Множество Мандельброта завораживает! Его контур представляет собой невероятное геометрическое кружево гармонии и точности. Если приблизить его границу, то можно разглядеть все больше и больше бесконечно малых и невероятно точных деталей. В самом деле, практически невозможно охватить на одной картинке все разнообразие элементов множества Мандельброта в деталях. Увеличенные участки отдельных элементов этой фигуры изображены на рисунке ниже.
Но еще более любопытной эту фигуру делает то, что она удивительно проста в определении. Если бы для описания ее построения требовалось составить многочисленные сложные уравнения, в которых присутствовали бы запутанные расчеты или необычные конструкции, то можно было бы сказать: «Конечно, эта фигура красивая, но она построена совершенно искусственным образом и потому малоинтересна». Но нет, данная фигура есть не что иное, как геометрическое представление элементарных свойств числовых последовательностей, которые определены несколькими словами. Из одного простого правила рождается такое геометрическое чудо.
Открытие такого рода неизбежно порождает дебаты о природе математики: является ли она человеческим изобретением или существует сама по себе? Математики открывают или создают? На первый взгляд, кажется, что множество Мандельброта можно назвать открытием. Эта фигура принимает такую необыкновенную форму не потому, что Мандельброт решил построить ее таким образом. Французский математик не стремился изобрести такую фигуру. Она появилась не по его воле. Графическое выражение исходной формулы не могло выглядеть иначе.
Тем не менее кажется весьма странным рассматривать возможность существования объекта, который не только является чисто абстрактным, но даже интерес к которому не относится к предмету теории математики. Абстрактные числа, треугольники и уравнения могут иметь прикладное значение для познания реального мира. Абстракция вплоть до этого момента всегда имела хотя бы отдаленное отражение в материальной Вселенной. Множество Мандельброта, кажется, не имеет ничего общего с реальным миром. Никакие физические явления, как известно, не принимают форму, каким-либо образом напоминающую его. Так в чем же смысл его изучения? Можно ли поставить его открытие в один ряд с открытием новой планеты в астрономии или новых видов животных в биологии? Или же это объект, который может изучаться только сам по себе? Другими словами, равна ли математика по своей значимости другим наукам?
Многие математики, без сомнения, ответят на этот вопрос «да». Тем не менее эта дисциплина занимает обособленное место в системе человеческого познания.
Одна из причин ее уникальности заключается в неоднозначной связи между математикой и красотой ее объектов.
Это правда, что практически во всех науках можно обнаружить нечто очень красивое. Например, в астрономии это небесные тела. Мы восхищаемся формой галактик, сверкающими хвостами комет или переливающимся светом туманностей. Вселенная в самом деле прекрасна. Это так. Но надо заметить, что, если бы она не была таковой, это не много бы поменяло. У астрономов нет выбора. Звезды – такие, какие они есть, и их необходимо было бы изучать, даже если бы они были совершенно непривлекательны. Кроме того, определения красоты и ее противоположности очень субъективны, но речь сейчас не об этом.
Математики, наоборот, в этом плане более свободны. Как мы уже видели, существует бесконечное количество способов определения алгебраических структур, и в каждом из них – бесконечное количество способов определения последовательностей, свойства которых могут быть изучены. Большинство из этих рядов чисел не будут выглядеть так же красиво, как выбранный Мандельбротом. В математике гораздо больше свободы выбора предмета исследования. Среди бесконечного количества теорий, которые могут быть изучены, часто для анализа выбирают только наиболее привлекательные.
Такой подход больше применим к творчеству. Симфонии Моцарта настолько красивы не случайно, а потому, что австрийский композитор сделал их такими. Из бесконечности музыкальных элементов можно с большей вероятностью получить ужасно некрасивое звучание. Нажмите случайным образом на клавиши фортепиано, и вы сами сможете в этом убедиться. Талант творческого человека в том, чтобы найти в этой бесконечности то немногое, что будет нас восхищать.
Точно так же талант математика отчасти в том, чтобы найти в бесконечном мире математики предметы исследования, заслуживающие наибольшего внимания. Если бы фигура Мандельброта не была такой красивой, то очевидно, что математики проявляли бы гораздо меньше интереса к ней. Она осталась бы неизвестной, подобно всем тем ужасным симфониям, которые никогда не будут играть.
Так кто же тогда математики в большей степени: ученые или творцы? Нельзя прямо ответить на этот вопрос. Можно ли быть только кем-то одним? Наука занимается поиском истины, и иногда истина бывает красива. Художник стремится к прекрасному, и иногда это совпадает с истиной. Для математика кажется немыслимым разделять эти понятия. Он одновременно ищет обе составляющие, не отделяет одно от другого. Он объединяет истинное и прекрасное, применимое и избыточное, стандартное и исключительное, будто используя сочетания цветов на своем бесконечном полотне.
Сам он при этом не всегда в полной мере отдает отчет, что делает. Математика, зачастую раскрывает свои секреты и истинную природу уже после смерти создателей. Пифагор, Брахмагупта, аль-Хорезми, Тарталья, Виет и другие создавали математику, не задумываясь о том, чем она станет сегодня. И, возможно, мы даже не осознаем всего того, к чему приведет развитие математики в грядущих столетиях. Только время может дать подлинную оценку математическому открытию.
Эпилог
Вот наш рассказ и подошел к концу.
По крайней мере к концу той части, которая может быть описана в книге в начале XXI в. А что будет потом? Очевидно, что история не закончена.
Занимаясь любой наукой, приходится признать, что чем больше вы знаете о предмете, тем больше понимаете, что ничего не знаете о нем. Каждый найденный ответ приводит к появлению десятка новых вопросов. Эта бесконечная игра одновременно и огорчает, и вдохновляет. Надо сказать, что, существуй возможность узнать все секреты, сначала вы обрадовались бы, но затем испытали бы отчаяние, осознав, что больше нечего открывать. Но отсутствие предмета исследования нас в самом деле пугает. К счастью, области исследования математики, которые еще не изучены, несомненно, гораздо шире, чем то, что нам уже известно.
На что будет похожа математика будущего? От этого вопроса начинается кружиться голова. Мысль о том, что выходит за границы наших познаний и что еще предстоит открыть, сводит с ума! Кто однажды почувствовал пьянящий аромат открытий, узнав нечто доселе неизведанное, вероятно, испытал более сильные чувства, чем завоеватели новых территорий. Математика невероятно захватывает, когда ее еще не приручили! И какой же это восторг – наблюдать, как на горизонте дикие идеи прыгают по бесконечной саванне нашего невежества. Кажущиеся такими недостижимыми тайны поражают наше воображение. Некоторые представляются близкими. Можно было бы подумать, что достаточно протянуть руку, и прикоснешься к ним. Другие, наоборот, настолько далеки, что потребуется не одна жизнь, чтобы приблизиться к ним. Никто не знает, что смогут открыть математики будущего, но с уверенностью можно сказать, что нас ждет множество сюрпризов.
Сейчас на дворе май 2016 г., и я гуляю по Выставке культуры и математических игр, которая проводится ежегодно на площади Сен-Сюльпис в шестом округе Парижа. Это место я особенно люблю. Здесь волшебники показывают вам карточные фокусы, основанные на арифметических свойствах, скульпторы создают произведения на основе правильных многогранников, описанных Платоном, изобретатели создают необычные деревянные вычислительные машины. Чуть дальше я замечаю несколько человек, рассчитывающих радиус Земли с помощью метода Эратосфена. Я прохожу мимо стендов любителей оригами, головоломок и каллиграфии. В мини-театре играют пьесу, сочетающую в себе математику и астрономию. Слышны взрывы смеха.
Все эти люди занимаются математикой. Все они по-своему изобрели что-то новое в математике. Этот жонглер использует в своем номере геометрические фигуры, на что великие ученые не обратили бы внимания. Но для него они прекрасны, и при виде шаров, вращающихся в воздухе, глаза прохожих загораются.
Я думаю, что это даже важнее, чем все великие открытия ученых. Математика, даже простейшая, – это неиссякаемый источник удивления. Среди посетителей выставки много родителей, которые пришли сюда, в первую очередь, ради своих детей и постепенно увлеклись процессом. Никогда не бывает слишком поздно. Математика имеет большой потенциал, чтобы стать популярной дисциплиной, вызывающей положительные эмоции. Не обязательно быть математическим гением, чтобы прочувствовать пьянящий вкус исследований и открытий.
Заниматься математикой совсем не сложно. И если вы захотите продолжить, прочитав последнюю страницу, откроете для себя гораздо больше, чем все то, что я смог вам рассказать. Вы можете выбрать собственный путь на основе ваших предпочтений и следовать собственным желаниям.
Все, что нужно, – определенная доля смелости, море любопытства и немного фантазии.
Послесловие
Если вы захотите продолжить изучение математики, вам могут быть интересны следующие источники информации.
В отделе математики «Дворца открытий» в Париже (http://www.palais-decouverte.fr) проводятся мероприятия, лекции и мастер-классы для широкой аудитории. Если вы окажетесь там, не забудьте зайти в зал π! Кроме того, в Париже находится «Городок науки и индустрии» (http://www.cite-sciences.fr), где также есть экспозиция, посвященная математике.
Немного уступают по размеру, но также заслуживают внимания «Дом математики и информатики» в Лионе (