостоянна. Как бы неравномерно ни двигался объект, площадь под кривой скорости к моменту t всегда равна общему расстоянию, пройденному за время t. Это один из вариантов основной теоремы. Он кажется слишком простым, чтобы претендовать на истину, но тем не менее это она и есть.
Ньютон пришел к нему, думая о площади как о переменной величине, а не о фиксированной мере, как тогда было принято в геометрии. Он ввел в геометрию время, рассматривая ее как физику. Если бы Ньютон жил сегодня, возможно, он бы визуализировал приведенный выше рисунок с помощью анимации, например в виде кинеографа[201], а не мгновенного снимка. Чтобы сделать это, снова взгляните на картинку выше, но теперь представьте, что это один кадр фильма или одна страничка в кинеографе. Как будет меняться серый прямоугольник, если мы начнем просматривать анимацию? Мы увидим, что он расширяется вправо. Почему? Потому что длина его основания равна t и она увеличивается со временем. Если бы мы могли делать по кадру для каждого момента и последовательно их воспроизводить, словно пролистывая странички в кинеографе, то увидели бы, как анимированная версия серого прямоугольника расширяется вправо. Это походило бы на поршень или лежащий на боку шприц, который втягивает серую жидкость.
Эта серая жидкость представляет собой увеличивающуюся площадь прямоугольника. Мы представляем, что эта площадь «накапливается» под кривой скорости v(t). В нашем случае площадь, накопленная к моменту времени t, равна A(t) = 60t, что совпадает с расстоянием, пройденным автомобилем, y(t) = 60t. Таким образом, накопленная площадь под кривой скорости дает расстояние как функцию времени. Это вариант основной теоремы для движения.
Мы прокладываем дорогу к Ньютонову общему геометрическому случаю основной теоремы, в котором фигурирует произвольная кривая y(t) и площадь A(t) под ней. Идея накопления площади – ключевая для объяснения теоремы, но я понимаю, что к ней следует немного привыкнуть. Поэтому давайте применим ее еще к одной конкретной задаче о движении, прежде чем перейдем к общему случаю.