Позволю себе начать с задачи, которую я придумал лет пятнадцать тому назад для читателей одного распространенного тогда журнала в качестве «задачи на премию». Вот она:
Загадочная автобиография
В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:
«Я окончил курс университета 44-х лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?
Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления – вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 – наибольшая в этой системе (как 9 – в десятичной), а, следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятиричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором – не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцати-пятерки», и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 х 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 х 5 + 4, т. е. 24.
Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятиричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают:
Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:
«Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 6 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет, у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц».
Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятиричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:
119: 5 = 23, остаток 4.
Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятиричной системе – 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:
23: 5 = 4, остаток 3.
Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») – 4. Итак, 119 = 4x25 + 3x5 + 4, или в пятиричной системе – «434».
Простейшая система счисления
Нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятичной системе высшая цифра 9, в шестиричной – 5, в троичной – 2, в пятнадцатиричной – 14, и т. д.
Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется всего меньше цифр. В десятичной системе нужны 10 цифр (считая и 0), в пятиричной – всего 5 цифр, в троичной – 3 цифры (1, 2 и 0), в двоичной – только 2 цифры (1 и 0).
Существует ли и «единичная» система? Конечно: это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, т. е. равны ей; другими словами, «единичной» можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная «система»; ею пользовался первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: она лишена главного преимущества нашей нумерации – так называемого поместного значения цифр. Действительно: в «единичной» системе знак, стоящий на третьем или на пятом месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на третьем месте (справа) уже в 4 раза (2 х 2) больше, чем на первом, а на пятом – в 16 раз больше (2 х 2 х 2 х 2). Для изображения какого-нибудь числа по «единичной» системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же – только семь («1100100»), а в пятиричной – всего три («400»).
Вот почему «единичную» систему едва ли можно назвать «системой», по крайней мере, ее нельзя поставить рядом с остальными, так как она принципиально от них отличается, не давая никакой экономии в изображении чисел. Если же ее откинуть, то простейшей системой счисления нужно признать систему двоичную, в которой употребляются всего две цифры:
1 и 0. При помощи единицы и нуля можно изобразить все бесконечное множество чисел. На практике система эта мало удобна – получаются слишком длинные числа; но теоретически она имеет все права считаться простейшей…
Арифметическая кунсткамера
В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе интерес и внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.
Представленные в нашей «галерее» любопытные особенности некоторых чисел не имеют ничего общего с теми воображаемыми диковинками, которые усматривают в иных числах любители таинственного. Образчиком подобных числовых суеверий может служить следующее арифметическое соображение, неосторожно высказанное знаменитым французским писателем Виктором Гюго:
«Три – число совершенное. Единица для числа 3 то же, что диаметр для круга. Среди прочих чисел 3 то же, что круг среди фигур. Число 3 – единственное, имеющее центр. Остальные числа – эллипсы, имеющие два фокуса. Отсюда следующая особенность, присущая единственно числу 3: сложите цифры любого числа, кратного 3, сумма всегда делится без остатка на 3».
В этом туманном и мнимо глубокомысленном откровении все неверно: что ни фраза, то либо вздор, либо вовсе бессмыслица. Верно только замечание о свойстве суммы цифр, но свойство это не вытекает из сказанного и к тому же не представляет исключительной особенности числа 3: им отличается в десятичной системе также и число 9, а во всех вообще системах – числа, на единицу меньшие основания.
Диковинки нашей галереи – иного рода: в них нет ничего таинственного или неразгаданного.
Приглашаю читателя пройтись со мною по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.
Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам уже знакомы. Мы знаем уже, почему попало в арифметическую кунсткамеру число 2: не потому, что оно первое четное число (первым четным числом можно, впрочем, считать не 2, а 0), а потому, что оно – основание самой удобной системы счисления.
Не удивимся мы, встретив здесь 5 – одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких «округлениях». Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9, – конечно, не как символ постоянства[65], а как число, облегчающее нам поверку арифметических действий. Но вот витрина, за стеклом которой мы видим
Число 12
Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что, в сущности, особенного в дюжине? Не многим известно, что 12 – старинный и едва не победивший соперник числа 10 за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока – вавилоняне и их предшественники, населявшие Двуречье, вели счет в двенадцатиричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатиричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам[66], наше деление суток на 2 дюжины часов, деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, наконец, деление фута на 12 дюймов (фут равен 30,479 см) – не свидетельствует разве все это (и многое другое) о том, как велико в наши дни влияние этой древней системы.
Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами – живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатиричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка только на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 – четыре. Преимущества двенадцатиричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в 12-ричной системе число, оканчивающееся нулем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6: подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/2, и 1/3, и 1/4 и 1/6 его должны быть целыми числами. Если же выраженное в двенадцатиричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, т. е. на следующий длинный ряд чисел:
2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.
Четырнадцать делителей – вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в 10-тичной системе, если оканчиваются двумя нулями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 и т. д. превращаются в конечные десятичные; в двенадцатиричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего дроби: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/36, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/344, которые соответственно изобразятся так:
0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.
Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в пять одинаковых куч, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в двенадцатиричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в двенадцатиричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нолями). Когда говорят о преимуществе двенадцатиричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что, благодаря склонности нашей к «круглым» числам, на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся в двенадцатиричной системе нолями.
При таких очевидных преимуществах двенадцатиричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на двенадцатиричную систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.
Великий французский математик Лаплас так высказался по этому вопросу 100 лет назад: «Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы, несомненно, отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, – именно возможность счета по пальцам рук».
Напротив, следовало бы ради единообразия перейти также в измерении дуг от употребительных градусов и минут к новым, десятичным.
Такую реформу пытались провести во Франции, но она не привилась. Не кто иной, как упомянутый Лаплас, был горячим сторонником этой реформы. Его знаменитая книга «Изложение системы мира» последовательно проводит десятичное подразделение углов: градусом он называет не 90-ю, а 100-ю долю прямого угла, минутой – 100-ю часть градуса и т. д. Лаплас высказался даже за десятичное подразделение часов и минут. «Однообразие системы мер требует, чтобы день был разделен на 100 часов, час на 100 минут и минута на 100 секунд», – писал он.
Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собой длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галерее числовых диковинок. Зато его соседка – «чертова дюжина», 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь «страшным» для суеверных людей?
Как было распространено это суеверие (зародившееся в древнем Вавилоне), видно из того, что царское правительство при устройстве электрического трамвая в Петербурге долго не решалось вводить маршрут № 13 и пропустило его, перейдя сразу на № 14: власти думали, что публика не станет ездить в вагонах с таким «роковым» номером. Любопытно и то, что в Петербурге было немало домов, где 13-й номер квартиры был пропущен… В гостинице также нередко отсутствовала комната № 13, заменяемая № 12а. Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием кое-где на Западе (например, в Англии) учреждались даже особые «клубы числа 13»…
В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед нами
Число 365
Оно замечательно не только тем, что определяет число дней в году. Прежде всего, оно при делении на 7 дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.
Другая особенность числа 365 не связана с календарем:
365 = 10 х 10+ 11 х 11 + 12 х 12,
то есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10-ти:
102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.
Но и это еще не все – тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел – 13 и 14:
132 +142 = 169 + 196 = 365.
На этом свойстве числа 365 основана задача С.А. Рачинского, изображенная на известной картине «Трудная задача» Богданова-Вельского:
Таких чисел не много наберется в нашей галерее арифметических диковинок.
Три девятки
В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение: первые три цифры которого есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры – дополнения первых до 9. Например:
Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:
Зная эту особенность, мы можем «мгновенного» умножать любое трехзначное число на 999:
947 х 999 = 846153
509 х 999 = 508491
981 х 999 = 980019 и т. д.
А так как
999 = 9 х 111 = 3 x 3 x 3 x 37,
то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37; незнакомый со свойствами числа 999, конечно, сделать этого не в состоянии. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления».
Число Шехеразады
Следующим на очереди у нас 1001, прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.
Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых «простых» чисел. Оно делится без остатка, на 7, на 11 и на 13 – на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Не в том диковинка, что число 1001 = 7 x 11 x 13, – здесь нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из умноженного числа, только написанного дважды, например:
873 х 1001 = 873873;
207 х 1001 = 207207 и т. д.
И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 х 1001 = 873 х 1000 + 873 = 878000 + 873, – все же, пользуясь указанным свойством числа Шехеразады, можно достичь результатов, совсем неожиданных, – по крайней мере, человеку неподготовленному.
Сейчас поясним в чем дело.
Товарищей, не посвященных в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас трехзначное число, какое хочет, и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить секретно от вас это число на 7, при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат передается новому соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 – деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:
– Вот число, которое вы задумали!
– Так и есть: ты угадал.
Какова разгадка фокуса?
Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само – значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7 х 11 х 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13, а после деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение – 1001) должно снова дать первоначальное число.
Число 10101
После сказанного о числе 1001 для вас уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству число это обязано такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных, а двузначных чисел: каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:
73 х 10101 = 737373;
21 х 10101 = 212121.
Причина уясняется из следующей строки:
Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001?
Да, можно. Здесь возможно даже обставить фокус разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:
10101 = 3 х 7 х 13 x 37.
Предложив товарищу задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему – приписать то же число еще раз. Четвертого вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый товарищ должен разделить полученное частное на 3; шестой делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, причем все четыре деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому товарищу: это – задуманное им число.
При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно вместо множителей
3 х 7 х 13 х 37 можете взять следующие группы множителей:
21 х 13 х 37; 7 х 39 х 37; 3 х 91 х 37; 7 х 13 х 111.
Число это – 10101, – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». С тем большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.
Число 10001
С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, не столь эффектные. Дело в том, что оно представляет собой произведение только двух простых чисел:
10001 = 73 х 137.
Как воспользоваться этим для выполнения арифметических действий «с удивлением», читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадается сам.
Шесть единиц
В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры – число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что
111111= 111 х 1001.
Но 111 = 3 х 37, а 1001 = 7 х 11 х 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:
3 × (7 × 11 × 13 × 37) = 3 × 37037 = 111111
7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111
11 × (3 × 7 × 13 × 37) = 11 × 10101 = 111111
13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111
37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111
(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111
(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111
и т. д.
Вы можете, значит, засадить кружок из 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111.
То же число, 111111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3,7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.
На примере числа 111111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.
Из первых 17 чисел этого рода только два наименьшие – 1 и 11 – простые, остальные – составные. Вот как разлагаются на простые множители первые десять из составных чисел этого начертания:
Не все приведенные здесь числа удобно использовать для отгадывания; в некоторых случаях выполнение фокуса возложило бы на загадчика чересчур обременительную работу. Но числа из 3, из 4, из 5, из 6, из 8, из 9, из 12 единиц более или менее пригодны для этой цели.
Числовые пирамиды
В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.
Пирамида 1
Как объяснить эти своеобразные результаты умножения?
Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды:
123456 х 9 + 7.
Вместо умножения на 9, можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:
Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.
Мы можем уяснить себе это исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть
1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345…, вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (а умножить на 10 и отнять множимое – значит умножить на 9).
Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр:
Пирамида 2
Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением. Объясним эту особенность.
Получение странных результатов уясняется из следующей строки:[67]
то есть 12345 х 8 + 5 = 111111 – 12346. Но вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр – 98765.
Вот наконец третья числовая пирамида, также требующая объяснения:
Пирамида 3
Эта пирамида является следствием первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:
12345 x 9 + 6= 111111.
Умножив обе части на 8, имеем: (12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = 888888.
Но из второй пирамиды известно, что 12345 х 8 + 5 = 98765, или что 12345 х 8 = 98760.
Значит: 888888 = (12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = (98760 х 9) + 48 = (98760 х 9) + (5 х 9) + 3 = (98760 + 5) х 9 + 3 = 98765 х 9 + 3.
Вы убеждаетесь, что все эти числовые пирамиды не так уже загадочны, как кажутся с первого взгляда.
Девять одинаковых цифр
Конечная строка первой из только что рассмотренных «пирамид»
12345678 x 9 + 9= 111111111
представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:
12345679 × 9 = 111111111
12345679 × 18 = 222222222
12345679 × 27 = 333333333
12345679 × 36 = 444444444
12345679 × 45 = 555555555
12345679 × 54 = 666666666
12345679 × 63 = 777777777
12345679 × 72 = 888888888
12345679 × 81 = 999999999
Откуда такая закономерность в результатах?
Примем во внимание, что
12345678 х 9 + 9 = (12345678 + 1) х 9 = 12345679 х 9.
Поэтому 12345679 x 9= 111111111.
А отсюда прямо следует, что
12345679 х 9 х 2 = 222222222
12345679 х 9 х 3 = 333333333
12345679 х 9 х 4 = 444444444 и т. д.
Цифровая лестница
Любопытно, что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно?
Если вы обладаете способностью четко рисовать в воображении ряды цифр, вам удастся найти интересующий нас результат, даже не прибегая к выкладкам на бумаге. В сущности здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышлявшего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц. Вот результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения):
Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны.
Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующие отделения, где показываются фокусы и выставлены числовые великаны и карлики; я хочу сказать: они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями мира чисел, приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.
Магические кольца
Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи?
Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом (рис. 1). На каждом кольце написаны шесть цифр в одном и том же порядке, именно – обозначено число: 142857. Кольца обладают следующим удивительным свойством: как бы ни были они повернуты, мы при сложении двух написанных на них чисел, считая от любой цифры в направлении часовой стрелки, получим во всех случаях шестизначное число (если только результат вообще будет шестизначный), лишь немного подвинутое!
Рис. 1. Вращающиеся числовые кольца
В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы получаем при сложении двух наружных колец:
т. е. опять тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись из конца в начало.
При другом расположении колец относительно друг друга (рис. 2) имеем такие случаи:
Рис. 2. Другое расположение колец
Исключение составляет случай, когда в результате получается 999999 (рис. 3):
(Причину других отступлений от указанного правила читатель поймет, когда дочитает эту статью до конца.)
Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах.
Например:
Рис. 3. Исключение составляет случай, когда в результате получается 999999
Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры; тогда, разумеется, разность равна нулю.
Но и это еще не все. Умножьте число 142857 на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите снова то же число, лишь передвинутое в круговом порядке на одну или несколько цифр:
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Чем же все загадочные особенности нашего числа обусловлены?
Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число 142857 не что иное, как седьмая часть 999999; и, следовательно, дробь
Действительно, если станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:
Наше загадочное число есть период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении, утроении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7. Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 – один из тех остатков, которые у нас уже получались при превращении 1/7; ясно, что должен повториться и прежний ряд цифр частного, но начнется он с другой цифры. Иными словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое произойдет и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, то есть на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить единицу, или – что то же самое – 0,9999…
Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы собственно делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Переставляем группу цифр с начала строки на конец, то есть согласно только что сказанному умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7, 3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, то есть опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают единицу или больше 1.
Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными, но все же сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, то есть на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8 мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (то есть к 999999) прибавить наше число:
142857 х 8 = 142857 х 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).
Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число больше 7, как легко усмотреть из следующих строк:
142807 х 8 = (142857 х 7) + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1142856
142857 х 9 = (142857 х 7) + (142857 х 2) = 1000000 – 1 +285714= 1285713
142857 х 10 = (142857 х 7) + (142857 х 3) = 1000000 – 1 +428571 = 1428570
142857 х 16 = (142857 х 7 х 2) + (142857 х 2) = 2000000 -2 + 285714 = 2285713
142857 х 39 = (142857 х 7 х 5) + (142857 х 4) = 5000000 -5 + 571428 = 5571427
Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата[68]. Пусть мы желаем умножить 142857 на 88. Множитель 88 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения таков:
12 571 428– 12 = 12 571 416.
От умножения 142857 на 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):
52 142 857 – 52 = 52 142 805.
Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно, нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносным умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, заметим, что оно произошло от 1/7, или, что то же самое, от 2/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 999:
Мы уже имели дело с такими числами – именно когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:
142 857 = 143 х 999.
Но 143 = 13 х 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 х 11 х 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно получиться от умножения 142857 х 7:
142857 х 7 = 143 х 999 х 7 = 999 х 11 х 13 х 7 = 999 х 1001 = 999 999
(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).
Чисел, подобных тому, с которым мы познакомились, существует множество. Они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением – от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:
1/7 дает в периоде 6 цифр.
1/17»»» 16»
1/19»»» 18»
1/23»»» 22»
Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/17,1/19,1/23 и 1 /29 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренный нами период дроби 1/7.
Например, от 1/29 получаем число
0 344 827 586 206 896 551 724 137 931.
Если указанное сейчас условие (относительно чисел цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:
1/13 = 0,076923.
Помножив на 2, получаем совершенно иное число:
2/13 = 0,153846.
Почему? Потому что среди остатков от деления 1:13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, то есть 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12; следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3,4, 9,10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076 923 х 3 = 230 769), на остальные – нет. Вот почему от 1/13 получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о ряде других периодов.
Мнимая неожиданность
В 1916 году, в разгар империалистической войны, некоторые газеты нейтральной Швейцарии занимались арифметическим «гаданием» о… грядущей судьбе императоров Германии и Австрии. «Пророки» складывали следующие столбцы чисел:
Для Вильгельма II:
Для Франца-Иосифа:
В совпадении сумм «пророки» видели мрачное предзнаменование для коронованных особ, и так как каждый итог представлял собой удвоенный 1916 год, то обоим императорам предрекали гибель именно в этом году.
Между тем совпадение результатов с математической стороны не является неожиданным. Стоит немного изменить порядок слагаемых – и станет понятно, почему они дают в итоге удвоенный 1916 год. В самом деле, разместим слагаемые так:
год рождения,
возраст,
год вступления на престол,
число лет царствования.
Что должно получиться, если к году рождения прибавить возраст? Разумеется, дата того года, когда производится вычисление. Точно так же, если к году вступления на престол прибавить число лет царствования, получится опять год, когда производится расчет. Ясно, что итог сложения четырех наших слагаемых может быть не чем иным, как удвоенным годом выполнения расчета. Очевидно, судьба императоров абсолютно не зависит от подобной арифметики…
Так как о сказанном выше не все догадываются, то можно воспользоваться этим для забавного арифметического фокуса. Предложите кому-нибудь написать тайно от вас четыре числа:
год рождения,
год поступления в школу (на завод и т. п.),
возраст,
число лет обучения в школе (работы на заводе и т. п.).
Вы беретесь отгадать сумму этих чисел, хотя ни одно из них вам не известно. Для этого вы удваиваете год выполнения фокуса и объявляете итог. (Если, например, фокус показывается в 1954 году, то сумма – 3908.)
Чтобы иметь возможность, не обнаруживая секрета, с успехом проделывать этот фокус несколько раз подряд, вы заставляете слушателя проводить над суммой какие-нибудь арифметические действия, маскируя этим свой прием.
Мгновенное деление
Из многочисленных разновидностей фокусов этого рода опишем один, основанный на знакомом уже нам свойстве множителя, состоящего из ряда одних девяток; когда умножают на него число со столькими же цифрами, получается результат, состоящий из двух половин: первая – это умножаемое число, уменьшенное на единицу; вторая – результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 х 999 = 246 753; 1372 х 999 = 13 718 628 и т. д. Причину легко усмотреть из следующей строки:
247 х 999 = 247 х (1000 – 1) = 247 000–247 = 246 999–246.
Пользуясь этим, вы предлагаете группе товарищей произвести деление многозначных чисел:
одному – 68 933 106: 6894,
другому – 8 765 112 348: 9999,
третьему – 543 456: 544,
четвертому – 12 948 705: 1295 и т. д.,
а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безошибочным результатом деления:
первому – 9999,
второму – 87 652,
третьему – 999,
четвертому – 9999.
Вы можете сами придумать по указанному образцу ряд других способов поражать непосвященных мгновенным выполнением деления: для этого воспользуйтесь некоторыми свойствами тех чисел, которые помещены в «Галерее числовых диковинок».
Любимая цифра
Попросите кого-нибудь сообщить вам любимую его цифру. Допустим, вам назвали цифру 6.
– Вот удивительно! – восклицаете вы. – Да ведь это как раз самая замечательная из всех значащих цифр.
– Чем же она замечательна? – осведомляется заинтересованный собеседник.
– Вот посмотрите: умножьте вашу любимую цифру на число значащих цифр, то есть на 9, и полученное число (54) подпишите множителем под числом 12 345 679:
Что получится в произведении?
Ваш собеседник выполняет умножение – и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр: 666 666 666.
– Видите, какой у вас тонкий арифметический вкус, – заканчиваете вы. – Вы сумели избрать из всех цифр как раз ту, которая обладает столь замечательным свойством!
Однако в чем тут дело?
Точно такой же изысканный вкус оказался бы у вашего собеседника, если бы он избрал какую угодно другую из девяти значащих цифр, потому что каждая из них обладает тем же свойством:
Почему это так, вы сообразите, если припомните то, что говорилось о числе 12 345 679 в «Галерее числовых диковинок».
Угадать дату рождения
Фокусы, относящиеся к этой категории, могут быть изменяемы на разные лады.
Опишу один из видов этого фокуса, довольно сложный, но именно потому и производящий сильное впечатление.
Допустим, что вы родились 18 мая и что вам теперь 23 полных года. Я, конечно, не знаю ни даты вашего рождения, ни вашего возраста. Тем не менее я берусь отгадать то и другое, заставив вас проделать лишь некоторый ряд вычислений.
А именно: порядковый номер месяца (май, 5-й месяц) я прошу вас умножить на 100, прибавить к произведению число месяца (18), сумму удвоить, к результату прибавить 8, полученное число умножить на 5, к произведению прибавить 4, помножить результат на 10, прибавить 4 и к полученному числу прибавить ваш возраст (23).
Когда вы все это проделаете, вы сообщаете мне окончательный результат вычислений. Я вычитаю из него 444, а разность разбиваю на грани, справа налево, по две цифры в каждой: получаю сразу как месяц и число вашего рождения, так и ваш возраст.
Действительно. Проделаем последовательно все указанные вычисления:
5 × 100 = 500
500 + 18 = 518
518 × 2 = 1036
1036 + 8 = 1044
1044 × 5 = 5220
5220 + 4 = 5224
5224 × 10 = 52240
52240 + 4 = 52244
52244 + 20 = 52264
Произведя вычитание 52 267–444, получаем число 51 823.
Теперь разобьем это число на грани, справа налево, по две цифры в каждой. Имеем:
5-18-23,
то есть 5-го месяца (мая), числа 18; возраст 23 года. Почему же так получилось?
Секрет наш легко понять из рассмотрения следующего равенства:
{[(100 т + t) х 2 + 8] х 5 + 4} х 10 + 4 + n – 444 = 10000m +100t + п.
Здесь буква т обозначает порядковый номер месяца, t – число месяца, п – возраст. Левая часть равенства выражает все последовательно произведенные вами действия, а правая – то, что должно получиться, если раскрыть скобки и проделать возможные упрощения.
В выражении 10000 т + 100t + п ни т, ни t, ни п не могут быть более чем двузначными числами; поэтому число, получающееся в результате, всегда должно при делении на грани, по две цифры в каждой, расчлениться на три части, выраженные искомыми числами m,t и n.
Предоставляем изобретательности читателя придумать видоизменения фокуса, то есть другие комбинации действий, дающие подобный же результат.
Отгадывание чисел
В заключение, ничего у вас не спрашивая, я отгадаю результат, который вы получите в итоге выкладок над задуманным вами числом.
Задумайте любую цифру, кроме ноля. Умножьте ее на 37. Полученное умножьте на 3. Последнюю цифру произведения зачеркните, а оставшееся число разделите на первоначально задуманную цифру; остатка не будет.
Я могу сказать вам, какое число вы получили, хотя все это я написал задолго до того, как вы приступили к чтению книги.
У вас получилось число 11.
Второй раз проделаем фокус на иной лад. Задумайте двузначное число. Припишите к нему справа то же число еще раз. Полученное четырехзначное число разделите на то, которое вы первоначально задумали: деление выполнится нацело. Все цифры частного сложите.
У вас получилось 2.
Если не так, то проверьте внимательно свои вычисления и убедитесь, что ошиблись вы, а не я.
В чем разгадка этих фокусов?
Наш читатель теперь достаточно уже опытен в разгадывании фокусов и не потребует от меня долгих объяснений. В первом опыте отгадывания задуманное число умножалось сначала на 37, потом на 3. Но 37x3 = 111,а умножить цифру 111 – значит составить число из трех таких же одинаковых цифр (например, 4 х 37 х 3 = 444). Что мы проделали далее? Мы зачеркнули последнюю цифру и, следовательно, получили число из двух одинаковых цифр (44), которое, конечно, должно делиться на задуманную цифру и дать в частном 11.
Во втором опыте задуманное двузначное число мы писали дважды кряду – например, задумав 29, писали 2929. Это все равно, что умножить задуманное число на 101 (в самом деле, 29 х 101 = 2929). Раз я это знаю, я могу с уверенностью предвидеть, что от деления такого четырехзначного числа на задуманное число получится 101 и что, следовательно, сумма цифр частного (1+0+1) равна 2.
Как видите, отгадывание основано на свойствах чисел 111 и 101; мы вправе поместить оба эти числа в нашу арифметическую кунсткамеру.
Математические загадки пирамиды Хеопса
Высочайшая пирамида древнего Египта – Хеопсова, уже пять тысячелетий обвеваемая знойным воздухом пустыни, представляет, без сомнения, самую удивительную постройку, сохранившуюся от Древнего мира. Высотой почти в 150 м, она покрывает своим основанием площадь в 40 000 кв. м и сложена из 200 рядов исполинских камней. 10 000 рабов в течение 30 лет трудились над возведением этого сооружения, сначала подготовляя 10 лет дорогу для перевозки камней от каменоломни до места постройки, а затем громоздя их
20 лет друг на друга с помощью несовершенных машин того времени.
Было бы странно, чтобы такое огромное сооружение воздвигнуто было с единственной целью – служить гробницей для правителя страны. Поэтому некоторые исследователи стали доискиваться: не раскроется ли тайна пирамиды из соотношения ее размеров?
Им посчастливилось, по их мнению, найти ряд удивительных соотношений, свидетельствующих о том, что жрецы, руководители работ по постройке, обладали глубокими познаниями по математике и астрономии и эти познания воплотили в каменных формах пирамиды.
«Геродот[69] рассказывает, – читаем мы в книге французского астронома Море («Загадки науки», 1926, т. 1), – что египетские жрецы открыли ему следующее соотношение между стороной основания пирамиды и ее высотой: квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это вполне подтверждается новейшими измерениями. Вот доказательство, что во все времена пирамида Хеопса рассматривалась как памятник, пропорции которого рассчитаны математически.
Приведу более позднее доказательство: мы знаем, что отношение между длиной окружности и ее диаметром есть постоянная величина, хорошо известная современным школьникам. Чтобы вычислить длину окружности, достаточно умножить ее диаметр на 3,1416.
Математики древности знали это отношение лишь грубо приближенно.
Но вот, если сложить четыре стороны основания пирамиды, мы получим для ее обвода 931,22 м. Разделив же это число на удвоенную высоту (2 х 148,208), имеем в результате 3,1416, то есть отношение длины окружности к диаметру[70].
Этот единственный в своем роде памятник представляет собою, следовательно, материальное воплощение числа «пи», игравшего столь важную роль в истории математики. Египетские жрецы имели, как видим, точные представления по ряду вопросов, которые считаются открытиями ученых позднейших веков[71].
Еще удивительнее другое соотношение: если сторону основания пирамиды разделить на точную длину года – 365,2422 суток, то получается как раз 10000000-я доля земной полуоси – с точностью, которой могли бы позавидовать современные астрономы…
Далее: высота пирамиды составляет ровно миллиардную долю расстояния от Земли до Солнца – величины, которая европейской науке стала известна лишь в конце XVIII века. Египтяне 5000 лет назад знали, оказывается, то, чего не знали еще ни современники Галилея и Кеплера, ни ученые эпохи Ньютона. Неудивительно, что изыскания этого рода породили на Западе обширную литературу.
А между тем все это – не более как игра цифрами. Дело представится совсем в другом свете, если подойти к нему с оценкой результатов приближенных вычислений.
Рассмотрим же по порядку те примеры, которые мы привели.
1. О числе «пи». Арифметика приближенных чисел утверждает, что если в результате действия деления желаем получить число с шестью верными цифрами (3,14159), мы должны иметь в делимом и делителе по крайней мере столько же верных цифр. Это значит – в применении к пирамиде, – что для получения шестизначного «пи» надо было измерить стороны основания и высоту пирамиды с точностью до миллионных долей результата, то есть до 1 мм. Астроном Море приводит для высоты пирамиды 148,208 м, на первый взгляд как будто действительно с точностью до 1 мм.
Но кто поручится за такую точность измерения пирамиды? Вспомним, что в лабораториях Института мер (ВИМС), где производятся точнейшие в мире измерения, не могут при измерении длины добиться такой точности (получают при измерении длины лишь шесть верных цифр). Понятно, насколько грубее может быть выполнено измерение каменной громады в пустыне. Правда, при точнейших землемерных работах (при измерении так называемых «базисов») можно и на местности достичь такой же точности, как и в лаборатории, то есть ручаться за шесть десятичных знаков. Но, конечно, невозможно осуществить это в условиях измерения пирамиды. К тому же истинных, первоначальных размеров пирамиды давно нет в натуре, так как облицовка сооружения выветрилась, и никто не знает, какой она была толщины. Чтобы быть добросовестным, надо брать размеры пирамиды в целых метрах, а тогда получается довольно грубое «пи», не более точное, чем то, которое давно известно из математического папируса Ринда.
Если пирамида действительно есть каменное воплощение числа «пи», то воплощение это, как видим, далеко не совершенное. Но вполне допустимо, что пирамида не сооружена ради выражения именно этого соотношения. В пределы приближенных трехзначных чисел для размеров пирамиды хорошо укладываются и другие допущения. Возможно, например, что для высоты пирамиды было взято 2/3 ребра пирамиды или 2/3 диагонали ее основания. Вполне допустимо и то соотношение, которое было указано Геродотом: что высота пирамиды есть квадратный корень из площади боковой грани. Все это – догадки, столь же вероятные, как и «гипотеза пи».
2. Следующее утверждение касается продолжительности года и длины земного радиуса: если разделить сторону основания пирамиды на точную длину года (число из семи цифр), то получим в точности 10000000-ю долю земной оси (число из пяти цифр). Но раз мы уже знаем, что в делимом у нас не больше трех верных цифр, то ясно, какую цену имеют здесь эти семь и пять знаков в делителе и в частном. Арифметика может ручаться в этом случае только за три цифры в длине года и земного радиуса. Год в 365 суток и земной радиус около 6400 км – вот числа, о которых мы вправе здесь говорить.
3. Что же касается расстояния от Земли до Солнца, то здесь недоразумение иного рода. Странно даже, как приверженцы теории могут не замечать допускаемой ими здесь логической ошибки. Ведь если, как они утверждают, сторона пирамиды составляет известную долю земного радиуса, а высота – известную долю основания, то нельзя уже говорить, будто та же высота составляет определенную долю расстояния до Солнца. Что-нибудь одно – либо то, либо другое. А если случайно тут обнаруживается любопытное соответствие обеих длин, то оно всегда существовало в нашей планетной системе, и никакой заслуги жрецов в этом быть не может.
Сторонники рассматриваемой теории идут еще далее: они утверждают, что масса пирамиды составляет ровно одну тысячебиллионную долю массы земного шара. Это соотношение, по их мнению, не может быть случайным и свидетельствует о том, что древнеегипетские жрецы знали не только геометрические размеры нашей планеты, но и задолго до Ньютона и Кавендиша исчислили ее массу – «взвесили» земной шар.
Здесь та же самая нелогичность, что и в примере с расстоянием от Земли до Солнца. Совершенно нелепо говорить о том, будто масса пирамиды «выбрана» в определенном соответствии с массой земного шара. Масса пирамиды определилась с того момента, как назначены были размеры ее основания и высоты.
Нельзя одновременно сообразовать высоту пирамиды с основанием, составляющим определенную долю земного радиуса, и независимо от этого ставить ее массу в связь с массой Земли. Одно определяется другим.
Значит, должны быть отвергнуты всякие домыслы о знании египтянами массы земного шара. Это не более как числовая эквилибристика (то есть изворотливость).
Искусно оперируя с числами, опираясь на случайные совпадения, можно доказать, пожалуй, все что угодно.
Мы видим, на каких шатких основаниях покоится легенда о непостижимой учености жрецов-архитекторов пирамиды.
Попутно мы имеем тут и маленькую наглядную демонстрацию пользы того отдела арифметики, который занимается приближенными числами.
Как велик миллион?
Для тех, кто не отдает себе достаточно ясного отчета в огромности миллиона и миллиарда, остаются не вполне осознанными колоссальные достижения нашего социалистического строительства, выражающиеся миллионными и миллиардными числами.
Чтобы ощутить грандиозность подобных чисел, стоит затратить немного времени на «арифметическую гимнастику», развивающую способность правильно оценивать подлинные размеры больших чисел.
Начнем с миллиона – старейшего числового великана (наименование миллион впервые появилось в 1500 году в Италии[72]).
Если хотите ощутить истинные размеры миллиона, попробуйте хотя бы проставить в чистой тетради миллион точек. Я не предлагаю вам доводить такую работу до конца (едва ли у кого на это хватит терпения); уже одно начало работы, медленный ее ход дадут вам почувствовать, что такое «настоящий» миллион.
Миллион секунд
Здесь я предлагаю доступный для каждого способ развить в себе возможно отчетливое представление о величине миллиона. Для этого нужно дать себе труд поупражняться в мысленном миллионном счете мелких, но хорошо знакомых нам единиц – шагов, минут, спичек, стаканов и т. п. Результаты получаются нередко неожиданные и поразительные.
Приведем несколько примеров.
Сколько времени отняла бы у вас работа – пересчитать миллион каких-либо предметов, по одному в каждую секунду?
Оказывается, что, считая безостановочно по 10 часов в сутки, вы закончили бы подсчет в месяц времени! Приблизительно удостовериться в этом нетрудно устным вычислением: в часе 3600 секунд, в 10 часах – 36 000; в трое суток вы, следовательно, пересчитаете всего около 100 000 предметов; а так как миллион в 10 раз больше, то, чтобы досчитать до него, понадобится 30 дней[73]. Отсюда следует, между прочим, что предложенная ранее работа – поставить в тетради миллион точек – потребовала бы многих недель самого усердного и неустанного труда.
В миллион раз толще волоса
Тонкость волоса вошла чуть не в поговорку. Все часто видят волос и хорошо знают, насколько он тонок.
Толщина человеческого волоса – около 0,07 мм. Мы округлим ее для удобства вычислений до 0,1 мм. Представьте себе, что рядом, бок о бок, положен миллион волос. Какой ширины получилась бы полоса? Можно ли было бы, например, протянуть ее поперек двери от косяка до косяка?
Если вы никогда не задумывались над такой задачей, то можно поручиться, что, не проделав вычисления, вы дадите грубо ошибочный ответ. Вы будете, пожалуй, даже оспаривать правильный ответ – настолько покажется он неправдоподобным. Каков же он?
Оказывается, что волос, увеличенный по толщине в миллион раз, имел бы около сотни метров в поперечнике! Это кажется невероятным, но дайте себе труд сделать подсчет, и вы убедитесь, что так и есть:
0,1 мм х 1 000 000 = 0,1 м х 1000 = 0,1 км = 100 м.
Упражнения с миллионом
Проделайте – лучше всего устно – еще ряд упражнений, чтобы освоиться надлежащим образом с величиной миллиона.
1. Величина обыкновенной комнатной мухи общеизвестна – около 7 мм в длину. Но какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз?
РЕШЕНИЕ
Умножим 7 мм на 1 000 000, получим 7 км – примерно ширина Москвы или Ленинграда. Значит, муха, увеличенная линейно в миллион раз, могла бы покрыть своим телом столичный город!
2. Увеличьте мысленно в миллион раз (по ширине) ваши карманные часы – и получите снова поражающий результат (едва ли вам удастся предугадать его без расчета). Какой?
РЕШЕНИЕ
Часы имели бы в ширину километров 50, а каждая цифра простиралась бы на географическую милю (7 км).
3. Какого роста достигал бы человек, увеличенный в миллион раз?
РЕШЕНИЕ
1700 километров! Он был бы всего в 8 раз меньше поперечника земного шара. Буквально одним шагом мог бы он перешагнуть из Ленинграда в Москву, а если бы лег, то растянулся бы от Финского залива до Крыма…
Приведу еще несколько готовых подсчетов того же рода, предоставляя проверку их читателю.
Миллион человек, выстроенных в одну шеренгу плечом к плечу, растянулись бы на 250 км.
Миллион точек типографского шрифта – например, этой книги, – поставленных рядом вплотную, вытянулись бы в линию длиной в сотни метров.
Зачерпывая миллион раз наперстком, вы вычерпаете около тонны воды.
Книга в миллион страниц имела бы в толщину метров 50.
Миллион букв заключает книга убористой печати в 600–800 страниц среднего формата.
Миллион дней – более 27 столетий. От начала нашей эры не прошло еще миллиона дней!
Миллиард
Миллиард – самое молодое из названий чисел. Оно вошло в употребление лишь со времени окончания франко-прусской войны (1871 год), когда французам пришлось уплатить Германии контрибуцию в 5 000 000 000 франков. Как и «миллион», слово «миллиард» происходит от корня – тысяча – и представляет собой итальянское увеличительное от этого существительного.
Чтобы составить себе представление об огромности миллиардов, подумайте о том, что в книжке, которую вы сейчас читаете, заключается немногим более 200 000 букв. В пяти таких книжках окажется миллион букв. А миллиард букв будет заключать в себе стопка из 5000 экземпляров этой книжки – стопка, которая, будучи аккуратно сложена, составила бы столб высотой с Исаакиевский собор (его высота – 101,52 м – примерно два с половиной шестнадцатиэтажных дома, поставленных друг на друга. – Ред ).
В 1 куб. м содержится кубических миллиметров ровно миллиард (1000 х 1000 х 1000). Попробуем подсчитать, какой высоты получился бы столб, если бы все эти крошечные миллиметровые кубики были поставлены один на другой. Итог получается поразительный – 1000 км!
Миллиард минут составляет более 19 столетий; человечество всего 50 с лишним лет назад начало считать второй миллиард минут от первого дня нашей эры.
От великанов к карликам
Гулливер в своих странствованиях, покинув карликов-лилипутов, очутился среди великанов. Мы путешествуем в обратном порядке: познакомившись с числовыми исполинами, переходим к миру лилипутов – к числам, которые во столько же раз меньше единицы, во сколько единица меньше арифметического великана.
Разыскать представителей этого мира не составляет никакого труда: для этого достаточно написать ряд чисел, обратных миллиону, миллиарду, биллиону и т. д., то есть делить единицу на эти числа. Получающиеся дроби
есть типичные числовые лилипуты, такие же пигмеи по сравнению с единицей, каким является единица по сравнению с миллионом, миллиардом, биллионом и прочими числовыми исполинами.
Вы видите, что каждому числу-исполину соответствует число-лилипут и что, следовательно, числовых лилипутов существует не меньше, чем исполинов. Для них также придуман сокращенный способ обозначения. Мы уже упоминали, что весьма большие числа в научных сочинениях (по астрономии, физике) обозначаются так:
1 000 000……………….106
10 000 000……………….107
400 000 000……………..4 · 108
6 квадриллионов………..6 · 1015 и т. д.
Соответственно этому числовые лилипуты обозначаются следующим образом:
Есть ли, однако, реальная надобность в подобных дробях? Приходится ли когда-нибудь действительно иметь дело со столь мелкими долями единицы?
Об этом интересно побеседовать подробнее.
Лилипуты времени
Секунда, по обычному представлению, – настолько малый промежуток времени, что с весьма мелкими частями ее не приходится иметь дела ни при каких обстоятельствах. Легко написать
секунды, но это чисто бумажная величина, потому что ничего будто бы не может произойти в такой ничтожный промежуток времени.
Так думают многие, но ошибаются, потому что в тысячную долю секунды могут успеть совершиться весьма многие явления.
Поезд, проходящий 36 км в час, делает в секунду 10 м и, следовательно, в течение 1000-й доли секунды успевает продвинуться на сантиметр. Звук в воздухе переносится в течение 1000-й доли секунды на 33 см, а пуля, покидающая ружейный ствол со скоростью 700–800 м в секунду, переносится за тот же промежуток времени на 70 см. Земной шар перемещается каждую 1000-ю долю секунды, в своем обращении вокруг Солнца, на 30 м. Струна, издающая высокий тон, делает в 1000-ю долю секунды два-четыре и более полных колебания; даже комар успевает в это время взмахнуть вверх или вниз своими крылышками. Молния длится гораздо меньше 1000-й доли секунды: в течение этого промежутка времени успевает возникнуть и прекратиться столь значительное явление природы (молния простирается в длину на целые километры).
Но – возразите вы – 1000-ю долю секунды еще нельзя признать за лилипута, как никто не назовет тысячу числовым гигантом. Вот если взять миллионную долю секунды, то уж наверное можно утверждать, что это величина нереальная – промежуток времени, в течение которого ничего произойти не может. Ошибаетесь! Даже и одна 1 000 000-я доля секунды – для современного физика, например, – вовсе не чрезмерно маленький промежуток. В области явлений световых (и электрических) ученому сплошь и рядом приходится иметь дело с гораздо более мелкими частями секунды. Напомним прежде всего, что световой луч пробегает ежесекундно (в пустоте) 300 000 км; следовательно, в 1 000 000-ю долю секунды свет успевает перенестись на расстояние 300 м – примерно на столько же, на сколько переносится в воздухе звук в течение целой секунды.
Далее: свет есть явление волнообразное, и число световых волн, минующих ежесекундно каждую точку пространства, исчисляется сотнями биллионов. Те световые волны, которые, действуя на наши глаза, вызывают ощущение красного света, имеют частоту колебаний 400 биллионов в секунду; это значит, что в течение одной 1 000 000-й доли секунды в наш глаз вступает 400 миллионов волн, а одна волна вступает в глаз в течение 400 000 000 000 000-й доли секунды. Вот подлинный числовой лилипут!
Но этот несомненный, реально существующий лилипут является истинным великаном по сравнению с еще более мелкими долями секунды, с которыми физик встречается при изучении рентгеновых лучей. Эти удивительные лучи, обладающие свойством проникать через многие непрозрачные тела, представляют собой, как и видимые лучи, волнообразное явление, но частота колебаний у них значительно больше, чем у видимых: она достигает 2500 биллионов в секунду. Волны следуют тут одна за другой в 60 раз чаще, чем в лучах видимого красного света. Значит, и в мире лилипутов существуют свои великаны и карлики. Гулливер был выше лилипутов всего в дюжину раз и казался им великаном. Здесь же один лилипут больше другого в пять дюжин раз и, следовательно, имеет право именоваться по отношению к нему исполином.
Лилипуты пространства
Интересно рассмотреть теперь, какие наименьшие расстояния приходится отмеривать и оценивать современным исследователям природы.
В метрической системе мер наименьшая единица длины для обиходного употребления – миллиметр; он примерно вдвое меньше толщины спички. Чтобы измерять предметы, видимые простым глазом, такая единица длины достаточно мелка. Но для измерения бактерий и других мелких объектов, различимых только в сильные микроскопы, миллиметр чересчур крупен.
Ученые обращаются для таких измерений к более мелкой единице – микрону, который в 1000 раз меньше миллиметра. Так называемые красные кровяные тельца, которые насчитываются десятками миллионов в каждой капельке нашей крови, имеют в длину 7 микронов и в толщину 2 микрона. Стопка из 1000 таких телец имеет толщину спички.
Как ни мелок кажется нам микрон, он все же оказывается чрезмерно крупным для расстояний, которые приходится измерять современному физику. Мельчайшие, недоступные даже микроскопу частицы – молекулы, – из которых состоит вещество всех тел природы, и слагающие их еще более мелкие – атомы – имеют размеры от одной 100-й до одной 1000-й доли микрона. Если остановиться на последней величине, то и тогда окажется, что миллион таких крупинок (а мы уже знаем, как велик миллион), будучи расположен на одной прямой, вплотную друг к другу, занял бы всего миллиметр.
Чтобы представить себе наглядную чрезвычайную малость атомов, обратимся к такой картине. Вообразите, что все предметы на земном шаре увеличились в миллион раз. Эйфелева башня в Париже (300 м высоты) уходила бы тогда своей верхушкой на 300 000 км в мировое пространство и находилась бы в недалеком соседстве от орбиты Луны. Люди были бы величиной в 1/4 земного радиуса – в 1700 км; один шаг такого человека-гиганта унес бы его на 600–700 км. Мельчайшие красные тельца, миллиардами плавающие в его крови, имели бы каждое более 7 м в поперечнике. Волос имел бы 100 м в толщину. Мышь достигала бы 100 км в длину, муха – 7 км. Каких же размеров будет при таком чудовищном увеличении атом вещества?
Положительно не верится: его размеры предстанут пред вами в виде… типографской точки шрифта этой книги!
Достигаем ли мы здесь крайних пределов пространственной малости, за которые не приходится переступать даже физику с его изощренными приемами измерений? Еще не особенно давно думали так; но теперь установлено, что атом – целый мир, состоящий из гораздо более мелких частиц и являющийся ареной действия могущественных сил. Например, атом водорода состоит из центрального ядра и быстро обращающегося вокруг него электрона. Не входя в другие подробности, скажем только, что поперечник электрона измеряется биллионными долями миллиметра. Другими словами, поперечник электрона почти в миллион раз меньше поперечника атома. Если же пожелаете сравнить размеры электрона с размерами пылинки, то расчет покажет вам, что электрон меньше пылинки примерно во столько же раз, во сколько пылинка меньше – чего бы вы думали? – земного шара!
Вы видите, что атом – лилипут среди лилипутов – является в то же время настоящим исполином по сравнению с электроном, входящим в его состав, – таким же исполином, каким вся Солнечная система является по отношению к земному шару.
Можно составить следующую поучительную лестницу, в которой каждая ступень является исполином по отношению к предыдущей ступени и лилипутом по отношению к последующей:
электрон
атом
пылинка
дом
земной шар
Солнечная система
расстояние до Полярной звезды
Млечный Путь.
Каждый член этого ряда примерно в четверть миллиона раз больше предыдущего и во столько же раз меньше последующего (имеются в виду линейные размеры (а не объемы), то есть поперечник атома, диаметр Солнечной системы, высота или длина дома и т. п.). Ничто не доказывает так красноречиво всю относительность понятий «большой» и «малый», как эта табличка. В природе нет безусловно большого или безусловно малого предмета. Каждая вещь может быть названа и подавляюще огромной и исчезающе малой, в зависимости от того, как на нее взглянуть, с чем ее сравнить.
Сверхисполин и сверхлилипут
Наши беседы о великанах и карликах из мира чисел были бы неполны, если бы мы не рассказали читателю об одной изумительной диковинке этого рода – диковинке, правда, не новой, но стоящей дюжины новинок. Чтобы подойти к ней, начнем со следующей, на вид весьма незамысловатой задачи:
Какое самое большое число можно написать тремя цифрами, не употребляя никаких знаков действия?
Хочется ответить: 999, – но, вероятно, вы уже подозреваете, что ответ другой, иначе задача была бы чересчур проста. И действительно, правильный ответ пишется так:
Выражение это означает: «девять в степени девять в девятой степени» (на языке математики такое выражение называется «третьей сверхстепенью девяти»). Другими словами: нужно составить произведение из стольких девяток, сколько единиц в результате умножения:
9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9.
Достаточно только начать вычисление, чтобы ощутить огромность предстоящего результата. Если у вас хватит терпения выполнить перемножение девяти девяток, вы получите число:
387 420 489.
Главная работа только начинается: теперь нужно найти
9387420489
то есть произведение 387 420 489 девяток. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений…
У вас, конечно, не будет времени довести до конца подобное вычисление. Но я лишен возможности сообщить вам готовый результат – по трем причинам, которые нельзя не признать уважительными. Во-первых, число это никогда и никем еще не было вычислено (известен только приближенный результат). Во-вторых, если бы даже оно и было вычислено, то, чтобы напечатать его, понадобилось бы не менее тысячи таких книг, как эта, потому что число наше состоит из 369 693 061 цифры; набранное обыкновенным шрифтом, оно имело бы в длину 1000 км – от Ленинграда до Горького. Наконец, если бы меня снабдили достаточным количеством бумаги и чернил, я и тогда не мог бы удовлетворить вашего любопытства. Вы легко можете сообразить почему: если я способен писать, скажем, без перерыва по две цифры в секунду, то в час я напишу 7200 цифр, а в сутки, работая непрерывно день и ночь, – не более 172 800 цифр. Отсюда следует, что, не отрываясь ни на секунду от пера, трудясь круглые сутки изо дня в день без отдыха, я просидел бы за работой не менее 7 лет, прежде чем написал бы это число…
Могу сообщить вам, что это число начинается цифрами 428 124773 175 747 048 036 987 118 и кончается 89. Что находится между этим началом и концом – неизвестно. А ведь там 369 693 061 цифра!..
Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим длиннейшим рядом цифр? Трудно дать хотя бы приблизительное представление о его громадности, потому что такого множества вещей, считая даже каждый электрон за отдельную вещь, нет в целой Вселенной!
Архимед вычислил некогда, сколько песчинок заключал бы в себе мир, если бы весь он, до неподвижных звезд, наполнен был тончайшим песком. У него получился результат, не превышающий единицы с 63 нолями. Наше число состоит не из 64, а почти из 370 миллионов цифр – следовательно, оно неизмеримо превышает огромное число Архимеда.
Поступим же по примеру Архимеда, но вместо «исчисления песчинок» произведем «исчисление электронов». Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше земного шара. Для радиуса видимой Вселенной примем расстояние в миллиард световых лет. Так как свет пробегает в секунду 300 000 км, а в году 31 миллион секунд, то можно считать, что световой год равен круглым счетом 10 биллионам километров (гнаться за большей точностью здесь бесполезно). Значит, для радиуса всей известной нам Вселенной получаем величину 10 миллиардов биллионов километров, или, прибегая к способу изображения числовых великанов, объясненному раньше, 1022 км.
Объем шара такого радиуса можно вычислить по правилам геометрии: он равен (с округлением) 44 · 1066 куб. км. Умножив это число на число кубических сантиметров в кубическом километре (1015), получим для объема видимой Вселенной величину 1081 куб. см (небезынтересно отметить, что Архимед в своем исчислении песчинок определял объем Вселенной в 5 · 1054 куб. см).
Теперь представим себе, что весь этот объем сплошь заполнен самыми тяжелыми из известных нам атомов – атомами элемента урана, которых идет на грамм около 1022 штук. Их поместилось бы в шаре указанного объема 10103 штуки. Дознано, что в каждом атоме урана содержится 238 электронов (внешних и внутренних). Поэтому во всей доступной нашему исследованию Вселенной могло бы поместиться не более 10106 электронов.
Число, состоящее «всего лишь» из 107 цифр… Как это мизерно по сравнению с нашим числовым великаном почти из 370 миллионов цифр!
Вы видите, что, наполняя сплошь видимую Вселенную электронами, мы не исчерпали и небольшой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением:
Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности.
Соответствующий числовой лилипут получится, если разделим единицу на это число. Будем иметь:
что равно:
Мы имеем здесь знакомое нам огромное число в знаменателе. Сверхвеликан превратился в сверхлилипута.
Необходимо сделать существенное замечание о великане из трех девяток. Я получил немало писем от читателей с утверждением, что выражение это вовсе не так трудно вычислить; ряд читателей даже выполнили требуемый расчет, употребив на него сравнительно немного времени. Результат оказался несравненно скромнее того, о котором у меня рассказано. В самом деле, пишут они,
99= 387 420 489;
возвысив же 387 420 489 в 9-ю степень, получаем число «всего лишь» из 72 цифр. Это хотя и не мало, но до 370 миллионов цифр от него еще очень далеко…
Читатели недоумевают, а между тем ошибка их в том, что ими неправильно понят смысл трехъярусного выражения из девяток. Они понимают его так:
в то время как правильное его понимание иное:
Отсюда огромная разница в итогах вычисления.
Оба способа понимания приводят к одинаковому результату только в одном случае: когда мы имеем выражение
Тут безразлично, как вести вычисление: в обоих случаях получается один результат – 16.
Любопытно, что сейчас приведенное выражение вовсе не означает самого большого числа, какое можно изобразить тремя двойками. Можно получить гораздо большее число, если расположить двойки так:
22.
Это выражение равно 4 194 304, то есть значительно больше 16. Как видите, третья сверхстепень не во всех случаях выражает наибольшее число, какое можно изобразить тремя одинаковыми цифрами.