Но отвлечься пришлось: в 1676 году он получил письмо из Парижа от некоего Лейбница. У того было несколько вопросов о степенных рядах.
Глава 8. Измышления разума
Как Лейбниц узнал о неопубликованной работе Ньютона? Это было несложно. Слухи об открытиях английского ученого ходили много лет. В 1669 году Исаак Барроу в надежде продвинуть своего протеже послал копию De Analysi без указания автора своему знакомому математику Джону Коллинзу, который находился в то время в центре переписки между британскими и континентальными математиками. Коллинз был поражен результатами, изложенными в книге, и спросил Барроу об авторе. С разрешения Ньютона Барроу раскрыл его имя: «Я рад, что работа моего друга доставила вам такое удовольствие. Его зовут мистер Ньютон; он сотрудник нашего колледжа, очень молодой… но необычайно гениальный и сведущий в этих вещах»[224].
Коллинз никогда не умел хранить секреты. Он дразнил своих корреспондентов отрывками из De Analysi и поражал их результатами Ньютона, не объясняя, откуда они взялись. В 1675 году он показал степенные ряды Ньютона для синуса и арксинуса датскому математику Георгу Бору, а тот сообщил о них Лейбницу. Лейбниц отправил письмо секретарю Лондонского королевского общества, родившемуся в Германии, но постоянно жившему в Лондоне дипломату и ученому Генри Ольденбургу: «Я вижу, что он [Бор] принес нам эти работы, которые кажутся мне весьма изобретательными, а последний ряд особенно выделяется определенной редкой элегантностью, так что я был бы признателен, достославный сэр, если бы вы прислали мне доказательство»[225].
Ольденбург передал эту просьбу Ньютону, но тот не слишком обрадовался. Отправить доказательство? Ха! Вместо этого он через Ольденбурга ответил Лейбницу целыми страницами загадочных устрашающих формул, которыми был набит труд De Analysi. За пределами узкого круга знакомых Ньютона никто не видел подобной математики. Вдобавок Ньютон подчеркнул, что этот материал устарел: «Я пишу довольно коротко, поскольку эти теории давно стали мне неприятны – до такой степени, что я уже почти пять лет от них воздерживаюсь»[226].
Однако Лейбница такое замечание не остановило, и он написал ответ, надеясь расшевелить Ньютона и извлечь еще какую-нибудь информацию. Во всем этом он был новичком. Дипломат, логик, лингвист и философ, он только недавно заинтересовался высшей математикой. Он много общался с Христианом Гюйгенсом, ведущим математическим умом Европы, поэтому был в курсе последних событий. Всего за три года занятий Лейбниц обогнал всех на континенте. Все, что ему сейчас требовалось, – выяснить, что знает Ньютон… и что утаивает.
Чтобы выудить информацию из англичанина, Лейбниц попробовал другой подход. Он попытался произвести на него впечатление, но просчитался. Он предложил Ньютону некоторые собственные наработки, а именно один бесконечный ряд, которым гордился: под видом подарка, но фактически как намек, что он достоин того, чтобы ему раскрыли секрет.
Ньютон ответил через Ольденбурга спустя два месяца, 24 октября 1676 года. Он начал с лести, назвав Лебница «весьма выдающимся»[227] и похвалив его бесконечный ряд, отметив, что он «заставляет нас также надеяться на другие великие вещи от него»[228]. Следовало ли воспринимать такие комплименты всерьез? По-видимому, нет, поскольку следующая строка была полна ядовитого сарказма: «Разнообразие способов достижения одной и той же цели доставило мне большое удовольствие, поскольку мне уже известны три способа получения рядов такого рода, так что я едва ли мог ожидать, что мне сообщат какой-то новый»[229]. Другими словами, спасибо за то, что показали мне то, что я умею делать тремя другими способами.
В оставшейся части письма Ньютон просто играл с Лейбницем. Он раскрыл некоторые свои методы для бесконечных рядов, объясняя их в педагогической манере, более подходящей для школьников. К счастью для потомков, эти части письма настолько прозрачны, что мы можем точно понять, что имел в виду Ньютон.
Но когда он добрался до своих самых ценных открытий (революционных методов из второго трактата по анализу, De Methodis, включая основную теорему, которая еще не стала известной), вежливое изложение Ньютона закончилось: «Основания таких операций на деле достаточно очевидны, но поскольку я не могу продолжить их объяснение сейчас, я предпочту скрыть их в таком виде: 6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx. На этом основании я также пытался упростить теории, касающиеся нахождения квадратур кривых и получил некоторые общие теоремы»[230].
С помощью этого шифрования Ньютон раскрыл Лейбницу свой самый заветный секрет, фактически говоря ему: «Я знаю нечто, чего не знаешь ты, и даже если ты впоследствии откроешь это, эта криптограмма докажет, что я знал это раньше»[231].
А вот чего Ньютон не знал – так это того, что Лейбниц уже открыл этот секрет самостоятельно.
Между 1672-м и 1676 годом Лейбниц создал собственную версию анализа. Как и Ньютон, он установил и доказал основную теорему, осознал ее значимость и построил вокруг нее алгоритмическую систему. Он писал, что с ее помощью смог «в мгновение ока»[232] вывести почти все теоремы о квадратурах и касательных, известные в то время, – за исключением тех, которые Ньютон по-прежнему скрывал от мира.
Когда Лейбниц написал два письма Ньютону в 1676 году, любопытствуя и прося доказательств, он понимал, что излишне напорист, но ничего не мог с собой поделать. Как он однажды признался своему другу, «я часто ощущаю себя обремененным недостатком, который в этом мире имеет большое значение, а именно нехваткой изысканных манер, поэтому часто порчу первое впечатление о себе»[233].
Тощий, сутулый и бледный[234], Лейбниц был не из тех, чья внешность привлекает внимание, но его ум был прекрасен. Он был самым разносторонним гением[235] в век гениев, среди которых были Декарт, Галилей, Ньютон и Бах.
Хотя Лейбниц создал свой вариант анализа через десятилетие после Ньютона, обычно по нескольким причинам его считают соавтором. Он первым опубликовал результаты, причем в стройной удобоваримой форме, да и воспользовался продуманными элегантными обозначениями, которые актуальны до сих пор. Более того, Лейбниц привлекал последователей, которые распространяли его слово с евангельским рвением. Они написали влиятельные учебники и проработали предмет с плодовитой детальностью. Позднее, когда Лейбница обвиняли в краже анализа у соперника, эти ученики яростно его защищали и с тем же запалом контратаковали Ньютона.
Подход Лейбница к анализу более элементарен, чем у Ньютона, и во многих случаях интуитивно понятнее[236]. Это также объясняет, почему изучение производных издавна называется дифференциальным исчислением, а операция взятия производной – дифференцированием. Причина в том, что при подходе Лейбница истинное сердце анализа – понятие дифференциала, производные же вторичны и являются позднейшим продуктом.
Сегодня мы забываем, насколько важны были дифференциалы. Современные учебники преуменьшают их значимость, переопределяют и обеляют их, поскольку они (ах!) бесконечно малы. В этом качестве они кажутся парадоксальными, странными и пугающими, поэтому многие учебники – просто на всякий случай – запирают бесконечно малые где-то на чердаке, как мать Нормана Бейтса в фильме «Психо». Но на самом деле их не стоит бояться. Правда.
Давайте же с ними познакомимся.
Бесконечно малая величина – весьма туманная вещь. Предполагается, что это самое крохотное число, которое вы можете себе представить, но при этом не равное нулю. Короче говоря, бесконечно малая величина меньше, чем все, но больше, чем ничто. Еще парадоксальнее то, что бесконечно малые величины бывают разных размеров.
Бесконечно малая часть бесконечно малой величины – еще неизмеримо меньше. Мы могли бы назвать это бесконечно малой величиной второго порядка.
Точно так же как существуют бесконечно малые величины, существуют бесконечно малые длины и бесконечно малые времена. Бесконечно малая длина – это не точка, она больше точки, но меньше, чем любая длина, которую вы можете себе представить. Аналогично бесконечно малый временной интервал – это не мгновение, не одна точка во времени, но он короче любого мыслимого промежутка времени.
Понятие бесконечно малых величин возникло как способ говорить о пределах. Вспомните пример из главы 1, где мы рассматривали последовательность правильных многоугольников, которая начиналась с равностороннего треугольника и квадрата и продолжалась пятиугольниками, шестиугольниками и другими правильными многоугольниками со все большим числом сторон. Мы отмечали, что чем больше сторон рассматриваем, тем больше многоугольник становится похож на окружность. У нас возникало искушение сказать, что окружность – это многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон, но мы прикусили язык, поскольку это понятие, казалось, вело к бессмыслице.
Мы также обнаружили, что если взять любую точку на окружности и смотреть на нее в микроскоп, то любая крохотная дуга, содержащая эту точку, будет при увеличении выглядеть все прямее и прямее. В пределе с бесконечным увеличением она будет идеально прямой. В этом смысле действительно полезно думать об окружности как о бесконечном множестве прямых фрагментов и, следовательно, как о многоугольнике с бесконечным числом бесконечно малых сторон.