Еще дальше продвинулся на этом пути коллега ал-Хорезми по багдадскому «Дому мудрости» Хабапг, который включил в свой зидж таблицы тангенсов и котангенсов, определенных на основе представлений индийской гномоники. Несмотря на новаторство ал-Хорезми, вытеснение птолемеевых хорд синусами произошло не сразу — Бируни попалось подряд несколько зиджей более позднего времени, где одновременно использовалось и то и другое. Еще медленней происходил переход от «теней» индийской гномоники к определению тригонометрических линий в круге. Первым, кто начал систематически применять в своих вычислениях тригонометрические линии, был арабский математик и астроном ал-Баттани. Правда, это касалось лишь синуса, синус-верзуса и косинуса, тогда как тангенс и котангес он согласно индийской традиции по-прежнему определял как «прямую» и «обращенную» тени гномона. Окончательное решение этой проблемы явилось несколько позднее, когда твердый сторонник эллинской и эллинистической традиций Ибн Юнис стал определять тангенс и котангенс как линии, не связанные с гномоникой, и полностью отказался в своем зидже от использования птолемеевых хорд.
Признавая блестящие успехи, достигнутые математиками мусульманского Востока в IX–X веках, Бируни тем не менее понимал, что в целом их деятельность все же не выходила еще за пределы творческого осмысления и совершенствования достижений греческой и индийской научных школ. Решающий шаг на пути превращения тригонометрии в самостоятельную науку был сделан лишь во второй половине X века великим багдадцем Абу-л-Вафой ал-Бузджани. Впервые в истории математики Абу-л-Вафа предпринял попытку определить все шесть тригонометрических функций единообразно в круге. За одно это он уже мог быть назван величайшим ученым эпохи, а ведь сколько еще ярких открытий он совершил за свою долгую жизнь!
Усилиями Бузджани и покойного учителя Бируни — Ибн Ирака — самостоятельной наукой стала и сферическая астрономия — в своем зидже, названном по примеру птолемеевского «Альмагестом», Бузджани успешно применил последние достижения тригонометрии к решению астрономических задач, причем практически все функции сферической астрономии выводились им на основе функциональных зависимостей между четырьмя величинами, три из которых определялись наблюдением, а четвертая вычислялась. Не меньшее значение для развития сферической астрономии имели трактаты Ибн Ирака, и в частности «Таблица минут», которая была посвящена Бируни и прислана ему в дар, когда он находился при дворе Кабуса в Горгане. В «Таблице минут» покойный учитель табулировал пять основных комбинаций исходных функций, с помощью которых, по его убеждению, можно было определить остальные необходимые функции и решать таким образом практически все задачи сферической астрономии.
Просматривая зиджи и астрономические трактаты предшественников, Бируни не просто отмечал для себя встречавшиеся в них ошибки или устаревшие положения, но ко многим из этих сочинений составлял пространные дополнения, с уточнениями и комментированием неясных мест. Так, например, в разные годы им были созданы комментарии к зиджам Абу Машара, Хабаша, Баттани, а также к сочинениям индийских астрономов. Несколько крупных работ Бируни посвятил зиджу ал-Хорезми, который, по его мнению, был первым на мусульманском Востоке фундаментальным астрономическим трудом. Защищая ал-Хорезми от несправедливой критики астронома IX века Абу-л-Хасана ал-Ахвази, еще в Гургандже он написал полемический трактат, насчитывавший в автографе около 600 листов. В гурганджский период из-под пера Бируни вышла еще одна, к сожалению, не дошедшая до нас работа — «Полезные вопросы и верные ответы», содержавшие теоретическую аргументацию к таблицам зиджа ал-Хорезми.
По-видимому, уже тогда Бируни задумывался над тем, что отсутствие подобной аргументации практически во всех астрономических зиджах нередко порождало сомнения в точности содержащихся в них таблиц, особенно если они были составлены на основе наблюдений самих авторов, и кроме того, делало эти зиджи уязвимыми для критики или даже злобных нападок недоброжелателей. К тому же табулирование результатов без теоретических обоснований и промежуточных доказательств существенно ограничивало возможности зиджа как научного жанра и в конечном счете тормозило развитие самой науки.
Размышляя над этой проблемой, Бируни пришел к выводу, что зидж в его сложившейся форме уже не годится для систематического изложения всего круга вопросов, составляющих предмет астрономии и смежных с нею наук. Время требовало создания более совершенного научного жанра, в котором таблицы стали бы составной частью текста, содержащего развернутые теоретические положения по всем вопросам астрономии, тригонометрии, хронологии и географии с полными математическими доказательствами и подробным описанием поставленных экспериментов. В интересах дальнейшего развития науки необходимо было обобщить опыт, накопленный на протяжении веков поколениями математиков и астрономов, с помощью безупречной аргументации вынести за скобки целый ряд неверных и устаревших положений, по инерции принимаемых за истинные, а также ошибки, кочующие из работы в работу, и, наконец, на основе обстоятельного изложения собственных теорий и наблюдений указать наиболее перспективные направления научных поисков ученым последующих поколений.
Постановка задач такого масштаба, не имевших прецедента в истории мировой науки, в XI веке оказалась по плечу двум ученым.
Один из них, Ибн Сина, создал «Канон врачебной науки», определивший пути развития медицины на много веков вперед.
Другим был Бируни, написавший «Канон Масуда», признанный астрономической энциклопедией средневековья.
Подробно объясняя свои цели и задачи, в предисловии к «Канону» Бируни писал:
«Я не шел в этой работе путем моих предшественников, даже наидостойнейших, тех, кто усердствовал в причислении к традиционным аксиомам положений, почерпнутых ими из работ других ученых, и заимствованных из «изъезженных вдоль и поперек» зиджей. Авторы этих зиджей ограничивались приведением лишь голых положений зиджей, скрывая лучшее из собственных практических работ и утаивая от других суть тех основ, на которых они основывались. Это привело к тому, что позднейшие ученые в одних случаях были вынуждены воссоздать разъяснения к зиджам, а в других — взять на себя труд их критического осуждения и разоблачения заблуждений в них. Ведь в подобных зиджах оказались увековеченными все ошибки, допущенные их авторами, поскольку положения их были лишены доказательств, а ученые, пользовавшиеся ими в позднейшем, недостаточно руководствовались собственными доказательными аргументами.
Я сделал то, что надлежит сделать всякому в своей отрасли, — с признательностью воспринять старания своих предшественников и исправить без стеснения их погрешности, если таковые будут найдены, особенно в тех вопросах, в которых невозможно установить истину относительно самих величин движений светил, и увековечить то, что представляется поучительным для тех, кто запоздал к нашему времени и явится позже».
«Канон Масуда» состоит из 11 книг. В первой книге излагается общая картина мира и основы хронологии, вторая книга посвящена вопросам хронологии и календаря, третья — плоской и сферической тригонометрии, четвертая — сферической астрономии, пятая — географии, шестая — движению Солнца, седьмая — движению Луны, восьмая — солнечным и лунным затмениям и описанию физических свойств Солнца и Луны, девятая — звездной астрономии, десятая — движению планет, одиннадцатая — астрономическим методам, употребляемым в астрологии.
«Канон Масуда» пронизан духом научного критицизма и смелого новаторства. За исключением, пожалуй, одиннадцатой книги, трактующей об астрологии, чуждой творческим интересам Бируни, во всем «Каноне» не сыскать главы или даже подраздела, где не содержались бы какое-либо новое понятие, доказательство, идея, метод, оригинальная теория, свежий, принципиально самостоятельный взгляд на тот или иной предмет. Особое внимание историков науки неизменно привлекает третья книга «Канона», в которой рассматриваются основы плоской и сферической тригонометрии. Многие исследователи сходятся во мнении, что Бируни впервые в истории математики подошел к тригонометрии как к самостоятельной науке.
Уже при самом беглом ознакомлении с разделами, посвященными сферической астрономии, бросается в глаза, что именно здесь Бируни в наибольшей степени приблизился к осуществлению своей идеи о систематическом изложении всех теоретических вопросов целой отрасли знания с полным обоснованием и строгим математическим доказательством каждого из них.
Используя материалы астрономических зиджей IX–X веков и внося в них необходимые поправки и дополнения, Бируни подробно описывает все известные правила преобразования систем координат, применяемых в сферической астрономии, для определения ее основных функций и каждое правило снабжает соответствующими таблицами и геометрическим доказательством со схемами и чертежами. Помимо этого, следуя своему исходному замыслу, он вводит в книгу целый ряд вопросов, не встречавшихся в зиджах его предшественников. Справедливо обращая внимание на особую важность именно таких материалов, советские исследователи научного творчества Бируни А. Т. Григорьян и М. М. Рожанская выделили в «Каноне Масуда» три группы проблем, в решении которых его новаторские идеи и методы проявились наиболее выпукло и ярко.
Во-первых, указывают они, эти правила определения часового угла светила, его высоты в меридиане и расстояния между светилами на небесной сфере, которые Бируни сводит к теореме косинусов. В отличие от астрономов X века Сабита ибн Курры, Баттани и Ибн Юниса он приводит полное доказательство этих правил и сопровождает их рядом геометрических иллюстраций. Кроме этого, Бируни предлагает еще один оригинальный способ определения разности долгот, применявшийся им для вычисления разности долгот Александрии и Газны. Для этой цели он выбирает несколько промежуточных географических пунктов, расстояния между которыми и их широты были заранее известны, и получает искомую разность как сумму разностей долгот этих промежуточных пунктов.