Чтобы понять закономерности в доказательстве Гаусса, полезно рассмотреть пример с меньшим количеством чисел — от 1 до 10. Так мы поймем, почему сложение пары, где одно число на единицу больше, а другое на единицу меньше чисел в предыдущей паре, дает в сумме одно и то же число. Если вам захочется испытать себя и не упустить возможность для развития мозга, рекомендую подумать, как метод Гаусса работает на примере последовательности, состоящей из нечетного количества целых чисел.
Рассмотрение примера с последовательностью чисел от 1 до 10 — по сути, математическая операция, но когда я объясняла это ученикам, то столкнулась с сопротивлением слабых школьников. Их учили, что математика состоит из набора правил, которым нужно четко следовать. Им совершенно чужда мысль о том, что можно не отвечать на поставленный вопрос, а задать другой, изменить первоначальную задачу; они считают, что тем самым нарушат выученные правила.
Мне кажется, в жизни крайне важно научиться играть с числами и рассматривать математику как предмет, к которому стоит относиться открыто и многопланово. Я говорю это не ради красного словца, а потому что знаю: когда люди иначе рассматривают математику, они так же по-другому видят и собственный потенциал, а это меняет их жизнь и дает возможность пережить опыт, который нельзя получить иным образом. Такое восприятие позволяет им не только преуспеть в математике и STEM-дисциплинах в школе и за ее пределами; оно развивает умение разбираться в количественных показателях, помогает освоить профессии, связанные с финансами, статистикой и другими сферами жизни, немыслимыми без математики.
Если учителя преподают математику как открытый и концептуальный предмет, освоение которого не завязано на временных рамках, это невероятно раскрепощает мышление. Нина Судник, учительница четвертого класса из Огайо, рассказала об одном ученике, испытавшем чувство освобождения после того, как он нашел концептуальное решение математической задачи. Молодую женщину очень удивляло то, как мало знали ее ученики, хотя они изучали математику уже пятый год. Она попыталась понять причины и в конце концов нашла одну из моих предыдущих книг — «При чем тут математика?» (What’s Math Got to Do with It?)[132], которая произвела на нее большое впечатление.
Я читала эту книгу, и если бы я показала ее вам, вы бы увидели, что почти каждое предложение было подчеркнуто. Мой мозг взрывался от разных идей — впрочем, они всегда меня одолевали, только выразить их я не могла. Я не понимала, почему эти ученики испытывают такие трудности.
После летних каникул Нина вернулась в школу и изменила методы преподавания. В конце первого года 64% ее учеников знали предмет на базовом уровне. На следующий год эта цифра увеличилась до 99%.
Нина также пересмотрела принципы ежедневной и еженедельной проверки успеваемости. Теперь она не возвращала ученикам тесты с плюсами и минусами, что служило им фиксированным сигналом об их достижениях, а писала комментарии к работам, указывая на то, что учащиеся поняли, а что только начинают усваивать. Получив свои работы в первый раз, они искали плюсы и минусы, но ни одного не нашли. Нина объяснила, что теперь она рассматривает результаты тестов как показатель того, в какой точке находится ученик на воображаемой шкале понимания предмета.
Кроме того, Нина давала ученикам математические задачи, требующие гибкого и концептуального подхода. Одну из таких задач она взяла из нашего курса «Неделя вдохновляющей математики» (Week of Inspirational Math), где собраны открытые и творческие задачи, которые мы каждый год публикуем на ресурсе Youcubed. Это нерешенная задача из истории математики, которая называется гипотезой Коллатца. Мы представили ее следующим образом.
• Возьмите любое целое число больше нуля.
• Если число четное, поделите его на 2 (уменьшите вдвое).
• Если число нечетное, умножьте его на 3 и прибавьте 1.
• Продолжайте данные операции с полученными числами, пока последовательность не закончится.
• Выберите другое число и создайте аналогичную последовательность. Как вы думаете, что произойдет?
До сих пор никому не удалось найти последовательность чисел, которая не заканчивается числом 1, и никто не смог доказать, почему это так. Данная задача также известна как последовательность чисел-градин, поскольку полученные числа образуют график, похожий на траекторию движения градин в атмосфере, — вверх и снова вниз (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Формирование града
Несмотря на то что данную проблему никто не смог решить, мы посчитали, что она подходит для третьеклассников и учеников постарше. Многие учителя задавали ее своим ученикам, побуждая их быть первыми, кто найдет последовательность, которая не заканчивается единицей, — безусловно, ученикам это нравилось.
Ветер выталкивает капли дождя выше точки замерзания, где они начинают вращаться, замерзают и увеличиваются в размерах, пока не станут достаточно тяжелыми и не начнут выпадать на землю в виде града.
Рис. 5.7. Визуальное отображение числовых закономерностей
Рис. 5.8. Количество шагов, за которое последовательность приходит к единице
Одна из учениц Нины, Джоди, в течение года по состоянию здоровья часто пропускала занятия и не могла выполнять домашнюю работу. Она никогда не любила математику, но была очарована задачей о числах-градинах. Однажды Нина заметила, что карманы Джоди, вышедшей на прогулку, набиты небольшими листками бумаги. Несколько недель карманы все увеличивались, пока листки не начали выпадать.
Наконец Нина спросила у нее, что это такое. Джоди запустила руку в карман и вручила Нине листки с каракулями, где она пыталась изобразить разные графики последовательностей. Неделями девочка старательно работала над гипотезой Коллатца, проверяя одну последовательность за другой. Нина задумалась и поделилась своими мыслями со мной.
Джо, она знает эту последовательность и чертовски этим гордится. Я сказала ей: «Мне неважно, будешь ли ты весь год выполнять домашние задания. (Усмехается.) Просто продолжай работать над последовательностью чисел-градин».
Многие ребята говорили: «Ничего себе! Каждый раз, когда мы доходим до 16, последовательность повторяется». Я им: «Правда?»
Джоди чувствовала, что достигла успеха, — возможно, первый раз за все время изучения математики, так что спасибо тебе за это.
То, насколько вредит нашей системе образования упор на запоминание в ущерб концептуальному обучению, было прямо показано в недавнем тесте, проведенном командой Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся (Programme for International Student Assessment, PISA). Данную программу курирует Организация экономического сотрудничества и развития (Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD), расположенная в Париже. Программа представляет собой тест на проверку грамотности и умение применять полученные знания на практике; он проводится по всему миру каждые три года среди подростков 15 лет. Команда PISA пригласила меня в Париж, чтобы помочь им провести тест.
Как только я расположилась за столом в их офисе, мне сразу задали вопрос: «Что у американцев не так с числом π?» Они имели в виду тот факт, что американские ученики отвратительно справлялись со всеми задачами, связанными с числом π (отношение длины окружности к ее диаметру, иррациональное число, которое начинается с 3,14), — их показатели были чуть ли не худшими в мире. На этот вопрос у меня был ответ.
Переехав из Великобритании в США, я отмечала кое-что любопытное в изучении числа π. В США детей учат запоминать как можно больше цифр после запятой. Число π обычно сокращается до 3,14, но после запятой эта последовательность уходит в бесконечность. Это наводит американских школьников на мысль, будто число π «длится целую вечность», что заслоняет его реальное значение как отношение длины окружности к ее диаметру. На самом деле выраженное этим числом соотношение — динамичное и захватывающее, потому что размер окружности не имеет значения, а отношение длины окружности к ее диаметру всегда одинаковое.
Не так давно я попросила учителей задать ученикам вопрос, что означает число π, и посмотреть, что будет. Конечно же, все назвали его очень длинным, но никто не упомянул про отношение длины окружности к ее диаметру. Неудивительно, что в ходе теста PISA ученики плохо справлялись со всеми задачами, где фигурировала окружность. Нет ничего плохого в том, чтобы поиграть с числом π и позволить ученикам запоминать цифры после запятой (или съесть π-рожок, что тоже неплохо). Но все подобные действия необходимо сопровождать более глубоким изучением окружности и отношения ее длины к диаметру.
В 2012 году команда PISA исследовала не только успеваемость учеников, но и их подход к учебе. В дополнение к математическим задачам исследователи выдали школьникам анкету, где те должны были описать, как они учатся. Полученные ответы разделили на три категории. Подход, основанный на запоминании, использовали те ученики, которые старались заучивать наизусть все, что им давали. При реляционном подходе ученики пытались соотнести новые идеи с уже известными им. И наконец, подход, основанный на самодисциплине, предполагал, что ученики сами оценивали то, что знали, и осваивали то, что им нужно.
В любой стране самыми отстающими были ученики, усваивающие новое через зазубривание, а страны, где таких учеников было много, — и США в их числе — в целом имели самые низкие показатели[133]. Например, французские и японские школьники, которые совмещали реляционный подход и самодисциплину, более чем на год опережали тех, кто налегал на зубрежку. Исследование показало, что это не приводит к высоким результатам, в отличие от размышлений о концепциях и их взаимосвязях.
Как показывает этот тест, преподавание математики в США находится в кризисе. Математика — прекрасный предмет, полный логических взаимосвязей, ее следует изучать концептуально и творчески. Однако в школах, где математику рассматривают как набор правил для запоминания, и ценятся те, кто может быстро выдать все, что успел запомнить; мыслящие медленно и глубоко дети теряют интерес к предмету. Даже сильные ученики многое недополучают от уроков математики.