И все же, когда я увидел подобное явление в Германии, это было похоже на нечто большее, чем просто группа, поддерживающих друг друга единомышленников. Под этим ясно читалось, что привилегия думать для любого человека зависела от того, были ли у него правильные друзья. Позже, когда мне пришлось вернуться в Соединенные Штаты, я обнаружил, что имел неправильных друзей. Я учился с великими людьми, но они ничего из себя не представляли на американской сцене. Отделение математики в Гарварде не приняло бы меня, поскольку, в основном, я изучал математику в Кембридже и Геттингене. Когда открывшееся после войны отделение в Принстоне стало набирать свои кадры, я уже почти полностью превратился в одинокого волка, чтобы кому-то пришло в голову пригласить меня туда. Эти два университета (вместе с университетом в Чикаго) на самом деле никогда не впадали в крайности, присущие университетам Германии, если говорить о корпоративной изоляции, но они добросовестно попытались это сделать.
Я посещал курс теории типов, который читал профессор Ландау, и курс по дифференциальным уравнениям под руководством великого Гильберта. Несколько позже, когда я более глубоко познакомился с литературой по математике и с методами математического исследования, я стал лучше понимать этих двух профессоров. Гильберт был поистине величайшим гением математики, каковых я когда-либо знал. Его экскурсы от теории чисел к алгебре и от интегральных уравнений к основам математики охватывали практически все, что было открыто в математике. Именно в его работе можно было найти полный набор методов и инструментов; тем не менее, он всегда превыше всего ставил фундаментальные идеи. Он был не столько экспертом в манипуляции, сколько великим мыслителем в математике, и его работа была ясной и понятной, потому что ясным и понятным было его видение. Он практически никогда не зависел от чистого эксперимента.
Ландау, напротив, был несостоявшимся шахматистом. Он полагал, что математику необходимо представлять как последовательность положений, аналогичную передвижению фигур на шахматной доске, и он не верил в часть математики, поддающуюся выражению без помощи символов, состоящую из идей и стратегии. Он не верил в математический стиль, и как следствие всего этого его книги, хотя и весьма содержательные, напоминают Sears-Roebuck каталог.
Интересно сравнивать его книги с работой Харди, Литтлвуда или Гаральда Бора, каждый из которых писал в культивированной манере зрелого человека. Ландау же обладал исключительным интеллектом, но у него не было ни вкуса, ни рассудительности, ни философского мышления.
Невозможно рассказывать о Геттингене того времени без того, чтобы не вспомнить о Феликсе Кляйне, но по той или иной причине я не познакомился с ним в течение того семестра, когда там жил. Я склонен полагать, что или его не было в городе, или же он был болен. Когда позже я познакомился с ним в 1925 году, я нашел его очень больным на самом деле: мрачный человек с бородой, колени которого прикрыты одеялом, он сидел в своем великолепном кабинете и рассуждал о математике прошлого, как если бы он был Поэтом истории математики. Он был великим математиком, но к тому времени в своей специальности он представлял собой скорее Geheimrat, старейшину математики, чем человека, рождающего математические идеи. В нем было что-то от короля, что давало надежду тем, кто стремился сделать карьеру в сфере американской математики, что они тоже могут стать королями, если последуют по его пути, и если они со всем тщанием будут подражать его манерам (то, как он срезал кончик сигары перочинным ножом), как будто внимательное наблюдение за этим ритуалом каким-то волшебным образом могло способствовать их продвижению по пути к славе. Много лет спустя я сделал открытие, что два поколения гарвардских математиков обучились этой манере именно у него.
Кроме этих двух математических курсов я ходил на занятия профессора Гуссерля по философии Канта и на его семинар по феноменологии. Курсы по философии почти не произвели на меня впечатления, поскольку мой немецкий был недостаточно хорош для понимания тонкостей философского языка. В то время я вынес кое-что из математических курсов, но еще больше из своего рода интеллектуальных размышлений, которые позволяют по прошествии какого-то времени осознать важность того, что уже слышал, но не до конца понял.
В моем научном образовании еще большую роль, чем курсы по математике, сыграли математический читальный зал и Математическое Общество. Читальный зал содержал не только то, что, вполне вероятно, было полным собранием книг по математике, какие только существовали в мире, но там были также и копии отдельных журналов, которые Феликс Кляйн получал на протяжении многих лет. Рыться в этих книгах и журналах было поистине приятным занятием.
Математическое Общество обычно собиралось в комнате для проведения семинаров, где столы были завалены последними номерами всех математических периодических изданий, выпускаемых во всем мире. Гильберт был председателем, а профессора и подающие надежды студенты сидели рядышком. Как студенты, так и профессора принимали участие в зачитывании работ, и обсуждение было свободным и критичным.
После заседаний мы прогуливались через весь город к кафе Рона, находившемся в красивом парке на вершине холма, возвышавшегося над городом. Там мы выпивали по кружке пива или чашке кофе и обсуждали самые разные математические идеи, как наши собственные, так и те, о которых прочли в литературе. Так я познакомился с молодыми людьми такими, как Феликс Бернстайн, который сделал замечательную работу по теории Кантора, маленький Отто Сас, носивший туфли на высоких каблуках и колючие рыжие усы. Сас стал мне близким другом и защитником, и я счастлив, что позднее, когда наступил гитлеровский режим, я смог помочь ему обосноваться в Соединенных Штатах.
Такая комбинация научной и общественной жизни на Nachsitzenungen[45]в кафе Рона на холме была весьма привлекательной для меня. Эти встречи чем-то напоминали встречи в Гарвардском Математическом Обществе, но здесь более пожилые математики были более великими, а молодые были более способными и полны энтузиазма и общение было более свободным. Заседания Гарвардского Математического Общества по сравнению с заседаниями в Геттингене были как безалкогольное пиво по сравнению с крепким пойлом жителя Мюнхена.
Примерно в это время я впервые испытал, что такое сконцентрированная, полная страсти работа, которая необходима для нового исследования. У меня была идея, что метод, уже использованный мной для получения ряда более высоких логических типов из точно не определенной системы, можно было бы использовать для установления чего-то, чем можно заместить аксиоматическое трактование для широкого класса систем. У меня появилась идея обобщить значения транзитивности и взаимозаменяемости, что уже было использовано в теории ряда, для систем с большим числом измерений. Я переваривал эту идею в течение недели, отвлекаясь от работы только ради того, чтобы проглотить кусочек черного хлеба с тильзитским сыром, который я покупал в магазине деликатесов. Вскоре я понял, что у меня получается что-то интересное; но неразрешенные идеи были истинной пыткой для меня до тех пор, пока я не запишу их и не выведу из своей системы. Получившаяся в итоге статья, которую я назвал «Исследования по синтетической логике» («Studies in Synthetic Logic»), представляла собой одну из лучших частей моих ранних исследований. Она появилась позже в «Трудах кембриджского философского общества» («Proceedings of the Cambridge Philosophical Society») и послужила основой для курса «Обучающие лекции» («Docent Lectures»), которые я читал в Гарварде годом позже.
Математика слишком трудна и непривлекательна для тех, кто не способен понять то великое вознаграждение, которое она может дать. Это вознаграждение по характеру похоже на вознаграждение, получаемое художником. Когда видишь, как трудный, неподдающийся материал принимает живую форму и значение, начинаешь ощущать себя Пигмалионом, неважно, имеешь ли дело с камнем или с жесткой, камнеподобной логикой. Видеть, как туда, где не было ни значения, ни понимания, вливаются значение и понимание, это подобно работе в содружестве с творцом. И никакая техническая точность, никакой физический труд не смогут заменить этот творческий момент ни в жизни математика, ни в жизни художника или музыканта. Это неразрывно связано с представлениями о ценностях, которые совершенно идентичны представлениям о ценностях, присущих художнику или музыканту. Ни математик, ни художник не смогут сказать вам, в чем различие между значительной работой и мыльным пузырем; но если он не способен определять это в глубине своего сердца, то он не художник и не математик.
Имея дар к творчеству, человек творит на основе того, чем обладает. Что касается меня,то, чем я располагаю, и что я нашел полезным к применению — это обширная и устойчивая память и подвижное, подобное калейдоскопу, воображение, благодаря которому до определенной степени я способен видеть всю последовательность возможностей довольно сложной научной работы. Огромное напряжение, оказываемое на память в работе, связанной с математикой, для меня выражается не столько в попытке удержать в фокусе внимания огромное количество фактов из литературы, сколько в том, чтобы удерживать возникающие одновременно аспекты определенной проблемы, над которой я работаю и превращать мои мимолетные ощущения в нечто достаточно постоянное, чтобы они заняли свое место в памяти. Я обнаружил, что если бы я был способен объединять все мои прошлые идеи, связанные с проблемой, в единое ясное ощущение, то проблема становилась бы наполовину решенной. Остается лишь отбросить те аспекты этой группы идей, не имеющие отношения к решению проблемы. Такое отбрасывание нерелевантного и очищение релевантного я могу делать лучше всего в те моменты, когда у меня остается минимум посторонних ощущений. Очень часто, похоже, такие моменты возникают, когда я просыпаюсь; но, вероятно, на самом деле это означает, что именно ночью я прохожу через процесс концентрации, которая необходима для четкого обозначения моих идей. Я совершенно уверен, что, по крайней мере, часть этого процесса может происходить во время того, что принято называть сном и в виде сна. Вероятно, более подходящим для этого было бы так называемое близкое к гипнотическому состояние, в котором ожидается засыпание, и оно часто ассоциируется с гипнотическими образами, имеющими сенсорную плотность галлюцинаций, но которыми, в отличие от галлюцинаций, можно манипулировать до определенной степени посредством воли субъекта. Полезность этих образов в том, что в работе, где основные идеи еще недостаточно разграничены, чтобы легко и естественным образом обратиться к системе обозначений, они снабжают некой импровизированной системой обозначений, способных помочь чел