нет (поскольку сильные колебания его стряхнули).
В случае стандартной микроволновой печи, которая создает частоту 2,45 ГГц (то есть волны колеблются с частотой 2,45 миллиарда раз в секунду), вы должны обнаружить, что расстояние между соседними расплавленными местами составляет примерно 2,5 дюйма, или 6 сантиметров. Имейте в виду, что это расстояние между пиком и впадиной, то есть только половина длины волны. Чтобы получить полную длину, эту величину нужно удвоить. Таким образом, для стоячих волн в микроволновой печи длина волны составляет примерно 5 дюймов, или 12 сантиметров.
Кстати, с помощью микроволновой печи вы можете вычислить скорость света. Умножьте частоту колебаний (она указана на раме дверцы) на длину волны, которую вы измерили в своем эксперименте, и получите скорость света или величину, близкую к ней. Вот как это будет выглядеть для приведенных мною чисел. Частота – 2,45 ГГц. Длина волны – 12 сантиметров. Умножив эти числа, получаем 29,4 миллиарда сантиметров в секунду. Довольно близко к принятому значению скорости света – около 30 миллиардов сантиметров в секунду. Весьма неплохо для столь грубого измерения!
Как микроволновые печи связаны с радарами
В конце Второй мировой войны компания Raytheon Company искала новые сферы применения для своих магнетронов – мощных электронных ламп, используемых в радарах. Магнетрон – это электронный аналог свистка. Так же как свисток излучает звуковые волны, магнетрон излучает волны электромагнитные. Они могут отражаться от летящего самолета, и тогда можно определить расстояние до него и его скорость. Сегодня радары используются для отслеживания движения чего угодно – от судов и автомобилей до бейсбольных мячей, теннисных подач и погодных явлений.
Однако после войны, в 1946 году, Raytheon Company не знала, что делать со всеми магнетронами, которые производила. Но однажды инженер Перси Спенсер заметил, что, пока он работал с магнетроном, шоколадный батончик у него в кармане превратился в липкую массу. Он понял, что микроволны могут эффективно разогревать пищу. Чтобы изучить эту идею, он попробовал направить магнетрон на яйцо, помещенное в чайник, и оно взорвалось прямо в лицо одному из его коллег. Спенсер также продемонстрировал, что таким способом можно изготавливать попкорн. Связь между радаром и микроволновой печью дала название первой модели микроволновой печи – Radarange[301]. До конца 1960-х годов идея не пользовалась коммерческим успехом. Первые микроволновые печи были слишком большими (почти 6 футов, около 1 метра 80 сантиметров, в высоту) и очень дорогими – эквивалент десятков тысяч долларов в пересчете на нынешние деньги. Но со временем микроволновые печи стали достаточно миниатюрными и дешевыми для того, чтобы их могли себе позволить обычные семьи. Сегодня в промышленно развитых странах они есть как минимум у 90 % семей.
История ра дара и микроволновых печей – свидетельство взаимосвязанности наук. Подумайте о том, что сюда вошло: физика, электротехника, материаловедение, химия и старое доброе случайное изобретение. Не последнюю роль сыграл и анализ. Он предоставил язык для описания волн и инструменты для их изучения. Волновое уравнение, которое появилось в связи с колеблющимися струнами в музыке, использовал Максвелл для предсказания существования электромагнитных волн. А оттуда недалеко было до электронных ламп, транзисторов, компьютеров, радаров и микроволновых печей. При этом незаменимыми оказались методы Фурье. И, как мы вскоре увидим, его методы сыграли определенную роль в появлении нового способа применения высокоэнергетических электромагнитных волн. Эти гораздо более энергичные волны были случайно обнаружены в самом конце XIX века. Никто не знал, что они собой представляют, поэтому в честь неизвестной величины их назвали икс-лучами. Иначе – рентгеновским излучением, в честь первооткрывателя.
Компьютерная томография и визуализация мозга
Микроволны хороши для разогревания пищи, но для заглядывания внутрь наших тел лучше приспособлены рентгеновские лучи. Они позволяют проводить неинвазивную диагностику переломов, трещин черепа и искривлений позвоночника. К сожалению, обычное рентгеновское излучение нечувствительно к слабым изменениям плотности тканей. Это ограничивает их полезность при изучении мягких тканей и органов. Более современная форма визуализации, называющаяся КТ-исследованием, или компьютерной томографией[302], в сотни раз чувствительнее обычных рентгеновских лучей. Ее точность произвела настоящую революцию в медицине.
Слово «томография» означает процесс визуализации чего-либо путем разделения на слои-срезы[303]. При этом методе рентгеновские лучи используются для построения изображения какого-то органа или ткани по одному срезу за раз. Когда пациента помещают в томограф, рентгеновские лучи проходят через его тело под разными углами и записываются детекторами на другой стороне. Имея всю эту информацию – с разных точек под разными углами, – можно гораздо четче реконструировать, через что именно прошли рентгеновские лучи. Другими словами, компьютерная томография – это не просто рассматривание, а умозаключения и вычисления. В действительности самая блестящая и революционная часть КТ – это использование сложной математики. С помощью анализа, рядов Фурье, методов обработки сигнала и компьютеров программное обеспечение определяет свойства ткани, органа или кости, через которые проходят рентгеновские лучи, а затем создает детальную картину этой части тела.
Чтобы понять, какова во всем этом роль анализа, сначала нужно понять, какую проблему решает томография и каким образом.
Представьте себе, как излучение проходит через ткани мозга. По мере прохождения лучи обнаруживают серое вещество, белое вещество, возможные опухоли, сгустки крови и так далее. Эти ткани поглощают энергию излучения в большей или меньшей степени – в зависимости от их типа. Цель томографии – составить карту поглощения по всему срезу. На основе этой информации КТ может обнаружить наличие опухолей или сгустков. КТ не видит мозг непосредственно; она видит схему поглощения рентгеновских лучей в мозге.
Математика здесь работает так. Когда рентгеновский луч проходит через данную точку среза мозга, он теряет часть энергии. Эта потеря похожа на ослабление видимого света, который проходит через солнцезащитные очки и становится менее ярким. Сложность тут в том, что на пути луча встает целая последовательность различных мозговых тканей, а потому они подобны целому ряду солнечных очков, одни перед другими, и все с разной степенью прозрачности, которую мы не знаем. Как раз ее-то мы и хотим выяснить!
Из-за изменчивости степени поглощения для различных тканей, когда лучи проходят сквозь мозг и попадают в детектор на противоположной стороне аппарата, их интенсивность снижается на разные величины. Чтобы вычислить результирующий эффект всех этих затуханий, нужно определить, насколько снижается интенсивность при бесконечно малом продвижении луча через ткань, а затем соответствующим образом скомбинировать все результаты. Такой расчет сводится к интегралу.
Появление здесь интегрального исчисления не должно вызывать удивления. Это самый естественный способ найти подход к решению столь сложной задаче. Как всегда, мы обращаемся к принципу бесконечности. И прежде всего представляем, что путь луча делится на бесконечное количество бесконечно малых шагов, затем выясняем, как интенсивность ослабляется на каждом из них, после чего складываем все эти изменения, чтобы вычислить суммарное ослабление вдоль линии движения луча.
К сожалению, сделав это, мы получим только небольшую часть информации. Мы узнаем общее ослабление рентгеновских лучей только вдоль одного конкретного пути луча. Это мало что говорит нам о срезе мозга в целом. Это мало что говорит даже о том конкретном пути, по которому шел рентгеновский луч. Это просто суммарное ослабление по всей линии, а не закон, по которому происходит ослабевание в каждой ее точке.
Позвольте мне предложить такую аналогию: подумайте, сколькими способами можно сложить целые числа, чтобы получить 6. Так же как число 6 может оказаться результатом сложения 5 + 1, или 2 + 4, или 3 + 3, так и итоговое ослабление рентгеновских лучей может оказаться результатом самых различных последовательностей локальных ослаблений. Например, было сильное затухание в начале пути и слабое – в конце. А может, и наоборот. Или, возможно, затухание было постоянным по всей протяженности. Мы не можем выбрать истинный вариант, имея всего одно измерение.
Но как только мы осознаем эту трудность, тут же понимаем, как с ней справиться. Нужно испускать лучи по множеству разных направлений. В этом суть компьютерной томографии. Пропуская рентгеновские лучи через одну точку в разных направлениях и повторяя этот процесс для различных точек, мы в принципе можем определить коэффициенты ослабления интенсивности в любой точке мозга. Это не совсем то же самое, что смотреть на мозг, но почти настолько же эффективно, поскольку предоставляет информацию о том, какие типы ткани расположены в тех или иных областях мозга.
Таким образом, математическая задача – собрать информацию от всех измерений по всем прямым в единую связную двумерную картину на определенном срезе мозга. Именно здесь на помощь пришел анализ Фурье. Он позволил южноафриканскому физику Аллану Кормаку решить проблему такой обратной сборки[304]. Кормак обратился к анализу Фурье, поскольку за этой задачей скрывается окружность – окружность всех направлений, по которым рентгеновские лучи можно запускать в двумерный срез.
Вспомните, что окружности всегда связаны с синусоидами, а синусоиды – строительные блоки для рядов Фурье. Записав задачу обратной сборки в терминах рядов Фурье, Кормак смог свести двумерную задачу обратной сборки к более простой одномерной задаче. По сути, он избавился от 360° возможных углов. Затем, проявив недюжинное математическое мастерство, он сумел решить одномерную задачу обратной сборки. В итоге по измерениям, сделанным по всем возможным направлениям, он смог определять свойства тканей внутри. Он построил карту поглощений, а это почти то же, что и увидеть сам мозг.