Наибольший вклад в создание математического анализа внесли Ньютон и Лейбниц. Ньютон почти не занимался понятием интеграла, но интенсивно разрабатывал понятие производной.
Заметим, что в XVII веке вся математическая наука именовалась геометрией, поскольку любая истина математики должна была получать геометрическую интерпретацию.
У Ньютона не было большой ясности относительно логического обоснования понятия производной. Его терминология туманна и в дальнейшем от неё откажутся. Внесенные Ньютоном изменения, по существу, никак не сказались на ходе вычисления производной, или, как ее предпочитал называть сам Ньютон, флюксии.
Учёный дал следующее объяснение понятия «флюксия»: «Флюксии, когда приращения флюэнт [переменных] возникает во все большем числе, отличаются сколь угодно мало и сами сколь угодно малы, и если говорить точно, то «они пропорциональны возникающим приращениям…».
Самым сильным нападкам математический анализ подвергся со стороны философа епископа Джорджа Беркли, опасавшегося, что вдохновляемая математикой философия механицизма и детерминизма создаст растущую угрозу религии. В 1734 году Беркли опубликовал сочинение под названием «Аналитик или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику», в котором исследуется, является ли предмет, принципы и заключения современного анализа, более отчетливо познаваемыми и с большой очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры. Беркли с полным основанием сетовал на загадочность и непонятность того, чем занимаются математики, поскольку те никак не обосновывали и не объясняли своих действий. Беркли подверг критике многие из рассуждений Ньютона, и, в частности, указал на то, что в рассуждении о квадратуре кривых Ньютон (обозначивший приращение через x, а не через h) выполнил несколько алгебраических операций, после чего отбросил члены, содержавшие h, мотивируя это тем, будто приращение h обратилось в ноль. Поступая так, по мнению Беркли, Ньютон допустил вопиющее нарушение закона противоречия. Такого рода рассуждения в теологии были бы признаны неприемлемыми. Беркли утверждал, что первые флюксии (первые производные), по-видимому, выходят за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного: «а если непостижимы первые [флюксии], то что можно сказать о вторых, третьих [производных от производных] и т.д. тот, кто сумеет постичь начала начал или конец концов возможно окажется достаточно проницательным, чтобы понять подобные вещи. Но, по моему глубокому убеждению, большинство людей не в состоянии понять их в каком бы то ни было смысле… тому, кто сумеет превратить вторую и третью производную, думается … вряд ли стоит особенно привередничать по поводу того, или иного пункта в Священном писании».
Говоря об исчезновении (обращении в ноль) h и R, Беркли заметил: «предполагая, что приращения исчезают, мы, несомненно, должны предположить, что их пропорции выражения и все вытекающее из их существования, исчезают вместе с ними». По поводу предложенного Ньютоном представления о производных как об отношении двух исчезающее малых величин h и R, Беркли высказался так: «они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин».
Несколько иной подход к математическому анализу предложил Лейбниц. По его мнению, величины, обозначенные как h и R (Лейбниц обозначил их символами dx и dy), убывая, достигают «исчезающе малых», или «бесконечно малых» значений.
Лейбниц утверждал, что бесконечно малое – не действительные, а некие фиктивные числа. Но эти фиктивные, или мнимые, числа подчиняются тем же правилам арифметики, что и обычные числа. По мнению Лейбница, все эти предельные величины, т.е. все эти действительные бесконечности и «бесконечно малые», можно использовать как удобный рабочий инструмент в вычислениях подобно тому, как алгебраисты с превеликой пользой используют мнимые корни. Напомним, что во времена Лейбница мнимые корни имели весьма шаткий статус.
Поскольку приводимые Лейбницем доводы не удовлетворяли его критиков, он сформулировал философский принцип, известный под названием принципа непрерывности.
Столь же критически, как и к идее Ньютона, Беркли отнесся и к подходу Лейбница. В своем «Трактате о принципах человеческого знания» философ писал: «некоторые из них, имеющие громкое имя, не довольствуются мнением, будто конечные линии могут быть делимы на бесконечное число частей, но утверждают далее, что каждая из этих бесконечно малых частей в свою очередь делима на бесконечное число других частей или бесконечно малых величин второго порядка, и т.д. ad infinitum. Они утверждают, говорю я, что существуют бесконечно малые части бесконечно малых частей и так далее без конца… Другие утверждают, что все порядки бесконечно малых величин ниже первого порядка, суть ничто…».
Показательно, что Беркли завершает свой трактат «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» целой серией вопросов. Вот некоторые из них: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, столь же скрупулезны, придирчивы в своей науке? Разве не полагаются они на авторитет, принимая многое на веру, и разве не веруют они в вещи, непостижимые для разума? Разве нет у них своих таинств и, более того, своих несовместимостей и противоречий?»
Если исходить из того, что все выдающиеся математики XVII столетия были по совместительству не менее выдающимися теологами и что вселенную они, прежде всего, воспринимали как воплощение безупречного Порядка, а Бога – как Великого Геометра (вспомним, что именно геометрия в XVII столетии была синонимом математики в целом), то вполне естественно, на наш взгляд, предположить, что идеи дифференциала и интеграла, развитие которых произошло при анализе мгновенной скорости и неравномерного движения, возникли из общей теологической установки на проблему движения и времени. А эта установка была задана еще Аристотелем и воплотилась в идее Перводвигателя, но именно комментарии Фомы Аквинского к идее Перводвижения и абсолютного покоя и лежат в основе времени и Вечности всей западноевропейской схоластики, о связи которой с концепцией времени Декарта и Ньютона мы уже говорили выше.
Заметим, что именно движение лежит в основе математического анализа, но движение, как синоним времени, а затем и пространства, является основополагающим понятием как у Аристотеля, так и в эпистемологии св. Фомы. Ибо «время есть движение сотворенной вещи».
Выше был приведён пример того, как понимает принцип непрерывности Лейбниц, когда он пытается доказать свой подход к математическом анализу. Этот принцип непрерывности выражен в комментарии Фомы Аквинского к «Метафизике» Аристотеля, когда речь заходит о Перводвигателе: «И так же как ее [первой сферы] движение вечно, она не должна сама по себе изменяться, и по субстанции должна быть всегда одной и той же, поэтому ясно, что первое из движений, коим движется «первая сфера», необходимо должно быть движением в пространстве, то есть изменением по положению в пространстве…
…Потому коль скоро первая сфера изменяется лишь по месту, но не по субстанции, то первый двигатель неподвижный и всегда актуальный ни при каких обстоятельствах не может быть каким-то иным, чем каков он есть, ибо не движется никогда. Ведь если бы даже он и двинулся, то двинулся бы исключительно первым из движений, каковое суть движение в пространстве, а первое из такого рода движений – движение круговое. Но сам он не движется, и так сообщая такого рода движение, которое он движет, подобно тому, как и первая причина изменения сама не подвержена изменению. Не двигаясь же движением круговым, он не движется и никак иначе. Поэтому-то он и не может быть каким-то иным, чем каков он есть. Из этого следует, что первое из движений существует в том, что движется необходимым образом; ибо необходимо то, чего не может не быть, но при этом оно необходимо не в том смысле, в котором что-то необходимо делается по принуждению, а в том, что необходимо пребывает в наилучшем из состояний».
Вспомним в связи с этим короткую цитату из доказательства Лейбница его принципа непрерывности, приведенную нами выше: «…Можно вообразить переход или одно из обращений в нуль, при котором точное равенство или состояние покоя еще не наступило, но достигнуто такое состояние, в котором разность меньше любой заданной величины. В таком состоянии некоторая разность – какая-то скорость, какой-то угол – еще остается, но в каждом случае она бесконечно мала …» На наш взгляд это и есть бесконечное приближение к Аристотелевскому Перводвигателю с помощью идеи бесконечно малых величин или с помощью математического анализа, ибо три вещи заключают в себе всю Вселенную по слову премудрого Соломона: Deus fecit omnia in podere in nomero et mensura (Бог все создал весом, числом и мерой).
А.Ф. Лосев в своей работе «О методе бесконечно малых в логике» в главе «Жизненно логическое значение математического анализа» пишет: «В самом деле, меняются ли вещи или нет, движутся или нет, можно ли остановить непрерывное становление вещей или нельзя этого сделать? Казалось бы, на это может быть только один и совершенно недвусмысленный ответ. Но стоит только допустить, что вещи непрерывно меняются, как тотчас же возникает вопрос: а как же мы узнаем эту вещь, если она вся целиком и непрерывно меняется. Как она может оставаться той же вещью, если мы только что признали, что она сплошь становится и меняется? Ясно, что все ее изменения мы относим к какому-то ее ядру или центру, а не просто их забываем. Мы их, несомненно, суммируем. И как же происходит это суммирование? Вовсе не так что все слагаемые остаются твердыми и неподвижными, эти слагаемые расплываются в целом вещи… С другой стороны, могут ли все эти бесконечно малые изменения вещи быть таковыми в ней раз и навсегда и сливаться в неразличимую массу? Это также невозможно, так как вещи реально меняются, и мы отчетливо воспринимаем эти изменения, так что же такое, в конце концов, реальное восприятие реально движущейся вещи, когда не становление не дробится на дискретные части, и дискретные части не теряют своей значимости в том целом, что называется восприятием вещи?