Глава 7Логики: размышления о рассуждениях
Вывеска на деревенской цирюльне гласит[117]: «Брею тех и только тех жителей деревни, кто не бреется сам». Казалось бы, резонно. Очевидно, что те, кто бреется сам, не нуждаются в услугах цирюльника, поэтому вполне естественно, что цирюльник бреет всех остальных. Но задайтесь другим вопросом – кто бреет цирюльника? Если он бреет сам себя, то, согласно вывеске, должен быть среди тех, кого не бреет. С другой стороны, если он сам себя не бреет, то должен, опять же согласно вывеске, быть среди тех, кого бреет! Так бреет или нет? История знает примеры, когда серьезные семейные склоки случались и по куда менее значительным вопросам. Об этом парадоксе первым написал Бертран Рассел (1872–1970), один из величайших логиков и философов ХХ века, – лишь для того чтобы показать, насколько часто логическая интуиция подводит человека. Парадоксы, они же антиномии, отражают ситуации, в которых вполне приемлемые на первый взгляд суждения приводят к неприемлемым следствиям. В вышеприведенном примере деревенский цирюльник и бреет, и не бреет себя самого. Можно ли разрешить этот парадокс? Одно из простейших решений парадокса – строго в том виде, в каком он приведен выше, – очень просто: цирюльник – женщина! С другой стороны, если бы нам сразу сказали, что цирюльник обязательно мужчина, то абсурдный вывод был бы результатом того, что мы приняли первоначальные суждения. Иначе говоря, такой цирюльник существовать не может. Но какое все это имеет отношение к математике? Оказывается, математика с логикой состоят в ближайшем родстве. Вот как описал эти узы сам Рассел[118].
Исторически математика и логика были совершенно различными дисциплинами. Математика была связана с наукой, а логика с греками. Но обе стали развитыми дисциплинами только в последнее время: логика стала более математической, а математика стала более логической. Как следствие этого, сейчас [в 1919 году] невозможно провести между двумя дисциплинами разделительную линию. На самом деле обе представляют собой нечто единое. Они отличаются так же, как мальчик и мужчина: логика есть юность математики, а математика есть зрелость логики. (Здесь и далее цитаты из «Введения в философию математики» Б. Рассела даны в пер. В. Целищева.)
Здесь Рассел утверждает, что, в сущности, математику можно свести к логике. Иначе говоря, основные понятия математики, даже такие объекты, как, например, числа, можно на самом деле определить в терминах фундаментальных законов рассуждения. Более того, впоследствии Рассел утверждал, что можно сочетать такие определения с логическими принципами – и породить математические теоремы. Первоначально такое представление о природе математики (так называемый логицизм) пользовалось благосклонностью как тех, кто считал математику не более чем сложной игрой, целиком и полностью изобретенной людьми (то есть формалистов), так и обеспокоенных платоников. Первые поначалу обрадовались, когда увидели, как собрание не связанных друг с другом на первый взгляд «игр» объединяется в одну «праматерь всех игр». Последние увидели луч надежды в идее, что вся математика, вероятно, коренится в одном источнике, в котором можно не сомневаться. В глазах платоников это повышало шансы на существование единого метафизического источника. Нечего и говорить, что единый корень математики мог, по крайней мере, в принципе, подсказать, в чем причина ее могущества.
Для полноты картины отмечу, что была еще одна школа мысли под названием интуиционизм, которая всячески противостояла и логицизму, и формализму. Вдохновителем этой школы был голландский математик Лёйтзен Э. Я. Брауэр (1881–1966), отличавшийся некоторым фанатизмом[119]. Брауэр был убежден, что натуральные числа выведены из интуитивных представлений человека о времени и дискретных моментах нашего опыта. С его точки зрения вопрос о том, что математика есть результат человеческой мысли, решался однозначно, поэтому он не видел никакой необходимости в универсальных логических законах наподобие тех, которые представлял себе Рассел. Однако Брауэр пошел гораздо дальше и объявил, что единственные осмысленные математические сущности – это те, которые можно эксплицитно построить на основе натуральных чисел посредством конечного числа шагов. Поэтому он отвергал огромные области математики, для которых были невозможны конструктивные доказательства. Брауэр отвергал и другое логическое понятие – принцип исключенного третьего, согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. По Брауэру, напротив, допускались утверждения, которые пребывают в каком-то третьем, лимбическом состоянии, в котором они «остаются нерешенными». Из-за подобных ограничений интуиционистская школа мысли оказалась несколько маргинальной. Тем не менее интуиционистские идеи предвосхищали некоторые открытия в когнитивной психологии, касавшиеся вопроса о том, как люди приобретают математические знания (об этом мы поговорим в главе 9), а кроме того, повлияли на рассуждения некоторых современных философов математики, в частности Майкла Даммита. Даммит придерживался в основном лингвистического подхода и настаивал, что «значение математического утверждения определяет его применение и в то же время полностью определяется этим применением».[120]
Но как же возникло такое тесное партнерство между математикой и логикой? И жизнеспособна ли вообще программа логицизма? Позволю себе дать краткий обзор основных вех за последние четыре столетия.
Логика и математика
Традиционно предметом логики были отношения между понятиями и суждениями и процессы, которые позволяли выделить из этих отношений обоснованные следствия.[121] Приведу простой пример: силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – иксы; следовательно, некоторые зеты – игреки» построены таким образом, что автоматически обеспечивают истинность заключения, если верны посылки. Например, «Любой биограф – писатель; некоторые политики – биографы; следовательно, некоторые политики – писатели» приводит к истинному заключению. С другой стороны, силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – игреки; следовательно, некоторые зеты – иксы» ложны, поскольку можно привести примеры, когда заключение, несмотря на истинность посылок, окажется ложным. Например, «Любой человек – млекопитающее, некоторые рогатые животные – млекопитающие; следовательно, некоторые рогатые животные – люди».
Если соблюдаются некоторые правила, истинность вывода не зависит от темы утверждений. Рассмотрим следующий силлогизм.
– Убийца миллиардера – либо дворецкий, либо его собственная дочь.
– Дочь не убивала миллиардера.
– Следовательно, убийца – дворецкий.
Он позволяет получить истинный вывод. Обоснованность этого вывода никак не зависит ни от нашего мнения о дворецком, ни от отношений миллионера с дочерью. Обоснованность обеспечена тем, что посылки общего вида «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» приводят к логически истинному утверждению.
Вероятно, вы заметили, что в первых двух примерах иксы, игреки и зеты играли роли, очень похожие на роли переменных в математических уравнениях: они отмечают места, куда можно вставлять выражения, точно так же, как вместо переменных в алгебре можно подставлять их численные значения. Подобным же образом истинность силлогизма «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» напоминает аксиомы евклидовой геометрии. И все же нужно было провести в размышлениях о логике почти два тысячелетия, прежде чем математики отнеслись к этой аналогии с должной серьезностью.
Первым, кто сделал попытку свести эти две дисциплины – логику и математику – в одну «универсальную математику», был немецкий математик и философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Лейбниц получил юридическое образование и математикой, физикой и философией занимался по большей части в свободное время. При жизни он был известен в основном тем, что независимо и почти одновременно с Ньютоном вывел основы дифференциального и интегрального исчисления (что привело к жарким спорам за право первенства). В статье, которую Лейбниц практически целиком продумал еще в шестнадцать лет, он исследовал универсальный логический язык – так называемую «универсальную характеристику» (characteristica universalis), – по его мнению, идеальный инструмент мышления. План Лейбница состоял в том, чтобы выражать простые идеи и понятия символами, а более сложные – сочетаниями основных символов. Лейбниц рассчитывал, что сможет буквально вычислить истинность любого утверждения и любой научной дисциплины при помощи одних лишь алгебраических операций. Он предсказывал, что при наличии адекватных логических вычислительных методов философские споры будут решаться подсчетом. К сожалению, в полной мере разработать свою алгебру логики Лейбниц так и не сумел. Помимо общего принципа «алфавита мыслей», ему принадлежат две заслуги: он четко сформулировал, когда надо считать, что две вещи равны, и признал очевидный на первый взгляд факт, что никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Поэтому при всей своей занимательности идеи Лейбница прошли по большей части незамеченными.
К середине XIX века логика снова вошла в моду, и внезапно вспыхнувший интерес к ней привел к созданию значительных научных трудов. Первые работы такого рода опубликовал Огастес де Морган (1806–1871), а затем – Джордж Буль (1815–1864), Готлоб Фреге (1848–1925) и Джузеппе Пеано (1858–1932).
Де Морган был необычайно плодовитым автором, опубликовавшим буквально тысячи статей и книг на самые разные темы, касающиеся математики, истории математики и философии