В Солнечной системе тел не два, а больше. Если учитывать влияние других планет (опять же в соответствии с законом обратных квадратов), то орбиты перестают быть простыми эллипсами. Например, оказалось, что орбита Земли медленно меняет положение в пространстве – это движение называется прецессия, именно так перемещается ось вращающегося волчка. Более того, современные исследования показали, что, вопреки ожиданиям Лапласа, орбиты планет в конечном итоге могут даже впасть в хаос (подробнее об этом см. Lecar et al. 2001).
Фундаментальная теория Ньютона впоследствии, разумеется, была включена в общую теорию относительности Эйнштейна. И появлению этой теории также предшествовала череда промахов и фальстартов. Так что предсказать точность той или иной теории невозможно. Не проверишь – не узнаешь, и нужно постоянно делать поправки и уточнения, пока не достигнешь желаемой точности. Те несколько случаев, когда невероятная точность достигалась за один шаг, следует считать настоящими чудесами.
Однако есть и еще одно важное общее обстоятельство, из-за которого поиск фундаментальных законов остается стоящим делом. Речь идет о том, что природа в своей любви к нам управляется именно универсальными, а не местными законами. Атом водорода везде ведет себя совершенно одинаково – и на Земле, и на другом краю Млечного пути, и даже в галактике за десять миллиардов световых лет от нас. Это не зависит от того, куда и когда мы посмотрим. Математики и физики придумали для этого качества особый математический термин: это симметрии, и они отражают устойчивость к переменам в положении, ориентации и моменте, когда запускаешь свои часы. Если бы не эти (и другие) симметрии, у нас не было бы ни малейшей надежды познать структуру мироздания, поскольку эксперименты пришлось бы усердно повторять в каждой точке пространства (если бы в такой Вселенной вообще была возможна жизнь).
Есть и другая особенность мироздания, стоящая за математическими теориями: это так называемая локальность. Она отражает нашу способность строить «картину в целом», словно пазл, начав с описания самых основных взаимодействий между элементарными частицами.
А теперь мы подошли к последнему кусочку паззла Вигнера: каковы, собственно, гарантии, что математическая теория должна существовать? Иначе говоря, откуда взялась, например, общая теория относительности? Неужели не могло оказаться, что математической теории гравитации не существует?
Ответ куда проще, чем вы думаете[169]. Гарантий нет никаких! Существует множество явлений, которые невозможно точно предсказать – даже в принципе. Под эту категорию подпадают, например, самые разные динамические системы, которые впадают в хаос – когда крошечное изменение в начальных условиях приводит к совершенно разным конечным результатам. В частности, такое поведение характерно для рынка ценных бумаг, для перемен погоды в районе Скалистых гор, для шарика, прыгающего на колесе рулетки, для дыма, поднимающегося от сигареты, и, само собой, для орбит планет в Солнечной системе. Не то чтобы математики не пытались разработать оригинальные модели, позволяющие разобраться хотя бы с некоторыми аспектами этих задач, однако никакой детерминистской предсказательной теории создать невозможно. Для работы в областях, для которых нет теории, которая дает больше, чем в нее вложили, созданы целые отрасли теории вероятности и статистики. Подобным же образом понятие вычислительной сложности очерчивает пределы для наших способностей решать задачи при помощи практических алгоритмов, а гёделевские теоремы о неполноте говорят об определенных ограничениях математики – даже внутренних. Так что математика и в самом деле обладает необыкновенной эффективностью в части некоторых описаний, особенно тех, которые относятся к фундаментальной науке, но все же она не может описать нашу Вселенную со всеми ее измерениями. И ученые в какой-то степени определяют, какие задачи исследовать, на основании того, какие задачи уже поддались математическому подходу.
Так что же, выходит, мы разгадали загадку эффективности математики – раз и навсегда? Я старался, как мог, однако сомневаюсь, что все будут полностью согласны с доводами, которые я выдвинул в этой книге. Однако могу процитировать Бертрана Рассела – его книгу «Проблемы философии» (Russell 1912).
Таким образом, мы можем подытожить наше обсуждение ценности философии. Философия должна изучаться не ради определенных ответов на свои вопросы, поскольку, как правило, неизвестны такие истинные ответы, но ради самих вопросов. А эти вопросы расширяют наше понимание того, что возможно, обогащают наше интеллектуальное воображение и убавляют догматическую уверенность, которая служит преградой уму в его размышлениях. Но, прежде всего, дело в том, что ум приобщается к великому через величие Вселенной и становится способным к союзу с нею, что и представляет собой высшее благо (пер. В. Целищева).
Приложение
Литература
Aczel, A. D. 2000. The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity (New York: Four Walls Eight Windows).
–. 2004. Chance: A Guide to Gambling, Love, the Stock Market, and Just about Everything Else (New York: Thunder’s Mouth Press).
–. 2005. Descartes’Secret Notebook (New York: Broadway Books).
Adam, C., and Tannery, P., eds. 1897–1910. Oeuvres des Descartes. Revised edition 1964–76 (Paris: Vrin/CNRS). Самый полный перевод на английский язык: Cottingham, J., Stoothoff, R., and Murdoch, D., eds. 1985. The Philosophical Writing of Descartes (Cambridge: Cambridge University Press).
Adams, C. 1994. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots (New York: W. H. Freeman).
Alexander, J. W. 1928. Transactions of the American Mathematical Society, 30, 275.
Applegate, D. L., Bixby, R. E., Chvátal, V., and Cook, W. J. 2007. The Traveling Salesman Problem (Princeton: Princeton University Press).
Archibald, R. C. 1914. American Mathematical Society Bulletin, 20, 409.
Aristotle. Ca. 350 гг. до н. э. Metaphysics. In Barnes, J., ed. 1984. The Complete Works of Aristotle (Princeton: Princeton University Press).
–. Ca. 330 BCa. Physics. Перевод R. P. Hardie и R. K. Gaye.
–. Ca. 330 BCb. Physics. Перевод P. H. Wickstead и F. M. Cornford, 1960 (London: Heinemann).
Aronoff, M., and Rees-Miller, J. 2001. The Handbook of Linguistics (Oxford: Blackwell Publishing).
Ashley, C. W. 1944. The Ashley Book of Knots (New York: Doubleday).
Atiyah, M. 1989. Publications Mathématiques de l’Inst. des Hautes Etudes Scientifiques, Paris, 68, 175.
–. 1990. The Geometry and Physics of Knots (Cambridge: Cambridge University Press).
–. 1993. Proceedings of the American Philosophical Society, 137 (4), 517.
–. 1994. Supplement to Royal Society News, 7, (12), (i).
–. 1995. Times Higher Education Supplement, 29 September.
Baillet, A. 1691. La Vie de M. Des-Cartes (Paris: Daniel Horthemels). Факсимиле публиковались в 1972 (Hildesheim: Olms) и 1987 (New York: Garner) годах.
Balz, A. G. A. 1952. Descartes and the Modern Mind (New Haven: Yale University Press).
Barrow, J. D. 1992. Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being (Oxford: Clarendon Press).
–. 2005. The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless (New York: Pantheon).
Beaney, M. 2003. In Griffin, N., ed. The Cambridge Companion to Bertrand Russell (Cambridge: Cambridge University Press).
Bell, E. T. 1937. Men of Mathematics: The Lives and Achievements of the Great Mathematicians
from Zeno to Poincaré (New York: Touchstone).
–. 1940. The Development of Mathematics (New York: McGraw-Hill).
–. 1951. Mathematics: Queen and Servant of Science (New York: McGraw-Hill).
Beltrán Mari, A. 1994. “Introduction.” В кн.: Galilei, G. Diálogo Sobre los Dos Máximos Sistemas del Mundo (Madrid: Alianza Editorial).
Bennett, D. 2004. Logic Made Easy: How to Know When Language Deceives You (New York: W. W. Norton).
Berkeley, G. 1734. “The Analyst: Or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician”, D. R. Wilkins, ed. http:///www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.html.
Berlinski, D. 1996. A Tour of the Calculus (New York: Pantheon Books).
Bernoulli, J. 1713a. The Art of Conjecturing [Ars Conjectandi]. Перевод E. D. Sylla, с предисловием и примечаниями, 2006 (Baltimore: Johns Hopkins University Press).
–. 1713b. Ars Conjectandi (Basel: Tharnisiorum).
Beyssade, M. 1993. “The Cogito.” В кн.: Voss, S., ed. Essays on the Philosophy and Science of René Descartes (Oxford: Oxford University Press).
Black, F., and Scholes, M. 1973. Journal of Political Economy, 81 (3), 637.
Bodanis, D. 2000. E = mc2: A Biography of the World’s Most Famous Equation (New York: Walker).
Bonola, R. 1955. Non-Euclidean Geometry. Translated by H. S. Carshaw. (New York: Dover Publications). Репринт перевода 1912 года (Chicago: Open Court Publishing Company).
Boole, G. 1847. The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning. В кн.: Ewald, W. 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics (Oxford: Clarendon Press).
–. 1854. An Investigation of the Laws of Thought on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (London: Macmillan). Репринт издан в 1958 году (Mineola, N. Y.: Dover Publications).
Boolos, G. 1985.