T4.
Давайте определимся еще с некоторыми терминами. Светимость – это общая энергия, излучаемая звездой в единицу времени. Светимость измеряется в ваттах, точно как у лампочки накаливания. Светимость 100-ваттной лампочки равна 100 ватт. Светимость Солнца равна 3,8 × 1026 ватт. Мощная такая лампочка.
Теперь предложу задачку. Допустим, Солнце обладает такой же светимостью, что и другая звезда, чья поверхностная температура – 2000 К. Какова температура Солнца? В данном примере давайте округлим ее до 6000 К. Температура другой звезды всего 2000 К, то есть она гораздо прохладнее и не может излучать столько же энергии на единицу площади в единицу времени, сколько Солнце, но я заявляю, что светимость у этой звезды точно как у Солнца. Как такое может быть? Беру вторую звезду, вырезаю с нее лоскут площадью 1 см2, с температурой 2000 К, затем вырезаю с Солнца такой же лоскут площадью 1 см2, с температурой 6000 К – втрое жарче. Сколько энергии в единицу времени будет излучать такой лоскут на Солнце по сравнению с лоскутом такой же площади на звезде с температурой 2000 К? В 81 раз больше энергии. Каким же образом вторая звезда может излучать в секунду такую же суммарную энергию, как и Солнце? Если у этих звезд одинаковая светимость, то они должны отличаться чем-то еще, кроме температуры. Дело в том, что вторая звезда, сравнительно холодная, должна иметь гораздо более обширную поверхностную площадь, с которой льется излучение. Фактически ее поверхностная площадь должна быть в 81 раз больше, чем у Солнца. Это должен быть красный гигант, который за счет огромной поверхностной площади восполняет дефицит температуры. Теперь вернемся к нашим уравнениям. Чему равна площадь поверхности сферы? Она равна 4πr2, где r – радиус сферы. Возможно, вы изучали это уравнение в средней школе. Дальше начинается самое интересное. Если светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени, а энергия, излучаемая в единицу времени на единицу площади, равна σT4, то мы получили уравнение, позволяющее вычислить светимость Солнца:
LСолн = σTСолн4 × (4πrСолн2).
Можно составить схожее уравнение и для другой звезды. Обозначим ее светимость звездочкой, L*. В таком случае уравнение для вычисления светимости этой звезды – L* = σT*4 × (4πr*2). Теперь у меня есть уравнения для обеих. Более того, я постулировал, что LСолн равна L*. Я привел именно такой пример, чтобы подчеркнуть, что мне даже не требуется знать поверхностную площадь Солнца – в данной задаче речь идет лишь о соотношениях величин. Можно удивительно много узнать о Вселенной, просто присмотревшись к соотношениям.
Давайте разделим два уравнения: LСолн/L* = σTСолн4 × (4πrСолн2)/ σT*4 × (4πr*2). Что дальше? Я сокращу равные множители в числителе и знаменателе дроби в правой части уравнения. Первым делом сокращу постоянную. Меня не интересует ее конкретное значение, поскольку мы сравниваем два объекта и эта константа присутствует в характеристиках обеих звезд. Поэтому ее можно сократить. Кроме того, сокращается число 4 и число π. Переходим в левую часть уравнения: что такое LСолн/L*? Это выражение равно 1, поскольку, как было заявлено, две звезды обладают одинаковой светимостью и их соотношение равно 1. Итак, остается значительно более простое уравнение: 1 = TСолн4 × rСолн2/T*4 × r*2. Температура Солнца равна 6000 К, а температура другой звезды – 2000 К. Естественно, 60004, деленное на 20004, равно 34, то есть 81. Получается, 1 = 81rСолн2/r*2. Умножим обе части уравнения на r*2. Имеем r*2 = 81rСолн2. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получится r* = 9rСолн. Радиус более холодной звезды в 9 раз больше, чем у Солнца! Это ответ. Если переосмыслить его в терминах площади, то поверхностная площадь у этой звезды должна быть в 81 раз больше солнечной, а радиус – в 9 раз больше солнечного. Члены в уравнении остаются прежними, но мы подставляем разные переменные в разные части уравнения. Вот и все, чем мы здесь занимались.
Как вы помните (из главы 2), самое жаркое время суток наступает не в полдень, а несколько позже, так как земля поглощает видимый свет. Видимый свет постепенно разогревает грунт, после чего грунт начинает испускать инфракрасное излучение. Грунт ведет себя как черное тело – впитывает солнечную энергию, а затем переизлучает ее согласно функции Планка. Температура грунта – примерно 300 К (то есть 273 К + температура грунта по Цельсию, примерно 27 °C, получается ровное значение 300 К).
Возможен вопрос: а какова светимость нашего тела? Подставим в выражение температуру тела в кельвинах, 310 К, возведем ее в четвертую степень, умножим на постоянную сигма – и узнаем, сколько энергии мы излучаем в единицу времени на единицу площади. Если подставить в формулу общую площадь вашей кожи (у взрослого человека – в среднем 1,75 м2), то получится ваша светимость, ваша мощность в ваттах. Эта энергия излучается не в видимом диапазоне, а преимущественно в инфракрасном, но мощность в ваттах у вас определенно есть. Посчитаем. Постоянная Больцмана σ = 5,67 × 10–8 ватт на квадратный метр, если измерять температуру в кельвинах. Умножим на (310)4. 3104 равно 9,24 × 109. Умножим это значение на 5,67 × 10–8 и получим 523 ватта на квадратный метр. Умножим это значение на 1,75 м2 и получим 916 ватт. Это много. Однако учтите, что если вы сидите в комнате при температуре 300 К (27 °C), то по той же формуле ваша кожа поглощает 803 ватта энергии. На поддержание температуры тела уходит около 100 ватт. Эту энергию мы получаем при приеме и переваривании пищи. Теплокровные животные, чья температура тела выше температуры окружающей среды, должны есть больше, чем холоднокровные. Включая в комнате кондиционер, нужно задать два основных вопроса: 1) насколько велика комната и 2) какие еще источники энергии есть в комнате? В частности, нас интересует, сколько в комнате горит лампочек и сколько в ней находится человек, так как человека можно сравнить с лампочкой – он тоже имеет мощность в ваттах, выделяет тепло, и это также нужно учитывать при охлаждении. Чтобы определить настройки кондиционера для поддержания нужной температуры в комнате, нужно учесть, сколько человек (в ваттах) в ней соберется.
Перейду к следующему феномену под названием яркостью[5]. Наблюдаемая яркость звезды – это ее энергия на единицу площади в единицу времени, фиксируемая вашим телескопом. Яркость говорит о том, насколько яркой звезда вам кажется. Это зависит от светимости звезды, а также от того, на каком расстоянии от вас она находится. Давайте попытаемся интуитивно осмыслить яркость. Насколько ярким должен вам показаться объект? Логично, что если вы наблюдаете объект с постоянной яркостью, а потом я отодвину этот объект подальше, его яркость снизится. В свою очередь, светимость – это энергия, излучаемая объектом в единицу времени. Она никак не зависит от расстояния до вас, это просто излучаемая энергия. Она никак не зависит от измерений. Светимость 100-ваттной лампочки равна 100 ватт независимо от того, в какой точке Вселенной ее подвесить. Однако яркость зависит от расстояния между объектом и наблюдателем.
Яркость – простая штука, мне она нравится. Хотите расскажу? Опишу устройство, которое сам я не собирал, но вы можете запатентовать, если желаете. Это устройство называется масломет: заряжается куском масла. Спереди у него такой носик, откуда разбрызгивается масло (см. рис. 5.2).
Расположим ломтик хлеба в 30 см от масломета. Я откалибровал орудие так, чтобы порция масла полностью, до краешков, покрывала ломтик, расположенный на расстоянии 30 см. Если вам нравится намазывать масло на хлеб до самого края, то вы оцените такое изобретение. Теперь допустим, что я хочу сэкономить деньги, как любой хороший бизнесмен: хочу замазать тем же количеством масла несколько ломтиков хлеба. Но масло все равно должно распределяться по ломтику равномерно. Первый ломтик мы отставляли на 30 см, а эти отставим на 60 см. Масляный аэрозоль разлетится на большую площадь. На двойном расстоянии один залп поможет замаслить площадь в 2 ломтика шириной и 2 ломтика высотой. То есть масляный аэрозоль накроет решетку размером 2 × 2 хлебных ломтика, всего намажет 4 ломтика. Всего лишь удвоили расстояние – и уже смогли намазать маслом 4 ломтика. Если утроить расстояние, то можно побиться о заклад, что аэрозоля хватит, чтобы намазать 3 × 3 = 9 ломтиков хлеба. Один ломтик, четыре ломтика, девять ломтиков. Сколько масла попадает на один ломтик хлеба, расположенный на расстоянии 90 см, по сравнению с ломтиком, который был удален всего на 30 см? Одна девятая. Хлеб все равно орошается маслом, но вдевятеро слабее. Клиент будет недоволен, зато понятно, к чему я клоню.
Рис. 5.2. Масломет. Он может размазать порцию масла по одному ломтику хлеба, удаленному на расстояние 30 см, по четырем ломтикам хлеба, удаленным на 60 см, или по девяти ломтикам, удаленным на 90 см. Предоставлено Дж. Ричардом Готтом
Я хочу показать, что в работе такого масломета заложен важный закон природы. Если бы вместо масла у нас был свет, то его интенсивность уменьшалась бы ровно такими же темпами, что и количество масла на один ломтик. В конце концов, свет летит по прямой линии, как и капельки масляного аэрозоля, и распределяется по тому же принципу. На расстоянии 60 см интенсивность света 100-ваттной лампочки будет составлять всего 1/4 от ее же интенсивности на расстоянии 30 см. На расстоянии 90 см останется всего 1/9 интенсивности, на расстоянии 120 см – 1/16 интенсивности, на расстоянии 150 см – 1/25 интенсивности и так далее. Интенсивность падает