Но пусть это будет уроком! Не стоит безрассудно брать за основу кажущееся очевидным. Сохраним же интерес к тайнам математического мира, который греческие ученые когда-то открыли для нас.
6Число π
14 марта 2015 г., я иду во Дворец открытий. Сегодня день торжества! В начале 1930-х годов французский физик, лауреат Нобелевской премии Жан-Батист Перрен замыслил проект создания научного центра, деятельность которого была бы направлена на привлечение общественного интереса к последним исследованиям во всех областях науки. Дворец открыт в 1937 г. в двух шагах от Елисейских полей и занял все западное крыло Большого дворца площадью в 25 000 кв. м. Выставки длились не более полугода и имели большой успех. Двадцать пять лет спустя выставки во Дворце открытий до сих пор привлекают сотни тысяч посетителей ежегодно.
Выйдя из метро, я иду по авеню Франклина-Рузвельта ко входу во Дворец. Подходя к зданию, замечаю цифры: 4, 2, 0, 1, 9, 8, 9. Странная последовательность цифр, написанных на земле, переходит на ступени лестницы, а затем внутрь здания. Необычное решение! В предыдущий раз, когда я был здесь, цифр еще не было. Они продолжаются: 1, 3, 0, 0, 1, 9. Я захожу в здание дворца. Они повсюду: 1, 7, 1, 2, 2, 6. Они пересекают центральную ротонду, продолжаются вверх по лестнице, 7, 6, 6, 9, 1, 4. Я поднимаюсь по ступеням четыре на четыре, прохожу ко входу в планетарий и поворачиваю налево, 5, 0, 2, 4, 4, 5. Цифры ведут меня прямо к отделу математики. Я вижу, как они поднимаются по стене: 5, 1, 8, 7, 0, 7. И вот их источник. Я стою в центре огромной круглой комнаты, красные и черные цифры становятся все больше, они кружатся, поднимаясь все выше. Наконец я нахожу начало серии: 3, 1, 4, 1, 5… Я в сердце одного из самых символичных мест Дворца открытий: в зале π.
Число π, без сомнения, является самой известной и волнующей константой в математике. Круглая форма зала напоминает о том, что значение числа π неразрывно связано с геометрической формой окружности: умножив диаметр окружности на число π, можно узнать ее периметр. Буква π (читается как «пи») – шестнадцатая буква греческого алфавита, соответствует букве «П» и стоит первой в слове «периметр». Число π не такое большое – немного более 3, но его точное значение бесконечно: 3,14159265358979…
В самом зале π, на его округлых стенах написаны первые 704 цифры после запятой. Но сегодня этот ряд продолжен до 1000 значений. Стоит отметить, что сегодня особенный день. 14 марта 2015 г. – день числа π!
Впервые День π стали отмечать 14 марта 1988 г. в Эксплораториуме – американском аналоге Дворца открытий, расположенном в самом центре Сан-Франциско. Четырнадцатый день третьего месяца (что в американском написании обозначается как 3/14) – эта дата идеально подходила для того, чтобы отмечать День π, ведь обычно это число сокращают до 3,14. С тех пор эта инициатива была воспринята, и многие энтузиасты по всему миру собираются каждый год, чтобы отметить день постоянной и воздать почести самой математике. Празднование этого события набрало такой оборот, что в 2009 г. День π был признан официальным праздником Палатой представителей США.
В нынешнем, 2015 г. поклонники отмечают этот праздник особенно восторженно. Сегодняшняя дата 3/14/15 по совпадению соответствует более точному написанию числа π. Этот день должен особенно запомниться. По случаю празднования весь математический корпус Дворца открытий находится в центре событий. Я здесь по этой же причине. Как и другие математики, предвкушаю богатый на открытия день.
Число π появилось благодаря геометрии, а затем распространилось и на другие направления математики. Это многоликое число. В арифметике, алгебре, математическом анализе, теории вероятности встречаемое повсеместно число π вряд ли обойдет стороной кого-то из математиков. В самом центре Дворца открытий, на ротонде, изображено множество ипостасей константы. Посетители могут попытаться сосчитать точки, размеченные на полу, пропорции чисел в таблице умножения. На земле дети надевают на диск деревянные дощечки. Другая группа занята изучением траектории преломления точки на план. И каждый раз получается одинаковый результат: 3,1415…
Чуть далее посетителям предлагается найти дату их рождения в десятичной части числа π. Молодой человек, родившийся 25 сентября 1994 г. делает попытку отыскать эту дату. Сочетание 22091994 находится на 12 785 022-м разряде после запятой. Математики полагают, что любые комбинации цифр рано или поздно встречаются в десятичной части числа π. Компьютерное моделирование в какой-то мере подтверждает это: до сих пор все искомые последовательности в итоге были найдены. Тем не менее неопровержимые доказательства того, что таких комбинаций нет, отсутствуют.
Ко мне подошла девочка лет двенадцати. Она взволнована необычными инструментами, которые нас окружают, и бросает на меня взгляд.
– Ты знаешь, что такое число π? Ты уже слышала о нем?
– О да! – восклицает она. Это – 3,14. Ну не совсем… Примерно 3,14… Я видела его в школе. Это для того, чтобы определять длину окружности. Мы еще учили стишок.
– Стишок?
И она прочитала мне стихотворение для запоминания:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим, —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.
Я невольно улыбнулся и вспомнил, как мы в школе тоже запоминали знаки после запятой в числе π таким вот оригинальным способом. В разных языках есть свои аналоги такого стихотворения. Например, во французском языке есть стихотворения, количество букв в каждом из слов которого соответствует цифре в числе π. Есть даже одна из версий перевода стихотворения Эдгара По «Ворон», в котором, таким образом, зашифрованы 740 знаков после запятой![8]
– Браво! – восклицаю я. Мне кажется, что я не смог бы запомнить эту считалочку. А скажи-ка, девочка, тебе известно, кто такой Архимед?
Я вижу, что поставил ее в тупик своим вопросом. Девочка пожала плечами. Начнем путешествие в прошлое. Перенесемся на Сицилию на 2300 лет назад, в античный город Сиракузы. Именно здесь жил Архимед.
Цикады поют под палящим солнцем. Улицы наполнены ароматами со всего Средиземноморья. На рынке торгуют оливками, виноградом и рыбой. К северу от города на горизонте возвышается силуэт горы Этны. На западе плодородные равнины обеспечивают процветание колонии, в то время как на востоке порт открывает выход к морю. Сиракузы приобрели известность и влияние благодаря своему центральному положению на перекрестке морских путей. Основанные за пять веков до этого греческими завоевателями из Коринфа, Сиракузы являются одним из самых процветающих городов во всем Средиземноморье.
Именно здесь в 287 г. до н. э. родился поистине гениальный человек, считающийся основоположником нового направления в математике. Архимед известен как великий изобретатель, находивший новые и революционные решения математических задач. Современники обязаны ему открытием принципа рычага и винта. Именно он, по легенде, выкрикнул: «Эврика!» – когда принимал ванну и открыл новый физический принцип, который теперь носит его имя: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме тела. Таким образом, предметы, масса которых меньше воды, всплывают, в то время как более тяжелые тонут. Также Архимед прославился тем, что, когда Сиракузы были осаждены римским флотом, применил систему зеркал, чтобы сконцентрировать солнечные лучи и сжечь приближающиеся вражеские корабли.
Архимед был первым из математиков, кто начал использовать в своих рассуждениях число π. Окружности изучались и до него, но без такой систематичности. Вспомните «Математику в девяти книгах» – в этой работе рассматривались поля, диаметр которых равнялся 10 бю, а длина окружности определялась как 30 бю. Исходя из этого, величина π равна примерно 3. В папирусе Ахмеса квадратура круга была определена в размере 3,16, что также приблизительно равняется величине π.
Архимед понимал, что это крайне сложно, а может, и невозможно – рассчитать точную величину π. Значит, он также будет довольствоваться приближенным значением этой константы, но его подход будет отличаться в двух моментах. Во-первых, в то время как его предшественники пытались найти точное значение, сицилийский ученый прекрасно понимал, что π имеет только приблизительное. И, во-вторых, он будет разрабатывать метод, позволяющий находить все более и более точное значение π.
Путем вычислений Архимед рассчитал, что приблизительное значение π находится между 3,1408 и 3,1428. Таким образом, Архимед определил значение числа π с точностью до 0,03 %.
Чтобы рассчитать размер π, Архимед использовал наиболее приближенные по форме правильные многоугольники. Возьмем, например, окружность диаметром в 1 единицу, периметр которой равен π единиц, а затем впишем ее в квадрат.
Сторона такого квадрата равна 1 (как и диаметр круга), таким образом, его периметр равен 4. Так как периметр окружности очевидно меньше периметра квадрата, можно наверняка утверждать, что π меньше 4.
Впишем в окружность правильный шестиугольник так, как это показано ниже.
Правильный шестиугольник состоит из шести равных правильных треугольников со стороной 0,5 единицы (половина диаметра окружности). Периметр шестиугольника будет равен 6 × 0,5 = 3. Таким образом, делаем вывод, что π больше 3!
Теперь, зная, что 3 < π < 4, остается только увеличивать количество сторон. Если увеличить количество сторон шестиугольника в два раза, получится фигура с 12 сторонами, периметр которой будет ближе к периметру окружности. Следуя нескольким несложным логическим рассуждениям (основанным на теореме Пифагора), мы приходим к выводу, что периметр двенадцатиугольника равен приблизительно 3,11.