Декарт был настроен более философски, чем Ньютон, поэтому вопрос о доказательстве существования Бога очень его занимал. Для него путь от уверенности в собственном существовании («Я мыслю, следовательно, я существую») к способности выстроить непротиворечивую систему объективной науки должен был пройти через этап неопровержимого доказательства существования совершенного высшего существа – Бога. Этот Бог, как считал Декарт, и есть в конечном итоге первоисточник всей истины и единственная гарантия верности человеческих умозаключений. Это рассуждение, подозрительное тем, что замкнуто само на себя (его даже называют «картезианским порочным кругом»), критиковали уже современники Декарта, в особенности французский философ, теолог и математик Антуан Арно (1612–1694). Арно задал вопрос, сокрушительный в своей простоте: если нам нужно доказывать существование Бога, чтобы гарантировать верность человеческого мыслительного процесса, как нам верить этому доказательству, которое само по себе есть плод человеческого разума? Несколько отчаянных попыток вырваться из этого порочного круга сделал Декарт, но многие философы, его последователи, не считали, что его старания привели к успеху. Таким же сомнительным было и «дополнительное доказательство» существования Бога. Оно подпадает под общефилософскую категорию онтологического аргумента. Философ и богослов Св. Ансельм Кентерберийский (1033–1109) первым предложил подобного рода логическое рассуждение в 1078 году, и с тех пор оно то и дело всплывало в разных обличьях. Ход рассуждений примерно таков. Бог по определению настолько совершенен, что это величайшее мыслимое существо. Однако если Бога нет, тогда можно помыслить и об еще более великом существе – о таком, которое мало того что наделено всеми совершенствами Бога, но еще и существует. Это противоречит определению Бога как величайшего мыслимого существа, а следовательно, Бог существует. По словам Декарта, «отделять существование Бога от его сущности столь же немыслимо, как отделять от сущности треугольника свойство равенства трех его углов двум прямым углам».
Подобные логические маневры особенно никого не убеждали, и многие философы утверждали, что для того, чтобы доказать существование чего-то, что находится в стороне от физического мира, а особенно чего-то столь огромного, как Бог, одной логики недостаточно (см. Dennett 2006, Dawkins 2006, Paulos 2008).
Как ни странно, Декарта обвинили в тайном атеизме, и в 1667 году его труды попали в составленный католической церковью Список запрещенных книг. В свете того, что Декарт напирал на идею Бога как единственной гарантии истины, это обвинение было более чем нелепо.
Оставим в стороне чисто философские вопросы и обратимся к самому интересному в свете темы нашей книги представлению Декарта – о том, что Бог создал все «вечные истины». В частности, Декарт заявлял, что «математические истины, которые вы называете вечными, заложены Богом и полностью зависят от Него – не меньше, чем остальные Его создания». Итак, картезианский Бог был более чем математиком – в том смысле, что он создал и математику, и физический мир, полностью основанный на математике. Согласно этой точке зрения, которая превалировала в конце XVII века, люди, очевидно, всего лишь открыли математику, но не изобрели ее.
А главное – труды Галилея, Декарта и Ньютона глубочайшим образом изменили отношения между математикой и физикой. Во-первых, стремительное развитие физики стало мощнейшим стимулом для математических исследований. Во-вторых, законы Ньютона сделали даже самые отвлеченные отрасли математики – в частности, математический анализ, – сутью физических объяснений. И, наконец, самое важное – грань между физикой и математикой стерлась до полного исчезновения, и математические открытия и огромные области физических исследований практически слились воедино. Все эти достижения вызвали у математиков прилив энтузиазма, какого, возможно, они не знали еще со времен древних греков. Математики поняли, что именно им предстоит покорить весь мир, а это подарило им безграничные возможности для открытий.
Глава 5Статистики и пробабилисты: наука о неопределенности
Мир не стоит на месте. Все, что нас окружает, либо движется, либо постоянно меняется. Даже твердая Земля под ногами на самом деле вертится вокруг своей оси, вращается вокруг Солнца и – вместе с Солнцем – движется вокруг центра нашей галактики Млечный Путь. Воздух, которым мы дышим, состоит из триллионов молекул, которые движутся – хаотически, без остановки. А одновременно кругом растут растения, распадаются радиоактивные материалы, температура атмосферы растет и падает в зависимости от времени суток и времени года, а ожидаемая продолжительность жизни просто возрастает. Однако эта космическая неугомонность сама по себе не отменяет математику. Ньютон и Лейбниц разработали отрасль математики под названием математический анализ[80] именно затем, чтобы можно было строго анализировать и строить точные модели и движения, и перемен. К настоящему времени этот невероятный научный инструмент достиг такой мощности и универсальности, что его можно применять для решения самых разных задач – от движения космического челнока до распространения инфекционной болезни. Подобно тому как кино передает движение, разбивая его на последовательность неподвижных кадров, математический анализ измеряет перемены с таким маленьким шагом, что это позволяет определять количества, существующие лишь мимолетно, например мгновенную скорость, ускорение или темп изменения.
Математики так называемой эпохи Рационализма (конец XVII–XVIII вв.), следуя по стопам титанов Ньютона и Лейбница, расширили и дополнили математический анализ и разработали еще более мощную отрасль дифференциальных уравнений, которая находит еще более широкое практическое применение. Это новое орудие позволило ученым строить подробные математические теории самых разных явлений – от музыки, порожденной струнами скрипки, до передачи тепла, от движения волчка до течения жидкостей и газов. Некоторое время именно дифференциальные уравнения были излюбленным инструментом прогресса в физике.
Одними из первопроходцев в исследовании новых горизонтов, которые открывали дифференциальные уравнения, были члены знаменитой семьи Бернулли[81].
Между серединой XVII и серединой XVIII веков эта семья подарила миру целых восемь выдающихся математиков. Не меньше, чем математическими достижениями, эти одаренные личности прославились и внутрисемейными распрями (описанными в Hellman 2006). Скандалы между разными Бернулли всегда были связаны с соперничеством за первенство в математике, но при этом задачи, о которых они спорили, казалось бы, не играют в наши дни такой уж важной роли. Однако решение этих хитрых головоломок зачастую прокладывало дорогу гораздо более серьезным математическим открытиям.
В целом нет никаких сомнений, что семейство Бернулли играло важную роль в становлении математики как языка самых разнообразных физических процессов.
Примером того, как сложно было устроено мышление двух самых блистательных Бернулли – братьев Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) – может служить следующая история. Якоб Бернулли был одним из основателей теории вероятностей, и мы еще вернемся к нему в этой главе. Однако к 1690 году Якоб с головой погрузился в изучение задачи, которую за двести лет до него сформулировал и исследовал еще величайший деятель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи: какую форму примет гибкая, но нерастяжимая цепочка, закрепленная за концы (как на рис. 31)? Леонардо в своих записных книжках несколько раз рисовал такие цепочки. Считается, что эту задачу задавал и Декарту его друг Исаак Бекман, однако не осталось никаких свидетельств, что Декарт пытался ее решить. Впоследствии эта задача получила название «задача о цепной линии»[82]. Галилей считал, что это должна быть парабола, однако французский иезуит Игнас-Гастон Пардис (1636–1673) доказал, что это не так. Правда, сам Пардис тоже не сумел математически вывести правильную форму цепочки.
Рис. 31
Прошел всего год с тех пор, как Якоб Бернулли поставил задачу, когда его младший брат Иоганн решил ее (при помощи дифференциального уравнения). Решили ее и Лейбниц, и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629–1695), однако решение Гюйгенса было получено не очень ясным геометрическим методом. То, что Иоганн сумел решить задачу, которая поставила в тупик его брата и учителя, было для младшего Бернулли неисчерпаемым источником самодовольства – даже спустя тринадцать лет после смерти Якоба. Иоганн не мог скрыть торжества в письме, адресованном 29 сентября 1718 года французскому математику Пьеру Ремону де Монмору (1678–1719) (цит. по Truesdell 1960).
Вы говорите, что задачу поставил мой брат; так и есть, однако следует ли из этого, что он получил ее решение? Отнюдь нет. Когда он предложил мне рассмотреть задачу (ибо я первым задумался над ней), никто из нас, ни тот ни другой, не сумел ее решить, мы отчаялись и считали, что она не имеет решения, пока господин Лейбниц не опубликовал в Лейпцигском журнале за 1690 год, стр. 360, заметку, что решил задачу, однако решения не представил, словно бы давал время другим ученым, и именно это побудило нас – и брата, и меня – заново взяться за нее.
Сначала Иоганн бессовестно приписывает себе даже саму постановку задачи, а затем с нескрываемым злорадством продолжает.
Старания моего брата ни к чему не привели, мне же повезло больше, ибо я обладаю мастерством (я говорю не хвастаясь, к чему скрывать истину?), позволяющим найти полное решение… Да, безусловно, это потребовало от меня усердных занятий, лишивших меня остатка ночного сна… однако наутро, преисполнившись радости, я бросился к брату, который все так же безуспешно бился над своим гордиевым узлом, но у него ничего не получалось, поскольку он вслед за Галилеем считал, будто цепная линия – это парабола. «Стой! Стой! – говорю я ему. – Не терзай себя больше попытками доказать, что цепная линия тождественна параболе, поскольку это совершенно неверно»… Но затем вы поражаете меня выводом, что мой брат будто бы нашел метод решения задачи… неужели вы и вправду думаете, спрашиваю я вас, что если бы мой брат решил упомянутую задачу, он был бы столь многим мне обязан, что даже не заявил, что входит в число решивших задачу, уступив мне славу и дав в одиночестве выйти на сцену в качестве первого решившего вместе с господами Гюйгенсом и Лейбницем?