За столетия после Ньютона математики и физики разработали множество оригинальных способов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и, соответственно, прогнозирования систем реального мира, которые они описывают. Эти методы включали развитие идей Ньютона о степенных рядах, идей Лейбница о дифференциалах, хитроумные преобразования, которые позволяют применять основную теорему анализа, и так далее. Это масштабная индустрия, и она продолжает функционировать по сей день.
Однако не все системы дискретны – по крайней мере, не все из них следует рассматривать таким образом, как мы видели на примере гитарной струны. Следовательно, не все системы можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чтобы понять, почему, давайте посмотрим на воображаемую тарелку супа, остывающего на кухонном столе.
Конечно, тарелка супа на каком-то уровне представляет дискретное множество хаотично двигающихся молекул. Однако нет никаких возможностей их рассмотреть, измерить или иным образом количественно выразить их перемещения, поэтому никому не приходит в голову использовать обыкновенные дифференциальные уравнения для модели охлаждения супа. Придется иметь дело со слишком большим количеством частиц, движение которых нерегулярно, беспорядочно и неизвестно.
Гораздо удобнее думать о супе как о континууме. Это не совсем верно, но разумно. При аппроксимации континуумом мы считаем, что суп существует в каждой точке трехмерного объема тарелки. Температура T в определенной точке (x, y, z) зависит от времени t. Вся эта информация содержится в функции T. Как мы вскоре убедимся, существуют дифференциальные уравнения для описания того, как эта функция меняется во времени и пространстве. Такое уравнение уже не будет обыкновенным дифференциальным уравнением, ведь в нем не одна независимая переменная, а фактически четыре – t, x, y и z. Это новый зверь – уравнение в частных производных[285], названное так потому, что производные берутся по отдельным переменным.
Уравнения в частных производных намного разнообразнее обыкновенных. Они описывают непрерывные системы, движущиеся и изменяющиеся одновременно в пространстве и времени или в двух или нескольких измерениях пространства; провисшую форму гамака, распространение загрязняющего вещества в озере или поток воздуха над крылом истребителя.
Такие уравнения крайне трудны в решении, на их фоне обыкновенные дифференциальные уравнения, которые сами по себе тоже сложные, кажутся детской забавой. Но они чрезвычайно важны. Наша жизнь зависит от них каждый раз, когда мы поднимаемся в небо.
Дифференциальные уравнения в частных производных и Boeing 787
Полет современного самолета – это чудо математического анализа. Но так было не всегда: на заре авиации первые летательные аппараты создавали по аналогии с птицами и воздушными змеями, применяя инженерную смекалку и метод проб и ошибок. Например, братья Райт для разработки системы управления аэропланом в полете и преодоления присущей ему неустойчивости опирались на свои знания о велосипедах.
Однако по мере совершенствования конструкции самолетов для их проектирования требовалось применять все более сложные средства. Аэродинамические трубы давали инженерам возможность проверять аэродинамические свойства аппаратов еще на земле. Модели, представлявшие миниатюрные копии реальных самолетов, позволяли проектировщикам проверять пригодность к полетам без создания полномасштабных моделей.
После Второй мировой войны авиационные инженеры добавили в свой арсенал компьютеры. Исполины на электронных лампах, которые использовались для взлома шифров, артиллерийских вычислений и прогноза погоды, помогали в создании современных реактивных самолетов. Компьютеры применялись для решения уравнений в частных производных, которые неизбежно возникали в процессе конструирования.
Было несколько причин для привлечения столь изощренной математики. Прежде всего – сложная геометрия самолета. Это не шар, не воздушный змей и не планер из бальсы. Форма самолета намного сложнее – крылья, фюзеляж, двигатели, хвост, закрылки и шасси. Все они отклоняют воздух, проносящийся мимо аппарата с огромной скоростью. И всякий раз, когда набегающий воздух отклоняется, он воздействует на все, что его отклоняет (это знает любой, кто когда-нибудь высовывал руку из окна автомобиля, мчащегося по шоссе). Если крыло самолета правильной формы, набегающий воздух стремится его поднять. Если самолет достаточно быстро двигается по взлетно-посадочной полосе, эта сила поднимает его в воздух и удерживает там. Однако наряду с подъемной силой, действующей перпендикулярно потоку набегающего воздуха, существует сила – лобовое сопротивление, – действующая параллельно потоку. Это сопротивление подобно трению. Оно мешает движению летательного аппарата и замедляет его, что требует более активной работы двигателей и повышенного расхода топлива. Вычисление величины подъемной силы и силы сопротивления для реалистичной формы самолета – чрезвычайно сложная задача, выходящая далеко за пределы человеческих возможностей. Но такие задачи необходимо решать – они крайне важны при проектировании самолетов.
Рассмотрим Boeing 787 Dreamliner[286]. В 2011 году крупнейшая в мире авиакосмическая компания Boeing выпустила реактивный самолет нового поколения, предназначенный для перевозки 200–300 пассажиров на большие расстояния. Утверждалось, что лайнер на 60 процентов тише и на 20 процентов экономичнее, чем Boeing 767, который он должен был заменить. Одна из самых инновационных особенностей – применение углепластика для фюзеляжа и крыльев. Эти композитные материалы космической эры легче и прочнее алюминия, стали и титана – традиционных материалов, применяемых для реактивных самолетов. Поскольку углепластик легче металла, он экономит топливо и позволяет самолету летать быстрее.
Но, пожалуй, самая новаторская вещь в Boeing 787 – активное применение математики и вычислений, которые превосходили аналогичную деятельность для всех предыдущих моделей самолетов. Анализ и компьютеры сэкономили компании Boeing массу времени – моделирование нового опытного образца намного быстрее, чем его строительство. Это также экономило деньги компании – компьютерные вычисления куда дешевле, чем испытания в аэродинамической трубе, стоимость которых за последние десятилетия взлетела буквально до небес. Дуглас Болл, главный инженер отдела технологий и исследований компании, отметил в интервью, что при разработке Boeing 767 в 1980-х годах компания сконструировала и протестировала семьдесят семь прототипов крыльев. Спустя 25 лет, используя суперкомпьютеры для моделирования крыльев Boeing 787, компания построила и протестировала всего семь экземпляров.
Уравнения в частных производных применялись в этом процессе всевозможными способами. Например, наряду с расчетами подъемной силы и сопротивления математики компании применяли анализ, чтобы спрогнозировать, как будут изгибаться крылья лайнера на скорости 900 километров в час. Когда на крыло действует подъемная сила, она заставляет его изгибаться вверх и скручиваться. Явление, которого инженеры обычно хотят избежать, – опасный эффект под названием аэроупругий флаттер[287], скверный вариант трепетания оконных жалюзи, когда дует ветерок. В лучшем случае такие нежелательные колебания крыльев приведут к ухабистому полету, в худшем – создадут цикл с положительной обратной связью: при колебаниях крылья меняют поток воздуха над собой так, что колебания только усиливаются. Известно, что флаттер повреждает крылья самолетов, проходящих летные испытания, вызывая проблемы с конструкцией и катастрофы (как произошло в 1997 году на авиашоу с истребителем Lockheed F-117 Nighthawk). Если серьезный флаттер случится на коммерческом рейсе, это поставит под угрозу жизни сотен пассажиров.
Уравнения, описывающие аэроупругий флаттер, тесно связаны с теми, которые мы упоминали при обсуждении лицевой пластики. Там разработчики модели в духе Архимеда аппроксимировали мягкие ткани и череп пациента с помощью сотен тысяч многогранников и многоугольников. В таком же ключе математики компании Boeing аппроксимировали крыло с помощью сотен тысяч крохотных кубиков, призм и тетраэдров. Эти простые формы играли роль строительных блоков. Каждому из них приписывалась определенная жесткость и эластичность, как и при лицевой пластике, а затем эти блоки подвергали сжатию и растяжению. Уравнения в частных производных, используемые в теории упругости, предсказывают поведение каждого элемента под воздействием этих сил. Наконец, с помощью суперкомпьютера все эти реакции объединили и использовали для прогнозирования общей вибрации крыла.
Аналогичным образом уравнения в частных производных использовались для оптимизации процесса сгорания в двигателях авиалайнера. Это особенно сложная задача для моделирования. Здесь взаимодействуют три области: химия (топливо участвует в сотнях химических реакций при высокой температуре), теплопередача (тепло перераспределяется внутри двигателя, поскольку химическая энергия преобразуется в механическую, вращающую лопатки турбин) и динамика текучих сред (горячие газы закручиваются в камере сгорания, и предсказание их поведения – чрезвычайно сложная задача с учетом турбулентности). Как и прежде, команда Boeing использовала Архимедов подход – они разделили задачу на части, решили каждую из них, а затем свели их воедино. Это принцип бесконечности в действии – стратегия «разделяй и властвуй», на которой зиждется весь анализ. Здесь ему помогали суперкомпьютеры и численный метод решения уравнений, известный как метод конечных элементов. Но в основе всего лежит анализ, воплощенный в дифференциальных уравнениях.
Вездесущность уравнений в частных производных
Применение анализа в современной науке – это в значительной степени упражнение по формулировке, решению и интерпретации уравнений в частных производных. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн – это уравнения в частных производных. Таковы же законы упругости, акустики, теплопередачи, текучести и газовой динамики. Список можно продолжать: модель Блэка – Шоулза для определения теоретической цены опционов