[209], когда Исаак оставался вечером у себя в комнате один, он рисовал на стенах фигуры – окружности и многоугольники, как у Архимеда.
В шестнадцать лет мать забрала его из школы и заставила управлять семейной фермой. Он ненавидел это занятие; в результате дошло до того, что его свиньи бегали по полям соседей, а заборы развалились, из-за чего местный суд оштрафовал его. Не обошлось и без ссор с матерью и сводными сестрами. Исаак часто уходил в поле, ложился там и читал в одиночестве. Он строил водяные колеса в ручье и наблюдал, какие вихри они создают в потоке.
Наконец мать сделала доброе дело и по настоянию своего брата Уильяма Эйскоу и учителя Стокса позволила Исааку вернуться в школу. В 1661 году Ньютон успешно ее окончил и поступил в Тринити-колледж в Кембридже в качестве студента-сайзера. Так тогда называли тех, с кого не брали денег за обучение, но они зарабатывали себе на жизнь, помогая более богатым студентам. Иногда Исаак питался их объедками. (Мать могла себе позволить содержать сына, но этого не делала.) В колледже у него было мало друзей, и такая ситуация сохранится в течение всей его жизни. Он никогда не был женат и, насколько известно, никогда не заводил романов. Он редко смеялся.
Первые два года обучения в колледже были посвящены аристотелевской схоластике, что в то время было стандартом. Но затем разум юноши зашевелился. Прочитав книгу по астрологии, он заинтересовался математикой и обнаружил, что не в состоянии понять ее без знания тригонометрии, а тригонометрию – без знания геометрии, поэтому засел за «Начала» Евклида. Сперва все описанные результаты казались ему очевидными, но все изменилось, когда он добрался до теоремы Пифагора.
В 1664 году Исааку назначили стипендию, и он всерьез погрузился в математику. Изучив стандартные труды того времени, он быстро освоил основы десятичной арифметики, символическую алгебру, пифагоровы тройки, перестановки, кубические уравнения, конические сечения и бесконечно малые. Особенно его увлекли два автора – Декарт с его аналитической геометрией и касательными и Джон Валлис с исследованиями бесконечного и поиском площадей фигур.
Игра со степенными рядами
Изучая зимой 1664–1965 годов трактат Валлиса «Арифметика бесконечного», Ньютон наткнулся на нечто волшебное[210]. Это был новый способ поиска площадей под кривыми – способ, который был одновременно и простым, и общим.
По сути, он превратил принцип бесконечности в алгоритм. Традиционный принцип бесконечности предлагает вычислять площадь сложной области, представляя ее в виде бесконечного ряда более простых областей. Ньютон следовал этой стратегии, но модернизировал ее, используя в качестве строительных блоков не формы, а символы. Вместо обычных осколков, полосок или многоугольников он использовал степени x, такие как x2 или x3. Сегодня мы называем такую стратегию методом разложения функций в степенные ряды.
Ньютон рассматривал степенные ряды как естественное обобщение бесконечных десятичных дробей. В конце концов, бесконечная десятичная дробь – это не что иное, как бесконечный ряд степеней чисел 10 и 1/10. Цифры в подобного рода записи говорят нам, сколько степеней 10 и 1/10 здесь содержится. Например, числу π = 3,14… соответствует такой ряд:
Конечно, чтобы записать любое число этим способом, мы должны разрешить себе использовать бесконечное количество цифр – именно это требует бесконечная дробь. По аналогии Ньютон предположил, что он может составить любую кривую или функцию из бесконечного числа степеней x. Фокус состоял в том, чтобы выяснить, сколько их нужно для искомой комбинации. В ходе своих изысканий он разработал несколько методов поиска нужных сочетаний.
Ньютон наткнулся на свой метод, размышляя о площади круга. Обобщив старую задачу, он обратил внимание на конструкцию, которую раньше никто не замечал. Вместо того чтобы смотреть на стандартные формы вроде целого круга или четверти круга, он занялся фигурой необычной формы – «круговым сегментом» ширины x, где величина x могла быть произвольным числом от 0 до 1, а радиус круга составлял 1.
Это был первый творческий шаг. Преимуществом использования величины x было то, что Ньютон мог непрерывно регулировать форму области, словно поворачивая какую-то рукоятку. Небольшое значение x, близкое к 0, давало тонкий вертикальный сегмент круга, тонкую полоску, стоявшую на его краю. Увеличение x утолщало сегмент. Приближение x к 1 давало знакомую форму четверти круга. Меняя x в ту или иную сторону, Ньютон мог получать все промежуточные формы.
С помощью раскованного экспериментирования, распознавания закономерностей и вдохновенных догадок (стиля мышления, почерпнутого из книги Валлиса) Ньютон обнаружил, что площадь круглого сегмента можно выразить с помощью следующего бесконечного степенного ряда:
То, откуда взялись все эти диковинные дроби и почему все степени x здесь нечетные числа, было секретным «соусом» Ньютона. Он «приготовил» его с помощью рассуждения, которое можно изложить следующим образом[211]. (Не стесняйтесь пропустить остальную часть абзаца, если вам это рассуждение не особо интересно. А если вас, наоборот, интересуют подробности, ищите их в примечаниях.) Ньютон начал работать с круговым сегментом, используя аналитическую геометрию. Он написал уравнение окружности в виде x2 + y2 = 1, откуда получил для y выражение Далее он доказал, что квадратный корень эквивалентен степени 1/2, то есть обратите внимание, что 1/2 стоит справа от скобок. Затем, поскольку ни он, ни кто-либо другой не знал, как находить площади сегментов с половинными степенями, то обошел эту проблему (второй творческий шаг) и решил ее для целых степеней. Искать площади для целых степеней было просто; он знал это из книги Валлиса. Таким образом, Ньютон вычислил площади сегментов для степеней 1, 2, 3 и так далее: y = (1 – x2)1, y = (1 – x2)2, y = (1 – x2)3. Он разложил эти выражения с помощью биномиальной теоремы и увидел, что они стали суммами степенных функций, площади для которых он уже свел в таблицу, которую мы видели на странице из его рабочей тетради. Затем он нашел закономерности в площадях сегментов как функций от x. На основании закономерности, замеченной для целых степеней, он угадал ответ (третий творческий шаг) для половинной степени, после чего проверил его различными методами. Ответ для степени 1/2 привел его к формуле для A(x) – удивительному степенному ряду с экстравагантными дробями, показанными выше.
Производная степенного ряда для площади сегмента круга дала ему не менее удивительный ряд для площади самого круга:
Хотя еще многое предстояло сделать, тем не менее это уже был замечательный результат. Ньютон составил окружность из бесконечного количества более простых частей – более простых с точки зрения интегрирования и дифференцирования. Все составляющие были степенными функциями вида xn, где n – целое число. Для всех отдельных степенных функций было легко посчитать и производные, и интегралы (функции площади). Точно так же численные значения xn можно вычислить с помощью простой арифметики, используя только многократное умножение, а затем снова преобразовать в ряд с помощью всего лишь четырех арифметических действий. Тут не нужно было беспокоиться о квадратных корнях и прочих хлопотных функциях. Если бы Ньютону удалось найти такие степенные ряды для других кривых, а не только для кругов, их можно было бы тоже проинтегрировать безо всяких проблем.
Это поразительно, Исааку Ньютону едва исполнилось 22 года, а он уже нашел путь к святому Граалю анализа. Преобразуя кривые в степенные ряды, он мог систематически находить площади под ними. Обратная задача для степенных функций была парой пустяков, если учесть уже табулированные Ньютоном пары функций. Поэтому так же просто можно было разобраться с любой кривой, если ее можно было выразить в виде суммы степенного ряда. Таков был его алгоритм. И он был невероятно мощным.
Затем он попробовал другую кривую, гиперболу с уравнением y = 1 / (1 + x), и обнаружил, что и ее можно записать в виде степенного ряда
Этот ряд, в свою очередь, привел его к ряду для площади области под гиперболой на отрезке от 0 до x, гиперболического аналога кругового сегмента, изученного им ранее. Этот ряд определяет функцию, которую Ньютон назвал гиперболическим логарифмом, а мы сегодня именуем натуральным логарифмом:
Логарифмы привлекали Ньютона по двум причинам. Во-первых, они позволяли во много раз ускорять вычисления, во-вторых, были применимы к сложной проблеме в теории музыки, над которой он работал: как разделить октаву на идеально равные музыкальные интервалы, не жертвуя при этом приятной гармонией традиционной шкалы. (На языке теории музыки Ньютон использовал логарифмы, чтобы оценить, насколько точно равномерное разделение октавы может аппроксимировать традиционную систему чистого строя.)
Благодаря чудесам интернета и историкам из проекта Newton вы можете прямо сейчас перенестись в 1665 год и посмотреть на работу молодого Ньютона. Его рабочие записи из колледжа есть в бесплатном доступе по адресу http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/. Загляните через его плечо и найдите страницу 223 (в оригинале 105v), вы увидите, как он сравнивает музыкальные и геометрические прогрессии. Взгляните на нижнюю часть страницы, чтобы понять, как он соединяет свои вычисления с логарифмами. Затем перейдите на страницу 43 (в оригинале 20r) и ознакомьтесь с тем, как он выполняет квадратуру гиперболы и использует свой степенной ряд, чтобы вычислить натуральный логарифм числа 1,1 с пятьюдесятью знаками.