[288] или модель Ходжкина – Хаксли[289], описывающая распространение электрических импульсов по нервным волокнам, – все это тоже уравнения в частных производных.
Даже на переднем крае современной физики математическую инфраструктуру по-прежнему обеспечивают дифференциальные уравнения в частных производных. Обратимся к общей теории относительности Эйнштейна[290]. Она переосмысливает гравитацию как проявление кривизны четырехмерной ткани пространства-времени. Стандартная метафора предлагает нам представить пространство-время как эластичную деформируемую ткань наподобие поверхности батута. В обычном состоянии она туго натянута, но если положить на нее нечто тяжелое, скажем, шар для боулинга, то она может изгибаться. Точно так же массивное небесное тело, например Солнце, может изгибать вокруг себя ткань пространства-времени. Теперь вообразите нечто гораздо меньшее, допустим, маленький шарик (изображающий планету), который катится по искривленной поверхности батута. Поскольку она прогибается под весом шара для боулинга, она искривляет траекторию шарика. Вместо того чтобы двигаться по прямой линии, он следует контурам искривленной поверхности и вращается вокруг шара для боулинга. Вот почему, по словам Эйнштейна, планеты двигаются вокруг Солнца. Они не ощущают никакой силы, а просто следуют по пути наименьшего сопротивления в искривленной ткани пространства-времени.
Какой бы непостижимой ни была эта теория, в ее математической основе лежат уравнения в частных производных. То же самое верно для квантовой механики, теории микромира. Ее основное уравнение – уравнение Шрёдингера[291] – тоже использует частные производные. В следующей главе мы подробнее рассмотрим такие уравнения, чтобы вы имели представление о том, что это такое, откуда они берутся и почему так важны для повседневной жизни. Как мы увидим, уравнения в частных производных не только описывают остывающую на столе тарелку супа, но и объясняют, как он нагревается в микроволновой печи.
Глава 10. Создание волн
До начала 1800-х понятие тепла оставалось загадкой. Что это такое? Может, жидкость, похожая на воду? Казалось, это действительно текучая субстанция, но вы не могли ни подержать ее в руках, ни увидеть. Вы могли измерить тепло косвенно, отслеживая температуру горячего предмета по мере его остывания, но никто не знал, что происходит внутри остывающего предмета.
Секреты тепла раскрыл человек, который часто ощущал холод. Осиротев в девятилетнем возрасте, Жан-Батист Фурье[292], будучи подростком, страдал астматическим расстройством. Повзрослев, он пришел к выводу, что тепло важно для здоровья. Он поддерживал высокую температуру в своей комнате и даже летом кутался в теплую одежду. Фурье был одержим теплом во всех аспектах своей научной деятельности. Он создал концепцию глобального потепления и первым объяснил, как парниковый эффект регулирует среднюю температуру Земли.
В 1807 году Фурье использовал анализ для решения задачи теплопроводности[293]. Он вывел уравнение в частных производных, которое позволяло ему предсказывать изменение температуры остывающего предмета, скажем предварительно раскаленного железного стержня. Он обнаружил, что может решить такую задачу, как бы неравномерно ни распределялась температура по длине стержня на момент начала охлаждения. Стержень мог иметь горячие и холодные места, но аналитический метод Фурье без проблем справлялся с задачей.
Представьте себе длинный тонкий цилиндрический железный стержень, неравномерно нагретый в кузнечном горне, так что по всей его длине одни его участки горячие, а другие – холодные. Для простоты предположим, что вокруг стержня есть идеально изолирующая муфта, не позволяющая теплу уходить, поэтому единственный путь его передачи – распространение вдоль по стержню от горячих участков к холодным. Фурье постулировал (и эксперименты подтвердили это), что скорость передачи тепла в данной точке стержня пропорциональна разности температуры в этой точке и средней температуры соседних точек. Когда я говорю о соседних точках, я действительно говорю о соседях – вообразите две точки по сторонам от нашей, где каждая к ней бесконечно близка.
В этих идеализированных условиях физика теплопередачи проста. Если точка холоднее соседей, она нагревается. Если горячее – остывает. Чем сильнее перепад температур, тем быстрее температура выравнивается. Если температура в точке равна средней температуре соседей, все уравновешивается и теплопередача не происходит, температура точки в следующий момент останется той же.
Этот процесс сравнения мгновенной температуры точки с мгновенной температурой ее соседей привел Фурье к уравнению в частных производных, которое сегодня известно как уравнение теплопроводности. Оно включает производные по двум независимым переменным: время (t) и положение на стержне (x).
Самая сложная часть задачи, которую поставил перед собой Фурье, состояла в беспорядочном исходном распределении горячих и холодных точек на стержне. Чтобы решить ее, Фурье предложил схему, которая казалась безумно оптимистичной, но почти безрассудной. Он утверждал, что любое исходное распределение температуры можно заменить эквивалентной суммой простых синусоид.
Синусоиды стали его строительными блоками. Он выбрал их, потому что они упрощали задачу. Он знал, что если исходная температура подчинялась синусоидальной закономерности, то и по мере остывания это свойство будет сохраняться.
В этом был ключ: синусоиды не двигаются. Они просто остаются на месте. Правда, они затухали по мере того, как их горячие точки остывали, а холодные нагревались, но с этим легко было справиться: это просто означало, что колебания температуры со временем уменьшаются. Как показано на следующем рисунке, распределение температуры, первоначально представленное пунктирной синусоидой, постепенно уменьшает размах и превращается в сплошную синусоиду.
Важно было то, что во время такого сглаживания синусоидальные волны оставались неподвижны. Они были стоячими волнами.
Таким образом, выяснив, как разделить исходное распределение температуры на отдельные синусоиды, Фурье мог бы решить задачу теплопередачи для каждой волны по отдельности. Он уже знал ответ на этот вопрос: каждая синусоида затухала экспоненциально со скоростью, зависящей от того, сколько гребней и впадин она имела. Волны с большим количеством гребней затухали быстрее, потому что горячие и холодные точки у них располагались ближе друг к другу, что приводило к более быстрому теплообмену между ними и более быстрому установлению равновесия. Зная, как затухает каждый синусоидальный строительный блок, Фурье мог сложить эти результаты и решить исходную задачу.
Загвоздка была в том, что Фурье вызвал к жизни бесконечный ряд синусоидальных волн. Он снова призвал в анализ голема бесконечности и сделал это еще более безрассудно, нежели его предшественники. Вместо бесконечной суммы треугольных осколков или чисел он бесцеремонно использовал бесконечную сумму волн. Это напоминало то, что делал Ньютон с помощью рядов из степенных функций xn, за исключением того, что он никогда не утверждал, что может представить в виде такой суммы произвольные кривые, а тем более ужасы вроде разрывных функций или функций с острыми углами. Фурье же утверждал именно это – кривые со скачками и углами его не пугали. Кроме того, волны Фурье логичным образом возникали из самого дифференциального уравнения в том смысле, что были естественными колебаниями, естественными стоячими формами. Они были приспособлены для теплопередачи. Степенные функции Ньютона не претендовали на звание строительных блоков; синусоиды Фурье – претендовали. Они органично подходили для решения поставленной задачи.
Хотя столь смелое использование синусоид в качестве строительных блоков вызвало споры и подняло трудные проблемы строгости, на решение которых математикам потребовалось целое столетие, сегодня идея Фурье играет важную роль в таких технологиях, как компьютерные синтезаторы речи или МРТ.
Синусоидальные волны также появляются в музыке. Это естественные формы колебаний струн гитар, скрипок и фортепиано. Применяя механику Ньютона и дифференциалы Лейбница к идеализированной модели натянутой струны, можно получить уравнение в частных производных для таких колебаний. В подобной модели струна рассматривается как непрерывный массив бесконечно малых частиц, составленных в ряд и соединенных с соседями с помощью упругих сил. В любой момент времени t каждая частица в струне двигается в соответствии с воздействующими на нее силами. Эти силы создаются натяжением струны, когда соседние частицы взаимодействуют друг с другом. При этом каждая частица перемещается в соответствии с ньютоновским законом F = ma. Это происходит в каждой точке x по всей длине струны. Таким образом, получающееся дифференциальное уравнение зависит и от t, и от x и представляет собой еще один пример уравнения в частных производных. Оно называется волновым уравнением[294], поскольку, как и ожидалось, предсказывает, что типичное движение колеблющейся струны – это волна.
Как и в случае теплопередачи, некоторые синусоиды особенно полезны, поскольку при колебаниях регенерируют сами себя. Если концы струны фиксированы, то эти синусоидальные волны не распространяются, а стоят на месте. Если сопротивление воздуха и внутреннее трение струны пренебрежимо малы, то идеальная струна, начав синусоидальные колебания, будет колебаться вечно; при этом частота ее колебаний никогда не изменится. По этим причинам синусоиды служат идеальными строительными блоками и для задачи струн.