Разве обычный человек станет вычислять логарифмы с точностью до пятидесяти знаков? Казалось, он упивался новообретенной силой, которую ему дали степенные ряды. Позже, размышляя над экстравагантностью своих расчетов, он несколько конфузливо признался: «Стыдно сказать, в какое число мест я тащил тогда эти вычисления, не имея при этом никаких других дел; ибо тогда я действительно получал слишком много удовольствия от таких изобретений»[212].
Если вас это утешит, то никто не совершенен. Когда Ньютон впервые выполнил эти вычисления, он допустил мелкую арифметическую ошибку. Его расчеты были верны только до 28-й цифры. Позднее он обнаружил ошибку и исправил ее.
После атаки на натуральный логарифм Ньютон применил степенные ряды к тригонометрическим функциям, которые возникают каждый раз там, где есть окружности, циклы и треугольники, то есть в астрономии, геодезии или навигации. Однако здесь Ньютон не был первым. Более двух веков назад математики из Кералы в Индии открыли степенные ряды для синуса, косинуса и арктангенса[213]. В начале 1500-х Джьештадева и Нилаканта Сомаяджи приписали эти формулы Мадхаве из Сангамаграмы (около 1350 – около 1425), основателю Керальской школы математики и астрономии, который вывел их и выразил в стихах примерно за двести пятьдесят лет до Ньютона. В известном смысле логично, что степенные ряды появились в Индии. Именно здесь родились десятичные дроби, а, как мы видели, Ньютон полагал, что делает для кривых примерно то же, что бесконечные десятичные дроби для арифметики.
Суть в том, что степенные ряды вооружили Ньютона универсальным инструментом анализа. С ними он мог брать интегралы, находить корни алгебраических уравнений и вычислять значения неалгебраических функций, таких как синусы, косинусы и логарифмы. Как заметил ученый, «с их помощью анализ справляется, я бы сказал, со всеми задачами»[214].
Ньютон как мастер мэшапа
Я не верю, что Ньютон делал это сознательно, но в своей работе со степенными рядами он вел себя как мастер математического мэшапа[215]. Он подошел к задаче площади в геометрии через принцип бесконечности древних греков и сплавил его с индийскими десятичными дробями, исламской алгеброй и французской аналитической геометрией.
Некоторые математические заимствования видны в структуре его уравнений. Например, сравните бесконечный ряд чисел, использованный Архимедом при квадрировании параболы:
с бесконечным рядом символов, которые Ньютон использует при квадрировании гиперболы:
Если вы подставите в ряд Ньютона, он станет рядом Архимеда. В этом смысле ряд Ньютона вобрал в себя ряд Архимеда как частный случай.
Более того, сходство в их работе распространяется и на рассматриваемые ими геометрические задачи. Оба берут сегменты; Архимед использует свой ряд для квадрирования (нахождения площади) сегмента параболы, а Ньютон – свой усовершенствованный степенной ряд
для квадрирования кругового сегмента и другой степенной ряд
для квадрирования сегмента гиперболы.
На самом деле ряды Ньютона неизмеримо мощнее, чем ряд Архимеда, потому что позволяли находить площади не одного, а бесконечного количества круговых и гиперболических сегментов. Вот что дал ученому абстрактный символ x. Он позволил ему непрерывно и безболезненно менять задачи; менять форму сегментов, сдвигая x влево или вправо, и в результате то, что казалось одним бесконечным рядом, на деле оказывалось бесконечным семейством бесконечных рядов, по одному ряду для каждого конкретного x. Такова мощь степенных рядов. Они дали возможность одним махом решить бесконечно много задач.
Однако повторюсь: Ньютон не решил бы ни одной задачи, если бы не стоял на плечах гигантов. Он объединил, синтезировал и обобщил идеи своих великих предшественников. Он унаследовал принцип бесконечности от Архимеда; научился касательным у Ферма; родиной десятичных дробей была Индия; переменные восходят к арабской алгебре; представление кривых на координатной плоскости позаимствовано из трудов Декарта; раскованные ухищрения с бесконечностью, дух экспериментирования и открытость к допущениям и индукции пришли от Валлиса. Он смешал все это вместе, чтобы создать нечто новое – то, что мы до сих пор используем для решения задач анализа: универсальный метод степенных рядов.
Пока Ньютон работал со степенными рядами зимой 1664–1665 годов, Европу захлестнула страшная эпидемия, двигавшаяся, подобно волне, от Средиземного моря в Голландию. Когда бубонная чума достигла Лондона, она еженедельно убивала сначала сотни, а затем и тысячи людей. Летом 1665 года Кембриджский университет был временно закрыт. Ньютон отправился домой в семейную усадьбу в Линкольншире.
В течение следующих двух лет он стал лучшим математиком в мире. Но изобретения современного анализа было недостаточно, чтобы занять его ум. Он также открыл закон всемирного тяготения (закон обратных квадратов для гравитации) и применил его к движению Луны, изобрел телескоп-рефлектор и экспериментально показал, что белый свет состоит из всех цветов радуги. Ему не было еще и двадцати пяти. Как он позднее вспоминал, «в те дни я был в расцвете сил юности и думал о математике и философии больше, чем когда-либо впоследствии»[216].
В 1667 году, когда чума утихла, Ньютон вернулся в Кембридж и продолжил свои уединенные занятия. К 1671 году он свел разрозненные части анализа в единое целое. Он разработал метод разложения функций в степенные ряды, значительно улучшил существующие теории касательных, используя идеи движения, установил и доказал основную теорему анализа, которая решила задачу площадей, составил таблицы кривых и их функций площадей и свел все это в хорошо настроенную систематизированную вычислительную машину.
Но за стенами Тринити-колледжа он был невидим. Как, собственно, и хотел. Свой секретный источник он держал при себе. Замкнутый и подозрительный, он болезненно относился к критике и ненавидел спорить с кем бы то ни было, особенно с теми, кто его не понимал. Как он позднее объяснял, ему не нравится, когда его «изводят мелкие недоучки в математике»[217].
У него была еще одна причина для беспокойства: он знал, что его работа может быть подвергнута нападкам с точки зрения логики. Он использовал алгебру, а не геометрию и беспечно играл с бесконечностью, первородным грехом анализа. Джона Валлиса, чья книга так повлияла на молодого Ньютона, когда тот был студентом, жестко критиковали за то же самое. Томас Гоббс[218], политический философ и второсортный математик, назвал «Арифметику бесконечного» «паршой символов»[219] за то, что она опирается на алгебру, и «гнусной книгой»[220] за использование бесконечности. И Ньютон должен был признать, что его собственная работа была всего лишь анализом, а не синтезом. Она годилась для открытий, но не для доказательств. Он преуменьшал значение своих методов работы с бесконечностью, считая их «недостойными публичных выступлений»[221], а много лет спустя сказал: «Наша обманчивая алгебра вполне пригодна для поиска результатов, но совершенно не годится для создания текстов и передачи их потомкам»[222].
По этим и другим причинам Ньютон скрывал свои достижения. И все же какая-то его часть жаждала признания. Он был сильно расстроен и подавлен, когда Николас Меркатор опубликовал в небольшой книжке Logarithmotechnia, вышедшей в 1668 году, тот же самый ряд для натурального логарифма, который Ньютон открыл тремя годами ранее. Шок и разочарование оттого, что его опередили, побудили Ньютона написать в 1669 году короткую рукопись и распространить ее частным образом среди его немногих доверенных приверженцев. Книга с полным названием «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De Analysi) выходила далеко за пределы логарифмов. В 1671 году он расширил ее до своего главного труда по анализу – «Трактата о методах рядов и флюксий», известного также как De Methodis, однако рукопись не увидела свет при его жизни; он тщательно берег ее и хранил для личного пользования. De Analysi была опубликована только в 1711 году, а De Methodis появилась только после смерти ученого, в 1736 году.
Наследие Ньютона включало пять тысяч страниц неопубликованных математических рукописей, так что миру потребовалось время, чтобы открыть для себя Исаака Ньютона. Однако в стенах Кембриджа его считали гением. В 1669 году Исаак Барроу, первый лукасовский профессор математики[223] и человек, которого с наибольшим основанием можно назвать наставником Ньютона, ушел в отставку и рекомендовал его на свое место.
Это была идеальная должность для Ньютона. Впервые в жизни он был финансово обеспечен. Здесь не требовалось много преподавать. У него не было аспирантов, а студенты неохотно посещали его лекции, что тоже было неплохо, так как они все равно его не понимали. Они не знали, как относиться к этой странной сухопарой монашеской фигуре в алом одеянии, с мрачным лицом и серебристыми волосами до плеч.
После окончания работы над De Methodis ум ученого оставался таким же лихорадочным, как и всегда, однако не анализ теперь составлял его главный интерес. Он углубился в библейские пророчества и хронологию, оптику и алхимию, разделял свет на цвета с помощью призм, экспериментировал с ртутью, нюхал химические вещества, и иногда пробовал их на вкус, топил днем и ночью печь, пытаясь превратить свинец в золото. И, как и Архимед, пренебрегал питанием и сном. Он искал секреты Вселенной и не желал ни на что отвлекаться.