x двигается направо с постоянной скоростью. Вы можете даже думать об x как о времени: Ньютон часто так и делал. По мере движения x площадь серой области непрерывно меняется. Поскольку она зависит от x, ее следует рассматривать как функцию от x, так что запишем ее в виде A(x). Когда мы хотим подчеркнуть, что эта площадь является функцией x (в противопоставление фиксированному числу), мы будем называть ее функцией накопления площади, а иногда просто функцией площади.
Мой преподаватель анализа в старших классах, мистер Джоффри, предлагал яркую запоминающуюся метафору для этого «текучего» сценария, когда x скользит, а вместе с ним меняется площадь. Он просил нас представить волшебный малярный валик, который движется по горизонтали. Двигаясь вправо, он окрашивает в серый цвет участок под кривой.
Пунктирная линия в точке x обозначает текущее положение этого воображаемого малярного валика, пока он двигается вправо. При этом для гарантии аккуратного окрашивания валик мгновенно каким-то волшебным образом растягивается или сжимается в вертикальном направлении – в точности от кривой вверху до оси x внизу, но их не пересекая. Волшебство тут в том, что валик при движении всегда меняет свою длину до величины y(x), чтобы безукоризненно окрашивать площадь нужной фигуры.
Сочинив такой неправдоподобный сценарий, зададимся вопросом: с какой скоростью серая площадь увеличивается по мере перемещения x вправо? Или, что эквивалентно, с какой скоростью ложится краска, когда малярный валик находится в точке x? Для ответа на вопрос подумайте, что произойдет в следующий бесконечно малый интервал времени. Валик перемещается вправо на бесконечно малый промежуток dx. Когда он проходит такое крошечное расстояние, его длина в вертикальном направлении практически не меняется, поскольку при столь бесконечно малом перемещении у него почти нет времени на изменение длины (этот тонкий момент мы обсудим в следующей главе). В течение этого короткого интервала валик фактически окрашивает высокий тонкий прямоугольник с высотой y и бесконечно малой шириной dx, бесконечно малая площадь которого равна dA = y dx. Разделив части этого уравнения на dx, мы получим скорость, с которой накапливается площадь. Она определяется соотношением
Эта аккуратная формула говорит, что общая окрашенная площадь под кривой увеличивается со скоростью, равной текущей высоте y малярного валика. Это логично: чем длиннее валик в данный момент, тем больше краски он наносит в следующее мгновение и тем быстрее накапливается окрашенная площадь.
Приложив еще немного усилий, мы могли бы доказать, что эта геометрическая версия теоремы эквивалентна версии с движением, которую мы использовали ранее, где утверждалось, что накопленная площадь под кривой скорости равна расстоянию, пройденному двигающимся телом. Однако у нас есть более срочные задачи. Нам нужно понять, что означает эта теорема, почему она так важна и как она в итоге изменила мир.
Следующая диаграмма подытоживает то, что мы только что узнали.
На ней показаны три функции, которые нас интересуют, и взаимосвязи между ними. Наша кривая находится в середине, ее неизвестный наклон – справа, а неизвестная площадь под ней – слева. Как мы видели в главе 6, именно эти три функции фигурируют в трех основных задачах анализа. Имея кривую y, мы пытаемся вычислить ее наклон и площадь.
Надеюсь, эта диаграмма проясняет, почему я назвал поиск наклона «прямой задачей». Чтобы найти наклон для кривой, мы просто следуем по стрелке вправо. Для определения наклона мы вычисляем производную y. Это прямая задача (1), которую мы обсуждали в предыдущей главе.
А вот чего мы не знали прежде, но узнали из основной теоремы сейчас, это то, что площадь A и кривая y тоже связаны производной: основная теорема гласит, что производная A – это y. Это потрясающий факт. Он позволяет нам определить площадь под произвольной кривой, решив тем самым древнюю задачу, почти две тысячи лет ставившую в тупик величайшие умы. Эта картинка подсказывает путь к ответу. Но прежде чем откупоривать шампанское, нужно осознать, что основная теорема дает нам не совсем то, что мы хотим. Она не дает нам непосредственно площадь, но рассказывает, как ее получить.
Как я уже пытался разъяснить, основная теорема не полностью решает задачу площади. Она предоставляет информацию о скорости ее изменения, но саму площадь нам еще нужно получить.
Языком символов основная теорема сообщает нам, что dA / dx = y, где y(x) – имеющаяся у нас функция. Однако нам по-прежнему нужно найти A(x), удовлетворяющее этому уравнению. Погодите минутку! Это же означает, что мы внезапно снова столкнулись с обратной задачей! Вот так поворот! Мы пытались решить задачу площади, центральную задачу номер 3 в списке из главы 6, и вдруг столкнулись с обратной задачей, центральной задачей номер 2 в том же списке. Я называю ее обратной задачей, потому что, как показывает диаграмма выше, поиск A по y означает движение против стрелки, движение назад относительно производной. В этом случае детская игра может выглядеть примерно так: «Я задумал функцию площади A(x), производная которой равна 12x + x10 – sinx. Какую функцию я задумал?»
Разработка метода решения обратной задачи – не только для 12x + x10 – sinx, но и для произвольной кривой y(x) – стала святым Граалем для анализа. Точнее, святым Граалем для интегрального исчисления. Решение обратной задачи позволило бы раз и навсегда закрыть тему нахождения площади. Имея y(x), мы бы знали площадь A(x) под ней. Решив обратную задачу, мы бы также решили задачу площади. Именно это я имел в виду, когда говорил, что эти две задачи – близнецы, разлученные при рождении. Это две стороны одной медали.
Решение обратной задачи имеет гораздо более серьезные последствия по следующей причине: с точки зрения Архимеда, площадь – это бесконечная сумма бесконечно малых прямоугольных полос, а значит, в этом смысле площадь интеграл. Это объединенная (интегрированная) совокупность всех сложенных вместе кусочков, накопление бесконечно малых изменений. И так же как производные оказались важнее наклонов, интегралы оказались важнее площадей. Площади необходимы для геометрии, интегралы – для всего, в чем мы убедимся в следующих главах.
Один из способов подойти к сложной обратной задаче – игнорировать ее. Отложите ее в сторону. Замените более простой прямой задачей (для данной функции A(x) вычислите ее скорость изменения dA / dx; согласно основной теореме, это должно равняться величине y, которую мы ищем). Прямая задача намного проще, потому что мы знаем, с чего начать. Мы можем начать с известной функции площади A(x), а затем узнать скорость ее изменения с помощью стандартных формул для производных. Получившаяся скорость изменения dA / dx далее должна играть роль парной функции y, как нас убеждает основная теорема: dA / dx = y. Сделав это, мы получим пару партнерских функций, A(x) и y(x), которые представляют функцию площади и соответствующую кривую. Есть надежда, что если нам посчастливится наткнуться на какую-то задачу, где нужно найти площадь под этой конкретной кривой y(x), то соответствующей функцией площади будет как раз A(x). Это не системный подход, и он срабатывает только в случае, если нам повезет, но, по крайней мере, он прост и у нас есть с чего начать. Чтобы повысить шансы на успех, мы можем создать огромную справочную таблицу с сотнями функций площадей и их соответствующими кривыми, то есть с множеством пар (A(x), y(x)). Тогда размеры и разнообразие такой таблицы повысят наши шансы наткнуться на пару, которая подходит для решения интересующей нас задачи. И как только мы найдем эту пару, нам больше ничего не нужно делать – ответ будет прямо в таблице.
Например, в следующей главе мы увидим, что производная x3 равна 3x2. Мы получим этот результат, решив прямую задачу, просто взяв производную. Однако самое замечательное – что это говорит нам о том, что x3 может играть роль A(x), а 3x2 – роль y(x). Не вспотев, мы решили задачу площади для x (если нам когда-нибудь понадобится именно она). Продолжая в том же духе, мы можем заполнить таблицу и другими степенями 3x2. Аналогичные вычисления покажут, что производная x4 равна 4x3, производная x5 равна 5x4 и в целом производная xn равна nxn-1. Все это простые решения прямой задачи для степенных функций. Поэтому столбцы в нашей таблице будут выглядеть примерно так:
В своей тетради 22-летний Исаак Ньютон составил для себя похожую таблицу[204].
Воспроизведено с любезного разрешения уполномоченных лиц библиотеки Кембриджского университета. MS-ADD-04000–000–00259.tif (MS Add. 4000, page 124r).
Обратите внимание, что его язык несколько отличался от нашего. Кривые в левом столбце – это «Уравнения, выражающие природу линий y». Их функции площади – это «их квадратуры» (поскольку он рассматривал задачу нахождения площади как квадрирование кривых). Он также ощущал необходимость вставлять различные степени