ки»
Завтрак с головоломками
1. Белка на поляне
– Сегодня утром я с белкой в прятки играл, – рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. – Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой березой посредине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошел я дерево – но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти вокруг белки.
– Однако, – возразил кто-то, – сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.
– Вокруг дерева, но не вокруг белки!
– Но белка-то на дереве?
– Что же из того?
– То, что вы кружились и вокруг белки.
– Хорошо кружился, если ни разу не видел ее спинки.
– При чем тут спинка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, ходите вокруг белки.
– Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне все время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь вокруг вас?
– Конечно, скажу. Как же иначе?
– Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?
– Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь – вот в чем суть дела, а не в том, чтобы видеть спину.
– Позвольте: что значит кружиться вокруг чего-нибудь? По-моему, это означает только одно: становиться последовательно в такие места, чтобы видеть предмет со всех сторон. Ведь правильно, профессор? – обратился спорящий к сидевшему за столом старику.
– Спор идет у вас в сущности о словах, – ответил ученый. – А в таких случаях надо начинать всегда с того, о чем вы сейчас только завели речь: надо договориться о значении слов. Как понимать слова: «двигаться вокруг предмета»? Смысл их может быть двоякий. Можно, во-первых, разуметь под ними перемещение по замкнутой линии, внутри которой находится предмет. Это одно понимание. Другое: двигаться по отношению к предмету так, чтобы видеть его со всех сторон. Держась первого понимания, вы должны признать, что четыре раза обошли вокруг белки. Придерживаясь же второго, – обязаны заключить, что не обошли вокруг нее ни разу. Поводов для спора здесь, как видите, нет, если обе стороны говорят на одном языке, понимают слова одинаково.
– Прекрасно, можно допустить двоякое понимание. Но какое все же правильнее?
– Так ставить вопрос не приходится. Уславливаться можно о чем угодно. Уместно только спросить, что более согласно с общепринятым пониманием. Я сказал бы, что лучше вяжется с духом языка первое понимание и вот почему. Солнце, как известно, делает полный оборот вокруг своей оси немного более, чем за 25 суток.
– Солнце вертится?
– Конечно, как и Земля вокруг оси. Вообразите, однако, что вращение Солнца совершается медленнее, а именно, что оно делает один оборот не в 25 суток, а в 3651/4 суток, т. е. в год. Тогда Солнце было бы обращено к Земле всегда одной и той же своей стороной; противоположной половины, «спины» Солнца, мы никогда не видели бы. Но разве стал бы кто-нибудь утверждать из-за этого, что Земля не кружится вокруг Солнца?
– Да, теперь ясно, что я все-таки кружился вокруг белки.
– Есть предложение, товарищи! Не расходиться, – сказал один из слушавших спор. – Так как в дождь гулять никто не пойдет, а перестанет дождик, видно, не скоро, то давайте проведем здесь время за головоломками. Начало сделано. Пусть каждый по очереди придумает или припомнит какую-нибудь головоломку. Вы же, профессор, явитесь нашим верховным судьей.
– Если головоломки будут с алгеброй или с геометрией, то я должна отказаться, – заявила молодая женщина.
– И я тоже, – присоединился кто-то.
– Нет, нет, участвовать должны все! А мы попросим присутствующих не привлекать ни алгебры, ни геометрии, разве только самые начатки. Возражений не имеется?
– Тогда я согласна и готова первая предложить головоломку.
– Прекрасно, просим! – донеслось с разных сторон. – Начинайте.
2. В коммунальной кухне
– Головоломка моя зародилась в обстановке дачной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица – назову ее для удобства Тройкиной – положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина – 5 полей, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?
– Пополам, – поспешил заявить кто-то. Бестопливный пользовался их огнем в равной мере.
– Ну, нет, – возразил другой, – надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяные вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 3 копейки; кто дал 5 полен – получает 5 копеек. Вот это будет справедливый дележ.
– Товарищи, – взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания. – Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый еще подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!
3. Работа школьных кружков
– В нашей школе, – начал пионер, – имеется 5 кружков: слесарный, столярный, фотографический, шахматный и хоровой. Слесарный кружок занимается через день, столярный – через 2 дня на 3-й, фотографический – каждый 4-й день, шахматный – каждый 5-й день и хоровой – каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было еще вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.
– А год был простой или високосный? – осведомились у пионера.
– Простой.
– Значит, первый квартал – январь, февраль, март – надо считать за 90 дней?
– Очевидно.
– Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить еще один, – сказал профессор. – А именно: сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?
– Ага, понимаю! – раздался возглас. – Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками и ни одного дня без всяких кружков. Это уж ясно!
– Почему? – спросил председатель.
– Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика хотят поймать впросак.
– Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!
4. Кто больше?
– Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них на тротуаре. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперед по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?
– Идя, больше насчитаешь, ясное дело, – донеслось с другого конца стола.
– Ответ узнаем за ужином, – объявил председатель. – Следующий!
5. Дед и внук
– То, о чем я скажу, происходило в 1932 г. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным…
– Разумеется, невозможно, – вставил чей-то голос.
– Представьте, что вполне возможно. Дед доказал мне это. Сколько же лет было каждому из нас?
6. Железнодорожные билеты
– Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, – начала следующая участница игры. – Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?
– Ваша очередь, товарищ летчик, – провозгласил председатель.
7. Полет дирижабля
– Из Ленинграда вылетел прямо на север дирижабль. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км, дирижабль сделал новый поворот – на юг и прошел в южном направлении 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км, опустился. Спрашивается: где расположено место спуска дирижабля относительно Ленинграда – к западу, к востоку, к северу или к югу?
– На простака рассчитываете, – сказал кто-то, – 500 шагов вперед, 500 вправо, 500 назад да 500 влево – куда придем? Откуда вышли, туда и придем!
– Итак, где, по-вашему, спустился дирижабль?
– На том же ленинградском аэродроме, откуда поднялся. Не так разве?
– Именно не так.
– В таком случае я ничего не понимаю!
– В самом деле, здесь что-то неладно, – вступил в разговор сосед. – Разве дирижабль спустился не в Ленинграде?.. Нельзя ли повторить задачу?
Летчик охотно исполнил просьбу. Его внимательно выслушали и с недоумением переглянулись.
– Ладно, – объявил председатель. – До ужина успеем подумать об этой задаче, а сейчас будем продолжать.
8. Тень
– Позвольте мне, – сказал очередной загадчик, – взять сюжетом головоломки тот же дирижабль. Что шире: дирижабль или его полная тень?
– В этом и вся головоломка?
– Вся.
Тень, конечно, шире дирижабля: ведь лучи солнца расходятся веером, – последовало сразу решение.
– Я бы сказал, – возразил кто-то, – что, напротив, лучи солнца параллельны; тень и дирижабль одной ширины.
– Что вы? Разве не случалось вам видеть расходящиеся лучи от спрятанного за облаком солнца? Тогда можно воочию убедиться, как сильно расходятся солнечные лучи. Тень дирижабля должна быть значительно больше дирижабля, как тень облака больше самого облака.
– Почему же обычно принимают, что лучи солнца параллельны? Моряки, астрономы – все так считают…
Председатель не дал спору разгореться и предоставил слово следующему загадчику.
9. Задача со спичками
Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки.
– Костер собираетесь раскладывать? – шутили слушатели.
– Головоломка, – объяснил загадчик, – будет со спичками. Вот их три неравные кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучи я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй куче имелось, затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и, наконец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, – если, говорю, все это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?
10. Коварный пень
– Головоломка эта, – начал сосед последнего загадчика, – напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик. Это был целый рассказ, довольно забавный. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал:
– Известен мне в леску этом пенечек один удивительный. Очень в нужде помогает.
– Как помогает? Вылечивает?
– Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста – и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!
– Вот бы мне испробовать, – мечтательно сказал крестьянин.
– Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.
– Кому платить? И много ли?
– Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.
Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 р. 20 к. На том и порешили.
Старик повел крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и, наконец, разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелек, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлек оттуда кошелек и подал крестьянину.
Заглянул крестьянин в кошелек и что же? – деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 p. 20 к. и попросил засунуть кошелек вторично под чудодейственный пень.
Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 р. 20 к.
В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки. Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрел из лесу.
Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик недаром, отыскивая кошелек, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнем?
11. Задача о декабре
– Я, товарищи, языковед, от всякой математики далек, – начал пожилой человек, которому пришел черед задавать головоломку. – Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?
– Просим!
– Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что, собственно, значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» – десять, отсюда также слово «декалитр» – десять литров, «декада» – десять дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?
– Ну теперь осталась только одна головоломка, – произнес председатель.
12. Арифметический фокус
– Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трехзначное число.
– Могут быть и нули в этом числе?
– Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.
– Написал. Что теперь?
– Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
– Есть. Шестизначное число.
– Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
– Легко сказать: разделить на семь! Может и не разделится.
– Не беспокойтесь, поделится без остатка.
– Числа не знаете, а уверены, что поделится.
– Сначала разделите, потом будем говорить.
– На ваше счастье разделилось.
– Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
– Думаете, опять повезет – разделится?
– Делите, остатка не получится.
– В самом деле без остатка! Теперь что?
– Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.
– Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… Ан нет, разделилось нацело. Везет же вам!
– Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа.
Не развертывая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
– Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
– Совершенно верно! – с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. – Именно это я и задумал… теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.
Решения головоломок 1-12
1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.
2. Нельзя считать, как многие делают, что 8 копеек уплачено за 8 полен, по 1 копейке за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 полен, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 полен оценены были в 8 х 3, т. е. в 24 к., и цена одного полена – 3 копейки.
Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятеркиной за ее 5 полен следует 15 копеек; но она сама воспользовалась плитой на 8 копеек; значит, ей остается дополучить еще 15 – 8, т. е. 7 копеек. Тройкина за три свои полена должна получить 9 копеек, а если вычесть 8 копеек, причитающихся с нее за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 9–8, т. е. 1 копейка.
Итак, при правильном дележе Пятеркина должна получить 7 копеек, Тройкина – 1 копейку.
3. На первый вопрос – через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков – мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберется снова 5 кружков: слесарный – через 30 двухдневных промежутков, столярный – через 20 трехдневных, фотокружок – через 15 четырехдневных, шахматный – через 12 пятидневок и хоровой – через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет еще через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.
Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.
Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы слесарного кружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы столярного кружка: 4-й, 7-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнем затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачеркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.
Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го, 12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.
4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей. Можно рассуждать и иначе. Когда тот из считавших, который прохаживался по тротуару, первый раз возвратился к своему стоявшему товарищу, они насчитали одинаковое число прохожих – всякий, прошедший мимо стоявшего, попался (на том или на обратном пути) и прохаживавшемуся (и наоборот). И каждый раз, возвращаясь к своему стоявшему товарищу, гулявший насчитывал такое же число прохожих. То же было и в конце часа, когда они последний раз встретились и сообщили друг другу результаты подсчетов.
5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.
Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19; таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX столетии: первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г. и ему в 1932 году было 66 лет.
Таким образом, и внуку и деду в 1932 г. было столько лет, сколько выражают последние две цифры годов их рождения.
6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 х 24 = 600 образцов. Если же пассажиры могут приобретать не только прямые билеты («туда»), но, при желании, и обратные («туда-обратно»), то число образцов билетов возрастет еще вдвое, т. е. их потребуется 1200.
7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что дирижабль летел по контуру квадрата; надо принять в расчет шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются; поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, дирижабль отошел к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате дирижабль, закончив полет, оказался восточнее Ленинграда.
Рис. 1
На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 1 вы видите маршрут дирижабля: ABCDE. Точка N — Северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и DC. Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500: 111 «4,5°. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на широте 60°+4,5° = 64,5°. Затем дирижабль летел к востоку, т. е. по параллели ВС, и прошел по ней 500 км. Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна примерно 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: 500: 48 «10,4°. Далее дирижабль летел в южном направлении, т. е. по меридиану CD и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по AD; 500 км этого пути явно короче расстояния AD. В расстоянии AD заключается столько же градусов, сколько и в ВС, т. е. 10,4°. Но длина 1° на ширине 60° примерно равна 55,5 км. Следовательно, между А и D расстояние равно 55,5 х 10,4 «577 км. Мы видим, что дирижабль не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, т. е. оказался над Ладожским озером и мог опуститься только на воду.
8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с расстоянием ее от Солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть ее поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда (при так называемом «иззаоблачном сиянии») лучи солнца, расходящиеся веером, – не более как следствие перспективы.
В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов или вид длинной аллеи.
Однако, из того, что лучи солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по ширине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 2, вы поймете, что полная тень дирижабля в пространстве суживается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть уже самого дирижабля! CD меньше чем АВ.
Рис. 2. Как падает тень дирижабля
Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 100 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС в BD между собою, равен тому углу, под которым усматривается солнце с земли; угол этот известен; около 1/2°. С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в 1/2°, удален от глаза на 115 своих поперечников. Значит, избыток длины дирижабля над длиною тени (этот избыток усматривается с земной поверхности под углом в 1/2°) должен составлять 115-ю долю от АС. Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 100 м) составляет около 140 м, и, следовательно, отрезок MN равен м.
Все сказанное относится к полной тени дирижабля – черной и резкой, и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой. Расчет наш показывает, между прочим, что, будь на месте дирижабля небольшой шар-зонд диаметром меньше 12 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.
9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.
Итак, имеем в самом конце:
Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16 + 8 = 24 спички.
Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:
Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (т. е. до того как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) распределение спичек было таково:
Таково первоначальное количество спичек в кучках.
10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 р. 20 к. (деньги эти получил старик в последний раз). Сколько же было до этого удвоения? Конечно, 60 к. Остались эти 60 к. после уплаты старику вторых 1 р. 20 к., а до уплаты было в кошельке 1 р. 20 к. + 60 к. = 1 р. 80 к.
Далее: 1 р. 80 к. оказались в кошельке после второго удвоения; до того было всего 90 к., оставшихся после уплаты старику первых 1 р. 20 к. Отсюда узнаем, что до уплаты находилось в кошельке 90 к. + 1 р. 20 к. = = 2 р. 10 к. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше – 1 р. 05 к. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.
Проверим ответ.
Деньги в кошельке:
После 1-го удвоения……….1 р. 5 к. х 2 = 2 р. 10 к.
«1-й уплаты………….2 р. 10 к. – 1 р. 20 к. = 90 к.
«2-го удвоения………….90 к. х 2 = 1 р. 80 к.
«2-й уплаты……….. 1 р. 80 к. – 1 р. 20 к. = 60 к.
«3-го удвоения…………60 к. х 2 = 1 р. 20 к.
«3-й уплаты…………1 р. 20 к. – 1 р. 20 к. = 0.
11. Наш календарь ведет свое начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был, следовательно, десятый месяц. С перенесением начала года на 1 января названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между названием и порядковым номером, которое существует теперь для ряда месяцев.
12. Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трехзначное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:
872 872 = 872 000 + 872.
Теперь ясно, что́, собственно, проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать – умножили число на 1001.
Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном итоге, значит, разделили его на 7 х 11 х 13, т. е. на 1001.
Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?
Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу еще об арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей…
Зачеркнутая цифра
Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8 + 4 + 7) = 19 и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется:
847 – 19 = 828.
В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру – безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса?
Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сложив 2 + 8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18, не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9, – иначе говоря, такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, 6 – цифра десятков и с — цифра единиц. Значит, всего в этом числе содержится единиц
100а + 106 + с.
Отнимаем от этого числа сумму его цифр а + 6 + с. Получим 100а + 106 + с – (а + b + с) = 99 а + 96 = 9 · (11а + 6).
Но 9 · (11а + 6), конечно, делится на 9; значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получиться число, делящееся на 9 без остатка.
При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачеркнутая цифра есть либо 0, либо 9. Так вы и должны ответить: 0 или 9.
Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо перестановкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число, большее задуманного, то вычитают меньшее из большего). Дальше поступают, как раньше сказано: 8247–2748 = 5499; если зачеркнута цифра 4, то, зная цифры 5, 9, 9, вы соображаете, что ближайшее к 5 + 9 + 9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит, зачеркнутая цифра 27–23 = 4.
Выгодная сделка
Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.
1.
Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.
«Бывают же такие удачи, – рассказывал он домашним. – Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя невидный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.
– Сделаем, – говорит, – с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.
Я ушам не верил!
– Одну копейку? – переспрашиваю.
– Одну копейку, – говорит, – за вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.
– Ну, – не терпится мне. – А дальше?
– А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую – 8, за пятую – 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.
– И потом что? – спрашиваю.
– Все, – говорит, – больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.
Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.
– Ладно, – говорю. – Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
– Будь покоен, – говорит, – завтра с утра жди. Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать».
2.
Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.
– Деньги готовь, – говорит. – Я свои принес.
И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги – настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:
– Вот мое по уговору. Твой черед платить. Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.
– Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, – сказал он и ушел.
Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые; все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.
Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?
Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. Наутро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:
– К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.
Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось…
Явился незнакомец и на третий день – третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.
Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за 8 копеек.
Пришла и пятая сотня тысяч – за 16 копеек.
Потом шестая за 32 копейки.
Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:
1 к. + 2 к. + 4 к. + 8 к. + 16 к. + 32 к. + 64 к. = 1 р. 27 к.
Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает…
А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1 р. 28 к., на 9-й – 2 р. 56 к., на 10-й – 5 р. 12 к., на 11-й – 10 р. 24 к., на 12-й – 20 р. 48 к., на 13-й – 40 р. 96 к., на 14-й —81р. 92 к.
Богач охотно платил эти деньги, ведь он получил уже один миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.
Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:
за 15-ю сотню тысяч……. 163 р. 84 к.
«16-ю»»……… 327» 68»
«17-ю»»……… 655» 36»
«18-ю»»……… 1310» 72»
«19-ю»»……… 2621» 44»
Впрочем, богач считал себя еще далеко не в убытке хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч.
Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.
Вот дальнейшие платежи:
за 20-ю сотню тысяч……. 5242 р. 88 к.
«21-ю»»……… 10 485» 76»
«22-ю»»……… 20 971» 52»
«23-ю»»……… 41 943» 04»
«24-ю»»……… 83 886» 08»
«25-ю»»……… 167 772» 16»
«26-ю»»……… 335 544» 32»
«27-ю»»……… 671 088» 64»
Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора.
Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит…
Начиная с 28-го дня богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:
за 28-ю сотню тысяч……. 1 342 177 р. 28 к.
«29-ю»»……… 2 684 354» 56»
«30-ю»»……… 5 368 709» 12»
Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу
10 737 418 р. 23 к.
Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.
3.
Прежде чем кончить с этой историей, покажу, каким способом можно ускорить подсчет убытков миллионера; другими словами – как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + и т. д.
Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:
1 = 1 2=1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1
32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1 и т. д.
Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32 768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32 768) сумму всех предыдущих, иначе сказать – прибавляем то же последнее число без единицы (32 768 – 1). Получаем 65 535.
Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз. Его последний платеж был 5 368 709 р. 12 к.
Поэтому, сложив 5 368 709 p. 12 к. и 5 368 709 p. 11 к., получаем сразу искомый результат:
10 737 418 р. 23 к.
Городские слухи
Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали. Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.
Однако если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.
1.
В небольшой городок с 50-тысячным населением приехал в 8 ч утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость.
В доме, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
Итак, в 81/4 ч утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям.
Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 х 3) = 13 человек.
Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что к 83/4 часам утра новость стала известна
13 + (3 х 9) = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший про новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
в 9 ч новость узнают 40 + (3 х 27) =121 чел.
«91/4»»» 121 + (3 x 81) = 364»
«91/2»»» 364 + (3 х 243) = 1093»
Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50 000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
в 93/4 ч новость узнают 1093 + (3 х 729) = 3280 чел.
«10»»» 3280 + (3 х 2187) = 9841»
Еще спустя четверть часа будет уже осведомлено больше половины города:
9841 + (3 х 6561) = 29 524.
И, значит, ранее чем в половине одиннадцатого дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 ч утра известна была только одному человеку.
2.
Проследим теперь, как выполнен был предыдущий подсчет.
Он сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:
1 + 3 + (З х З) + (З х З х З) + (З х З х З х З) + и т. д.
Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы раньше сумму чисел ряда 1 + 2 + 4 + 8 и т. д.? Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
1 = 1
3 = 1 х 2 + 1
9 = (1 + 3) х 2 + 1
27 = (1 + 3 + 9) х 2 + 1
81 = (1 + 3 + 9 + 27) х 2+1 и т. д.
Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел плюс единица.
Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел нашего ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув в последнем числе единицу).
Например, сумма чисел
3.
В нашем случае каждый житель, узнавший новость, передавал ее только трем гражданам. Но если бы жители города были еще разговорчивее и сообщали услышанную новость не 3 гражданам, а, например, 5 или даже 10 другим, слух распространялся бы, конечно, гораздо быстрее.
При передаче, например, пятерым картина осведомления города была бы такая:
в 8 ч. . . . . . . = 1 чел.
«81/4». . . . . . 1 + 5 = 6»
«81/2». . . . 6 + (5 × 5) = 31»
«83/4». . . 31 + (25 × 5) = 156»
«9». . . 156 + (125 × 5) = 781»
«91/4». . . 781 + (625 × 5) = 3906»
«91/2». . . 3906 + (3125 × 5) = 19 531»
Ранее чем в 93/4 часа утра новость будет уже известна всему 50-тысячному населению города.
Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10 другим. Тогда получим такой любопытный, быстро возрастающий, ряд чисел:
в 8 ч. . . . . . = 1,
«81/4». . . 1 + 10 = 11,
«81/2». . . 11 + 100 = 111,
«83/4». . . 111 + 1000 = 1111,
«9». . . 1111 + 10000 = 11111.
Следующее число этого ряда, очевидно, 111 111 – это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!
Лавина дешевых велосипедов
В дореволюционные годы были у нас, – а за рубежом, вероятно, и теперь еще находятся, – предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества. Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:
...
ВЕЛОСИПЕД ЗА 10 РУБЛЕЙ!
Каждый может приобрести в собственность
велосипед, затратив только 10 рублей.
Пользуйтесь редким случаем.
ВМЕСТО 50 РУБЛЕЙ – 10 РУБ.
Условия покупки высылаются бесплатно
Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.
За 10 руб. высылался пока не самый велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами, приобретающий велосипед имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, – но этот маленький труд в счет не шел.
Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 руб.? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д.
На первый взгляд во всем этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось; велосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке, – она получала за свой товар полную его стоимость.
А между тем вся затея – несомненное мошенничество. «Лавина», как называли эту аферу у нас, или «снежный ком», как величали ее французы, вовлекала в убыток тех многочисленных ее участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Они-то и уплачивали фирме разницу между 50-рублевой стоимостью велосипедов и 10-рублевой платой за них. Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести. Что так должно непременно случиться, вы поймете, дав себе труд проследить с карандашом в руке за тем, как стремительно возрастает число людей, вовлекаемых в лавину.
Первая группа покупателей, получившая свои билеты прямо от фирмы, находит покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы снабжает билетами четверых новых участников.
Эти четверо должны сбыть свои билеты 4 x 5, т. е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось, и 20 покупателей завербовано.
Лавина движется дальше: 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20 х 5 = 100 других.
До сих пор каждый из «родоначальников» лавины втянул в нее
1 + 4 + 20 + 100 = 125 человек,
из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 – только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 руб. Теперь лавина выходит уже из тесного круга знакомых между собою людей и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, все труднее и труднее отыскивать свежий материал. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придется завербовать 2500 новых жертв. Город быстро наводняется билетами, и отыскивать охотников приобрести их становится весьма нелегким делом.
Вы видите, что число людей, втянутых в лавину, растет по тому же самому закону, с которым мы встретились, когда беседовали о распространении слухов. Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается:
Если город велик и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет 621/2 тысячи, то в рассматриваемый момент, т. е. на 8 «туре», лавина должна иссякнуть. Все оказались втянутыми в нее. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же 4/5 имеются на руках билеты, которые некому сбыть.
Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, насчитывающего миллионы жителей, момент насыщения наступит всего несколькими турами позднее, потому что числа лавины растут с неимоверной быстротой. Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:
312 500
1 562 500
7 812 500
39 062 500
На 12-м туре лавина, как видите, могла бы втянуть в себя население целого государства. И 4/5 этого населения будет обмануто устроителями лавины. Подведем итог тому, чего собственно достигает фирма устройством лавины. Она принуждает 4/5 населения оплачивать товар, приобретаемый остальною 1/5 частью населения; иными словами – заставляет четырех граждан облагодетельствовать пятого. Совершенно безвозмездно приобретает фирма, кроме того, многочисленный штат усердных распространителей ее товара. Правильно охарактеризовал эту аферу один из наших писателей[74] как «лавину взаимного объегоривания». Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения собственных интересов от посягательства аферистов.
Награда
Вот что, по преданию, произошло много веков назад в Древнем Риме (рассказ в вольной передаче заимствован из старинной латинской рукописи, принадлежащей одному из частных книгохранилищ Англии).
1.
Полководец Теренций по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.
Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате.
Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:
– Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.
– Чего желал бы ты от меня, Теренций? – спросил император.
– Выслушай со снисхождением, государь! За долгие годы военной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь…
– Продолжай, храбрый Теренций.
– Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, – продолжал ободренный полководец, – то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно в достатке годы подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.
Император – гласит предание – не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на других. Просьба полководца заставила его задуматься.
– Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной? – спросил он.
– Миллион динариев, государь.
Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову.
Наконец император заговорил:
– Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.
Теренций поклонился и вышел.
2.
На следующий день в назначенный час полководец явился во дворец императора.
– Привет тебе, храбрый Теренций! – сказал император.
Теренций смиренно наклонил голову.
– Я пришел, государь, чтобы выслушать твое решение. Ты милостиво обещал вознаградить меня.
Император ответил:
– Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов[75]. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса, в четвертый – стоящую 8 брассов, в пятый – 16, и так далее, все удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе; ты должен пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету – остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.
Жадно впивал Теренций каждое слово, сказанное императором.
Ему чудилось огромное множество монет, одна больше другой, которые вынесет он из государственного казначейства.
– Я доволен твоею милостью, государь, – ответил он с радостной улыбкой. – Поистине щедра награда твоя!
3.
Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной залы императора, и первые переходы с монетами не стоили Теренцию никаких усилий.
В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом[76].
Легки были также второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса.
Седьмая монета весила в наших современных мерах 320 граммов и имела в поперечнике 81/2 см (точнее, 84 мм)[77].
На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствовавшую 128 единичным монетам. Она весила 640 г и была шириною около 101/2 см.
На девятый день Теренций принес в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 см в ширину и весила более 13/4 кг.
На двенадцатый день монета достигла почти 27 см в поперечнике и весила 101/4 кг.
Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монеток.
Тринадцатый день доставил храброму Теренцию монету, равную 4096 единичным монетам. Она имела около 34 см в ширину, а вес ее равнялся 201/2 кг.
На четырнадцатый день Теренций вынес из казначейства тяжелую монету в 41 кг весом и около 42 см шириною.
– Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? – спросил его император, сдерживая улыбку.
– Нет, государь мой, – хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.
Наступил пятнадцатый день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брел он к императору, неся огромную монету, составленную из 16 384 единичных монет. Она достигала 53 см в ширину и весила 80 кг – вес рослого воина.
На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32 768 единичным монетам и весившая 164 кг; поперечник ее достигал 67 см.
Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался…
Когда Теренций явился в приемную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Теренций не мог уже нести свою ношу в руках, а катил ее впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 см и весила 328 кг. Она соответствовала весу 65 536 единичных монет.
Восемнадцатый день был последним днем обогащения Теренция. В этот день закончились его посещения казначейства и странствования с ношей в приемную залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил ее в залу. С грохотом упала исполинская монета к ногам императора.
Теренций был совершенно измучен.
– Не могу больше… Довольно, – прошептал он.
Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приемную залу.
Казначей исполнил поручение и сказал:
– Государь, благодаря твоей щедрости победоносный воитель Теренций получил в награду 262 143 брасса.
Итак, скупой император дал полководцу около 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил Теренций.
Проверим расчет казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:
в 1-й день. . 1 брасс весом. . 5 г
на 2». . . 2 брасса». . . 10»
«3». . . 4»». . . 20»
«4». . . 8»». . . 40»
«5». . . 16»». . . 80»
«6». . . 32»». . . 160»
«7». . . 64»». . . 320»
«8». . 128»». . . 640»
«9». . 256»». . 1 кг 280»
«10». . 512»». . 2» 560»
«11». . 1024»». . 5» 120»
«12». . 2048»». 10» 240»
«13». . 4096»». 20» 480»
«14». . 8192»». 40» 960»
«15». . 16 384»». 81» 920»
«16». . 32 768»». 163» 840»
«17». . 65 536»». 327» 680»
«18». . 131 072»». 655» 360»
Мы уже знаем, как можно просто подсчитать сумму чисел таких рядов: для второго столбца она равна 262 143, согласно правилу рассмотренному ранее. Теренций просил у императора миллион динариев, т. е. 5 000 000 брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в 5 000 000: 262 143 = 19 раз.
Легенда о шахматной доске
Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).
1.
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.
Мудрец поклонился.
– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь. – Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
– Повелитель, – сказал Сета, – прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…
– Довольно, – с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
2.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
– Повелитель, – ответили ему, – математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
Царь приказал ввести его.
– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам, – я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, – ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…
– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…
– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам старца.
– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.
– Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона[78] семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
3.
Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, – но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.
Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски. Поступая, как было объяснено выше, мы без труда найдем всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек:
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х и т. д. (64 раза).
Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4 двоек – 16. Значит, искомый результат равен
1024 х 1024 х 1024 х 1024 х 1024 х 1024 х 16.
Перемножив 1024 х 1024, получим 1 048 576.
Теперь остается найти
1 048 576 х 1 048 576 х 1 048 576 х 16,
отнять от результата одну единицу – и нам станет известно искомое число зерен:
18 446 744 073 709 551 615.
Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 м, т. е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!..
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.
В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей[79]. Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.
Перекладывание монет
В детстве старший брат показал мне, помню, занимательную игру с монетами. Поставив рядом три блюдца, он положил в крайнее блюдце стопку из 5 монет: вниз рублевую, на нее – 50-копеечную монету, выше – 20-копеечную, далее – 15-копеечную, на самый верх – 10-копеечную[80].
– Нужно перенести эти монеты на третье блюдце, соблюдая следующие три правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе: никогда не класть большей монеты на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднюю тарелку, соблюдая оба правила, но к концу игры все монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке. Правила, как видишь, не сложные. А теперь приступай к делу.
Я принялся перекладывать. Положил 10-копеечную монету на третье блюдце, 15-копеечную на среднее и запнулся. Куда положить 20-копеечную? Ведь она крупнее и 10-копеечной, и 15-копеечной.
– Ну что же? – выручил меня брат. – Клади 10-копеечную на среднее блюдце, поверх 15-копеечной. Тогда для 20-копеечной освободится третье блюдце.
Я так и сделал. Но дальше – новое затруднение. Куда положить 50-копеечную монету? Впрочем, я скоро догадался: перенес сначала 10-копеечную на первое блюдце, 15-копеечную на третье и затем 10-копеечную тоже на третье. Теперь 50-копеечную монету можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.
– Сколько же ты проделал всех перекладываний? – спросил брат, одобрив мою работу.
– Не считал.
– Давай сосчитаем. Интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть цели. Если бы стопка состояла не из 5, а только из 2 монет —
15-копеечной и 10-копеечной, то сколько понадобилось бы ходов?
– Три: 10-копеечную на среднее блюдце, 15-копеечную – на третье и затем 10-копеечную на третье блюдце.
– Правильно. Прибавим теперь еще монету – 20-копеечную – и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести стопку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно переносим меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, 3 хода. Затем перекладываем 20-копеечную монету на свободное третье блюдце – 1 ход. А тогда переносим обе монеты со среднего блюдца тоже на третье – еще 3 хода. Итого всех ходов
3 + 1 + 3 = 7.
– Для четырех монет число ходов позволь мне сосчитать самому. Сначала переношу 3 меньшие монеты на среднее блюдце – 7 ходов; потом 50-копеечную на третье блюдце – 1 ход и затем снова три меньшие монеты на третье блюдце – еще 7 ходов. Итого
7 + 1 + 7= 15.
– Отлично. А для пяти монет?
– 15 + 1 + 15 = 31, – сразу сообразил я.
– Ну вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его еще упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7,15, 31 – все представляют собой двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри.
И брат написал табличку:
3 = 2 x 2–1
7=2 х 2 х 2–1
15 = 2 x 2 x 2 x 2–1
31 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2–1.
– Понимаю: сколько монет перекладывается, столько раз берется двойка множителем, а затем отнимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой стопки монет. Например, для 7 монет:
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2–1 = 128-1 = 127.
– Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в стопке число монет нечетное, то первую монету перекладывают на третье блюдце; если четное – то на среднее блюдце.
– Ты сказал: старинная игра. Разве не сам ты ее придумал?
– Нет, я только применил ее к монетам. Игра очень древнего происхождения и зародилась, говорят, в Индии. Существует интересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе будто бы имеется храм, в котором индусский бог Брама при сотворении мира установил три алмазные палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали, днем и ночью, перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей как вспомогательной и соблюдая правила нашей игры: переносить за один раз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.
– О, значит, мир давно уже должен был погибнуть, если верить этому преданию!
– Ты думаешь, кажется, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?
– Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.
– Ну и что же?
– А в сутки – около ста тысяч. В десять дней – миллион ходов. Миллионом же ходов можно, я уверен, перенести хоть тысячу кружков.
– Ошибаешься. Чтобы перенести всего 64 кружка, нужно уже круглым счетом 500 миллиардов лет!
– Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек без единицы, а это составляет… Погоди, я сейчас перемножу!
– Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам.
И брат ушел, оставив меня погруженным в выкладки. Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножал этот результат – 65 536 – сам на себя, а то, что получилось, – снова на себя. Потом не забыл отнять единицу.
У меня получилось такое число:
18 446 744 073 709 551 615.
Брат, значит, был прав…
Пари
В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал:
– Кидаю на стол монету, не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх?
– Объясните сначала, что значит «вероятность», – раздались голоса. – Не всем ясно.
– О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко: вот так – гербом вверх и вот так – гербом вниз.
Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение
Дробь
и выражает «вероятность» того, что монета упадет гербом вверх.
– С монетой-то просто, – вмешался кто-то. – А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью, например.
– Давайте рассмотрим, – согласился математик. – У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях. Какова вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем – вскроется шестеркой? Сколько здесь всех возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней; значит, возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один: когда вверху шестерка. Итак, вероятность получится отделения 1 на 6. Короче сказать, она выражается дробью
.
– Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях? – спросила одна из отдыхающих. – Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала?
– Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. Число мужчин на свете равно числу женщин.
– А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся оба мужчины? – спросил один из отдыхающих.
– Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих – женщины. Итак, число всех возможных случаев – 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай – первый. Получаем для вероятности дробь
. Вот ваша задача и решена.
– Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчины?
– Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для двоих прохожих число всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. С присоединением третьего прохожего число возможных случаев увеличивается вдвое, потому что к каждой из 4 перечисленных группировок двух прохожих может присоединиться либо мужчина, либо женщина. Итого, всех случаев возможно здесь 4 х 2 = 8. А искомая вероятность очевидно равна
, потому что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить правило подсчета: в случае двух прохожих мы имели вероятность
; в случае трех
; в случае четырех вероятность равна произведению четырех половинок и т. д. Вероятность все уменьшается, как видите.
– Чему же она равна, например, для десятка прохожих?
– То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все подряд окажутся мужчинами? Вычислим,
как велико произведение десяти половинок. Это
, менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь о заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет.
– Выгодное пари! – заявил чей-то голос. – Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.
– Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.
– Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.
– А вы представляете себе, как мала вероятность такого события? – спросил математик.
– Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?
– Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь… Дайте-ка, я прикину на бумажке. Биллионная… Триллионная… Квадрильонная… Ого! Единица с тридцатью нулями!
– Только всего?
– Вам мало 30 нулей? В океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек.
– Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моего рубля?
– Ха-ха!.. Все! Все, что у меня есть.
– Все – это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?
– Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.
– И я не рискую. Не велика сумма рубль. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.
– Да поймите же, что вы наверняка проиграете! Велосипед никогда вам не достанется, а рубль ваш можно сказать уже в моем кармане.
– Что вы делаете! – удерживал математика приятель. – Из-за рубля рискуете велосипедом. Безумие!
– Напротив, – ответил математик, – безумие ставить хотя бы один рубль при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уже лучше прямо выбросить рубль.
– Но один-то шанс все же имеется?
– Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два – четыре.
– Увлекаетесь, молодой человек, – раздался спокойный голос старика, все время молча слушавшего спор. – Увлекаетесь…
– Как? И вы, профессор, рассуждаете по-обывательски?
– Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере… Впрочем, – сказал старик, прислушиваясь, – сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли?
– Причем тут музыка?.. – начал было молодой математик и осекся. На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, бросился к окну и высунул голову.
– Так и есть! – донесся его унылый возглас. – Проиграно пари! Прощай мой велосипед…
Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон солдат.
Высота башни
В вашем городе есть достопримечательность – высокая башня, высоты которой вы, однако не знаете. Имеется у вас и фотографический снимок башни на почтовой карточке. Как может этот снимок помочь вам узнать высоту башни?..
Чтобы по снимку определить высоту башни в натуре, нужно прежде всего измерить возможно точнее высоту башни и длину ее основания на фотографическом изображении. Предположим, высота на снимке 95 мм, а длина основания – 19 мм. Тогда вы измеряете длину основания башни в натуре; допустим, она оказалась равной 14 м.
Сделав это, вы рассуждаете так.
Фотография башни и ее подлинные очертания геометрически подобны друг другу. Следовательно, во сколько раз изображение высоты больше изображения основания, во столько же раз высота башни в натуре больше длины ее основания. Первое отношение равно 95: 19, т. е. 5; отсюда заключаете, что высота башни больше длины ее основания в 5 раз и равна в натуре 14 х 5 = 70 м.
Итак, высота городской башни 70 м.
Надо заметить, однако, что для фотографического определения высоты башни пригоден не всякий снимок, а только такой, в котором пропорции не искажены, как это бывает у неопытных фотографов…
Кирпичик
Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?..
Ответ, что игрушечный кирпичик весит 1 кг, т. е. всего вчетверо меньше, грубо ошибочен. Кирпичик ведь не только вчетверо короче настоящего, но и вчетверо уже да еще вчетверо ниже, поэтому объем и вес его меньше в 4 х 4 х 4 = 64 раза. Правильный ответ, следовательно, таков: игрушечный кирпичик весит 4000: 64 = 62,5 г…
Великан и карлик
Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м?..
Вы теперь уже подготовлены к правильному решению этой задачи. Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое большем росте человек имеет объем не вдвое, а в 8 раз больший. Значит наш великан весит больше карлика раз в 8.
Самый высокий великан, о котором сохранились сведения, был один житель Эльзаса ростом в 275 см – на целый метр выше человека среднего роста. Самый маленький карлик имел в высоту меньше 40 см, т. е. был ниже исполина-эльзасца круглым счетом в семь раз. Поэтому если бы на одну чашку весов поставить великана-эльзасца, то на другую надо бы для равновесия поместить 7 x 7 x 7 = 343 карлика – целую толпу…
Два арбуза
На колхозном рынке продаются два арбуза разных размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в 11/2 раза дороже. Какой из них выгоднее купить?..
Объем большого арбуза превышает объем меньшего в
почти вдвое. Выгоднее, значит, купить крупный арбуз: он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше раза в два.
Почему же, однако, продавцы просят за такие арбузы обычно не вдвое, а только в полтора раза больше? Объясняется это просто тем, что продавцы в большинстве случаев не сильны в геометрии. Впрочем, не сильны в ней и покупатели, зачастую отказывающиеся из-за этого от выгодных покупок. Можно смело утверждать, что крупные арбузы выгоднее покупать, чем мелкие, потому что они расцениваются всегда ниже их истинной стоимости; но большинство покупателей об этом не подозревают.
По той же причине всегда выгоднее покупать крупные яйца, нежели мелкие, – если только их не расценивают по весу…
Две кастрюли
Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй.
Во сколько раз она тяжелее?..
Обе кастрюли – тела, геометрически подобные. Если большая кастрюля в 8 раз вместительнее, то все ее линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое шире по обоим направлениям. Но раз она вдвое выше и шире, то поверхность ее больше в 2 х 2, т. е. в 4 раза, потому что поверхности подобных тел относятся, как квадраты линейных размеров. При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины ее поверхности. Отсюда имеем ответ на вопрос задачи: большая кастрюля вчетверо тяжелее меньшей…
На морозе
На морозе стоят взрослый человек и ребенок, оба одетые одинаково.
Кому из них холоднее?..
Эта задача, на первый взгляд вовсе не математическая, решается в сущности тем же геометрическим рассуждением, какое применено было в предыдущей задаче.
Прежде чем приступить к ее решению, рассмотрим сходную с ней, но несколько более простую задачу.
Два котла (или два самовара), большой и малый, одинакового материала и формы наполнены кипятком. Какой остынет скорее?
Вещи остывают главным образом с поверхности: следовательно, остынет скорее тот котел, в котором на каждую единицу объема приходится большая поверхность. Если один котел в п раз выше и шире другого, то поверхность его больше в п2 раз, а объем – в п3; на единицу поверхности в большом котле приходится в п раз больший объем. Следовательно, меньший котел должен остыть раньше.
По той же причине и ребенок, стоящий на морозе, должен зябнуть больше, чем одинаково одетый взрослый: количество тепла, возникающего в каждом куб. см тела, у обоих приблизительно одинаково, но остывающая поверхность тела, приходящаяся на каждый куб. см, у ребенка больше, чем у взрослого.
В этом нужно видеть также причину того, что пальцы рук или нос зябнут сильнее и отмораживаются чаще, чем другие части тела, поверхность которых не столь велика по сравнению с их объемом.
Сюда же, наконец, относится и следующая задача:
Почему лучина загорается скорее, чем толстое полено, от которого она отколота?
Так как нагревание происходит с поверхности и распространяется на весь объем тела, то следует сравнить поверхность и объем лучины (например, квадратного сечения) с поверхностью и объемом полена той же длины (и тоже квадратного сечения), чтобы определить, какой величины поверхность приходится на каждый куб. см древесины в обоих случаях. Если толщина полена в 10 раз больше толщины лучины, то боковая поверхность полена больше поверхности лучины тоже в 10 раз, объем же его больше объема лучины в 100 раз. Следовательно, на каждую единицу поверхности в лучине приходится вдесятеро меньший объем, чем в полене: одинаковое количество тепла нагревает в лучине вдесятеро меньше вещества, – отсюда и более раннее воспламенение лучины, чем полена, от одного и того же источника тепла. (Ввиду дурной теплопроводности дерева указанные соотношения следует рассматривать лишь как грубо приблизительные; они характеризуют лишь общий ход процесса, а не количественную сторону…)