Помимо стратегии игры компьютеры, оснащенные в той или иной степени сложными и производительными алгоритмами, сегодня, кажется, способны превзойти людей в большинстве их навыков. Они водят машины, участвуют в хирургических операциях, могут создавать музыку или рисовать неповторимые картины. Трудно представить себе вид человеческой деятельности, который не может быть реализован с технической точки зрения машиной, управляемой подходящим алгоритмом.
На фоне такого стремительного развития в последние несколько десятилетий кто знает, на что будут способны компьютеры будущего? И кто знает, возможно, когда-нибудь они сами сумеют изобрести новый вид математики? В настоящее время математика в целом является слишком сложным предметом для раскрытия компьютерами своего творческого потенциала. Их использование носит главным образом технический и вычислительный характер. Но возможно, однажды потомок AlphaGo откроет новую теорему, подобно 37-му ходу своего предшественника, и оставит в изумлении всех величайших ученых планеты. Трудно предсказать, на что окажутся способны машины завтрашнего дня, но будет странно, если они не преподнесут нам ничего нового.
17Математика будущего
Небо над Цюрихом затянуто тучами, и дождь шумит по крышам. Какая ужасная погода в середине лета! Поезд не должен сильно задерживаться.
Воскресенье, 8 августа 1897 г. На платформе железнодорожной станции стоит задумчивый человек в ожидании своих гостей. Это математик Адольф Гурвиц. Немец по происхождению, он уже пять лет живет в Цюрихе, где работает на кафедре математики в Швейцарской высшей технической школе. Он сыграет важную роль в организации профессионального мероприятия, которое будет происходить в следующие три дня. На прибывающем поезде едут величайшие ученые из шестнадцати различных стран мира. Уже завтра откроется первый Международный конгресс математиков.
Двое организаторов этой конференции – немцы Георг Кантор и Феликс Клейн. Первый из них получил известность, обнаружив, что существуют бесконечности, большие, чем другие, и разработав теорию множеств, избежав при этом парадоксов. Второй математик был специалистом в области алгебраических структур. Хотя по дипломатическим соображениям Швейцария была выбрана в качестве принимающей страны первого съезда, можно догадаться, что инициатива исходила из Германии. В XIX в. этой стране удалось стать новым Эльдорадо математики, а Гёттингену и его престижному университету – нервным центром сосредоточения самых ярких математических умов.
Среди двухсот участников конференции было много представителей из разных стран: Италии, например Джузеппе Пеано, автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики; России, например Андрей Марков, чьи работы произвели революцию в исследовании теории вероятностей; Франции, например Анри Пуанкаре,[22] в частности открывший теорию хаоса, то, что мы впоследствии назовем эффектом бабочки. В течение трех дней съезда все эти люди имели возможность дискутировать, делиться мнениями, налаживать связи между собой и изучаемыми научно-исследовательскими областями.
В конце XIX в. математический мир претерпел изменения. Расширение, не только географическое, но и интеллектуальное, связывало ученых, находящихся в различных уголках планеты. Математика стала слишком широкой дисциплиной для того, чтобы один человек мог охватить ее в полной мере. Анри Пуанкаре, выступавшего со вступительным словом на конференции, иногда называют последним великим универсальным ученым, освоившим все направления математики своего времени и достигшим значительных успехов в каждом из них. С его уходом завершилась эпоха математиков-универсалов и началось время узкопрофильных специалистов.
Тем не менее в ответ на неизбежный дрейф математических материков ученые стали сотрудничать больше, чем когда-либо, и получили больше возможностей для совместной работы, которая станет единой и неделимой. Так, в XX в. математика находится под влиянием двух противоположных процессов.
Второй Международный конгресс математиков проводился в Париже в августе 1900 г. Впоследствии данное мероприятие стали проводить каждые четыре года, за исключением нескольких лет, когда конгресс не созывали из-за мировых войн. Последний из них состоялся в Сеуле с 13 по 21 августа 2014 г. На нем присутствовало более 5000 участников из 120 стран мира – исторический максимум за все время проведения этих конференций. Следующий конгресс состоится в Рио-де-Жанейро в августе 2018 г.
За долгие годы проведения таких встреч сформировались некоторые традиции конгресса. Так, с 1936 г. на конгрессе вручается престижная Филдсовская медаль. Эта награда, которую часто называют Нобелевской премией по математике, является высшим достижением в данной дисциплине. На лицевой стороне медали изображен портрет Архимеда, обрамленный цитатой древнегреческого математика Transire suum pectus mundoque potiri (с лат. «превзойти свою человеческую ограниченность и покорить Вселенную»).
Профиль Архимеда на Филдсовской медали
Одним из результатов глобализации математики стало также использование английского как международного языка дисциплины. Следует отметить, что со времен Парижского конгресса многие участники жаловались на то, что лекции и доклады, представленные только во французском языке, сложно понять иностранным делегатам. Вторая мировая война и эмиграция значительной части интеллектуальной элиты Европы в США, где ученые продолжили работать в крупных университетах, во многом способствовали этому процессу. Сегодня подавляющее большинство математических научных статей написано и опубликовано на английском языке.[23]
За последние сто лет количество математиков также значительно увеличилось. В 1900 г. их было всего несколько сотен и работали они главным образом в Европе. Сегодня по всей планете рассеяны десятки тысяч математиков. Каждый день публикуются десятки новых статей. По некоторым оценкам, в настоящее время мировое математическое сообщество производит около миллиона новых теорем каждые четыре года!
Унификация математики также привела к значительной реорганизации самой дисциплины. Одним из самых активных участников этого движения стал немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт; как и Пуанкаре, он известен как один из самых ярких и влиятельных математиков начала XX в.
В 1900 г. Гильберт участвовал в Парижском конгрессе и в среду 8 августа выступил в Сорбонне с речью, которая осталась в истории. Немецкий математик представил список основных нерешенных вопросов, которые, по его мнению, должны были стать вектором развития математики будущего столетия. Математики любят вызовы, и здесь он попал в цель. Двадцать три проблемы Гильберта вдохновили ученых на исследования, и уже совсем скоро на них начали давать ответы, в том числе ряд математиков, присутствовавших в тот день в зале на конгрессе.
К 2016 г. четыре из этих проблем все еще остаются без ответа. Среди них восьмая из списка Гильберта проблема, так называемая гипотеза Римана, которая считается величайшей математической гипотезой нашего времени. Смысл этой проблемы заключается в поиске мнимых решений уравнения, сформулированного в середине XIX в. немецким ученым Бернхардом Риманом. Это уравнение особенно интересно еще и потому, что содержит в себе ключ к гораздо более древней тайне: последовательности простых чисел, изучаемых со времен эпохи Античности.[24] Эратосфен был одним из первых, кто изучил эту последовательность чисел в III в. до н. э. Найдя решения уравнения Римана, вы, таким образом, получите массу информации о числах, которые занимают центральное место в арифметике.
Обозначив двадцать три проблемы математики, Гильберт не остановился на достигнутом. В последующие годы немецкий математик стремился создать для математики прочный, устойчивый и надежный фундамент, на котором могли бы базироваться все ее направления. Его целью была разработка уникальной теории, охватывающей все отрасли математики. Как вы помните, начиная с Декарта и описанной им системы координат геометрические задачи могут быть выражены на языке алгебры. Геометрия в какой-то степени становится подразделом алгебры. Но можно ли объединить две дисциплины в масштабах всей науки? Другими словами, можно ли создать такую супертеорию, которая объединила бы все ветви математики, для которой геометрия, теория вероятностей, алгебра или исчисление бесконечно малых величин будут всего лишь частными случаями?
Эта супертеория создана на основе теории множеств, сформулированной в конце XIX в. Георгом Кантором. Несколько предложений аксиоматизации этой теории были выдвинуты в начале XX в. В период с 1910 по 1913 г. британские математики Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел опубликовали трехтомный труд под названием Principia Mathematica (с лат. – «Принципы математики»). В этой работе содержались аксиомы и логические правила, исходя из которых математика была воссоздана с нуля. Один из самых известных отрывков этой работы находится на триста шестьдесят второй странице первого тома, где Уайтхед и Рассел, воссоздавая арифметику, наконец дошли до доказательства теоремы 1 + 1 = 2! Это очень забавляло авторов, так как требовалось исписать так много страниц с использованием рассуждений, которые могут поставить в тупик неискушенных математиков, чтобы доказать простейшее равенство. Ради вашего интереса ниже приводится доказательство 1 + 1 = 2 на языке символов Уайтхеда и Рассела:
Не пытайтесь разобраться в этой последовательности символов, так как это абсолютно невозможно, не прочитав предыдущие 361 страницу![25]
После Уайтхеда и Рассела были сделаны и другие предложения по совершенствованию аксиом, и современная математика в значительной степени основывается на нескольких базовых аксиомах из теории множеств.