О некоторых смелых открытиях Фалеса сложили целые легенды. Так, он был первым, кто точно предсказал время солнечного затмения, которое произошло при битве между мидянами и лидийцами на реке Галис в восточной части современной территории Турции. Когда среди ясного дня наступила кромешная тьма, враждующие стороны посчитали это посланием бога и сразу же объявили перемирие. Для современных астрономов не представляет труда предсказать время затмения в будущем или определить, когда оно было в прошлом. Так, с предельной точностью можно сказать, что затмение, о котором шла речь выше, произошло 28 мая 584 г. до н. э. Так, битва при Галисе – самое раннее историческое событие, дата которого доподлинно известна!
Во время своего путешествия в Египет Фалес решил одну из сложнейших поставленных перед ним задач. Рассказывают, что фараон Амасис лично бросил ему вызов, предложив определить высоту пирамиды. До тех пор ни один из египетских ученых не смог этого сделать. Фалес не допустил поражения и использовал очень изобретательный способ. Ученый из Милета воткнул палку в землю под прямым углом и дождался момента, когда длина тени, отбрасываемой палкой, стала равна высоте палки. В этот же момент он измерил длину тени, отбрасываемой верхушкой пирамиды – это и была высота пирамиды. Ответ на загадку была найден!
История зачастую иронична, и ее правдоподобность можно подвергнуть сомнению. Так, вопреки этой истории, высмеивающей несообразительность древнеегипетских ученых, в папирусе Ахмеса говорится о том, что в Древнем Египте прекрасно знали, как рассчитать высоту пирамиды, более чем за тысячу лет до Фалеса! И где же правда? На самом ли деле Фалес измерил высоту пирамиды? Стал ли он первым, кто применил метод определения ее высоты, используя данные о тени? Или же ему было достаточно измерить оливковое дерево во дворе своего дома в Милете? Последователей Фалеса подозревают в приукрашивании истории после его смерти. Стоит учитывать, что нам известно достаточно мало об этом.
Как бы там ни было, геометрия Фалеса вполне реальна, и, независимо, высоту пирамиды или оливкового дерева он измерил, метод использования тени не становится от этого менее гениальным. Этот способ – один из примеров того, что мы сегодня называем теоремой Фалеса. Ряд других математических достижений присваивают Фалесу: диаметр делит круг пополам (рис. 1), углы основания равнобедренного треугольника равны (рис. 2), вертикальные углы двух пересекающихся прямых равны (рис. 3), треугольник, вписанный в окружность, одна их сторон которого является диаметром окружности, – прямоугольный (рис. 4). Последнее утверждение также часто называют теоремой Фалеса.
Вернемся к нашему новому термину: что же такое теорема? Этимология этого слова состоит из греческих слов thÉa (созерцание) и horáô (смотреть, видеть). Таким образом, теорема – это что-то вроде наблюдения с математической точки зрения, то есть замеченное явление, за которым наблюдали и выводили из наблюдейний определенные закономерности математики. Теоремы могли передаваться как устно, так и письменно. Данный термин мог бы применяться и к бабушкиным рецептам и приметам, которые передавались из поколения в поколение и не подвергались сомнению. Одна ласточка весны не делает, лавровый лист лечит ревматизм, и один из углов треугольника, стороны которого относятся как 3–4–5, прямоугольный. Эти знания мы не подвергаем сомнению и можем использовать снова и снова.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Если рассматривать термин «теорема» так, как это описано выше, то жители Древней Месопотамии, Египта и Китая также имели свои теоремы. Однако начиная с Фалеса, древние греки начали использовать это слово в математическом значении: предполагалось, что теорема должна носить максимально обобщенный характер и подтверждаться доказательством.
Вернемся к одному из свойств, открытие которого приписывают Фалесу: диаметр делит круг пополам. Это утверждение могло бы показаться достаточно неоднозначным для ученого уровня Фалеса, ведь это очевидно. Как могло получиться так, что только в VI в. до н. э. люди пришли к такому очевидному выводу? Нет сомнений, что ученые Древнего Египта и Вавилона уже давно сделали это наблюдение.
Однако надо четко понимать, что имя ученого из Милета осталось в истории не только благодаря сделанному наблюдению, но прежде всего из-за сформулированного им доказательства. Фалес сформулировал эту теорему в общем виде – для любого круга! Чтобы сделать тот же вывод, ученые из древних Вавилона, Египта и Китая обращались к конкретным примерам. Нарисовав круг радиусом 3 и диаметр внутри него, они отмечали, что диаметр делит указанный круг пополам. Если одного примера не было достаточным для подтверждения данного факта, приводился второй, третий, четвертый примеры, если требовалось. Примеры приводились до того момента, пока не становилось очевидным, что это верно для любого подобного случая. Но никогда ранее не приводилось и не формулировалось обобщенное доказательство.
Фалес был в этом первооткрывателем. Он говорил о любом круге, независимо от его параметров. Он мог быть как гигантского размера, так и совсем крошечным, начерченный на горизонтальной, вертикальной или наклонной поверхности – совершенно не важно, какой конкретно круг. Всегда диаметр будет делить его на две равные половины.
Так, Фалес был первым, кто окончательно придал геометрическим фигурам статус абстрактных математических объектов. Этот этап в развитии по значению сопоставим с моментом, когда за две тысячи лет до этого в Месопотамии числа стали рассматриваться отдельно от исчисляемых объектов. Круг с этих пор перестает быть очертанием, сделанным на земле, глиняной табличке или папирусе, и перерастает в идею, абстрактную категорию, идеальную форму, реальные изображения которой отныне становятся не более чем условной иллюстрацией. С этих пор математические истины формулируются обобщенно, независимо от наличия конкретных примеров. Такие задачи древние греки теперь стали называть теоремами.
У Фалеса были многочисленные последователи в Милете. Двое наиболее известных из них – Анаксимен и Анаксимандр. У последнего, в свою очередь, тоже были ученики, самый известный из которых, Пифагор, прославился благодаря открытой им теореме.
Пифагор родился в начале VI в. до н. э. на острове Самос, расположенном на территории современной Турции, в нескольких километрах от Милета. В юности он учился и путешествовал по античному миру и в конце концов обосновался в городе Кротон на юго-востоке современной территории Италии. Именно здесь он основал свою школу в 532 г. до н. э.
Учениками Пифагора были не только математики и ученые, но и философы, теологи и политические деятели. Стоит отметить, что если бы мы посмотрели на основанное Пифагором сообщество с точки зрения сегодняшнего дня, то оно могло бы показаться опасной и мрачной сектой. Повседневная жизнь пифагорейцев была жестко регламентирована. Каждому, кто хотел попасть в эту школу, предстояло выдержать пятилетний обет молчания. В этом сообществе отсутствовала частная собственность: все блага были общими. В среде пифагорейцев использовались различные символы для инициации, такие, как, например, тетрактис или пентаграмма в форме пятиконечной звезды. Кроме того, пифагорейцы считали себя избранными и не признавали иной власти. По этой причине Пифагор в возрасте 85 лет погиб во время массовых беспорядков.
О Пифагоре сложили множество легенд, некоторые из них поистине невероятны. Если проанализировать их, то становится понятным, что у его учеников было очень яркое воображение. Так, остались свидетельства о том, что Пифагор был сыном Аполлона. Значение имени Пифагор расшифровывается как «возвещенный Пифией»: Пифия Дельфийская была прорицательницей храма Аполлона, она предсказала родителям Пифагора, что их сын станет наипрекраснейшим и наимудрейшим из живущих. Так, от рождения ему предначертано великое будущее. Считается, что Пифагор помнил все свои предыдущие жизни. Например, он был героем на полях сражений в Троянской войне, и звали его Эуфорб. В молодости Пифагор участвовал в Олимпийских играх и одерживал победу во всех соревнованиях по кулачному бою (прообраз современного бокса). Ученый впервые вывел музыкальные гаммы. Он мог ходить по воздуху, умер и воскрес, обладал божественными способностями и мог исцелять людей. Ему повиновались животные, и он мог обращать любой материал в золото.
В то время как основная часть этих историй – полнейшая чушь, даже в самые правдоподобные сложно проверить. Правда ли, что Пифагор был первым, кто ввел понятие «математика»? Факты настолько противоречивы, что рядом ученых само существование Пифагора ставится под сомнение. Ими выдвинута гипотеза, что Пифагор был вымышленным персонажем и использовался пифагорейцами как тотемная фигура для поклонения.
В отсутствие более точных сведений о математике перейдем непосредственно к тому, что прославило философа в веках и изучается учениками уже спустя более чем 2500 лет: теореме Пифагора! О чем же эта знаменитая теорема? Сама ее формулировка может показаться удивительной, т. к. в этой теореме ученый объединил две математические категории, которые ранее рассматривались только самостоятельно: прямоугольные треугольники и квадратные числа.
Возьмем наш любимый прямоугольный треугольник с параметрами 3–4–5. Квадратные числа с такими сторонами будут равны соответственно 9, 16 и 25.
Можно заметить удивительную закономерность: 9 + 16 = 25. Сумма квадратов 3 и 4 равна квадрату 5. Можно предположить, что это просто совпадение, но если мы попробуем проверить данную закономерность на других прямоугольных треугольниках, то каждый раз будет получаться то же самое. Возьмем, например, треугольник со сторонами 65–72–97, который мы можем найти уже в вавилонских таблицах. Соответственно, квадратные значения будут равны: 4225, 5184 и 9409. Сумма 4225 и 5184 равна 9409. Когда приводятся примеры с такими большими числами, сложно поверить в чистое совпадение.