Десятеричная система распространяется на большие суммы. Так, единица С-ноут — это 100 долларов, а гранд — 1000 долларов.
Благодаря такой системе все денежные суммы можно всегда расписать в виде десятичных дробей. Если у вас в кармане 13,26 доллара, значит, вы имеете 1 десятидолларовый банкнот, 3 банкнота по 1 доллару, 2 десятых доллара, то есть 2 дайма, и 6 сотых доллара, то есть 6 центов.
Но, возможно, у вас другие купюры и монеты. Например, 1 пятидолларовая купюра, 1 купюра в 2 доллара, одна однодолларовая купюра, 5 полудолларов, 9 монет по четверти доллара, 4 дайма, 2 никеля и 1 пенни. Однако номиналы всех этих странных монет всегда записываются в виде десятичных дробей. Полдоллара никогда не записывается как $1/2, а только как $0,5. Четверть доллара всегда записывается как $0,25; дайм как $0,10, никель как $0,05 и, наконец, пенни как $0,01.
(Можно записывать номиналы не в долларах, а в центах, но и в этом случае десятеричная система сохраняется.)
Мы все так привыкли к удобству десятеричной системы при денежных операциях, что уже не задумываемся об этом. Однако такая система существовала не всегда. Старая британская денежная система была основана на других принципах. Самой мелкой монетой был фартинг, 4 фартинга составляли 1 пенни, 12 пенсов составляли 1 шиллинг, а 20 шиллингов — 1 фунт. Англичанам приходилось нелегко, когда надо было заниматься денежными подсчетами. Как сложить 4 фунта, 8 шиллингов, 2 пенса и 15 фунтов, 19 шиллингов и 11 пенсов? (Ответ составит 20 фунтов, 8 шиллингов, 1 пенни, но я не собираюсь объяснять, как я подсчитал эту сумму). В свое время британским школьникам приходилось тратить уйму времени для того, чтобы научиться оперировать с денежными единицами. В то же время американские школьники начинали легко осваивать арифметику, как только к ним в руки попадали первые монетки.
Однако и в Америке достаточно бессмыслицы в том, что касается единиц измерения, правда, не денежных, а единиц измерения длины, веса и объема. Большинство стран мира, за исключением Соединенных Штатов и еще нескольких государств, уже давно перешло на метрическую систему мер и весов, принятую еще в 1791 году во Франции.
Метрическая система является десятеричной. Рассмотрим для примера единицы длины. Основная единица длины в метрической системе — это метр (который равен 39,37 дюйма). От этой единицы и получила название вся система. (Слово «метр» пришло к нам из латыни (metrum), где оно означает «измерять». Приставки для различных единиц длины, о которых я расскажу ниже, также пришли из латыни и греческого. Греческие приставки используют для обозначения единиц, больших метра (дека — десять, гекто — сто и кило — тысяча), а латинские — для единиц, меньше метра (деци, санти и милли — это соответственно десять, сто и тысяча).
Десять метров составляют декаметр, десять декаметров — один гектометр, а десять гектометров — один километр. Можно пойти в сторону уменьшения. Одна десятая часть метра — это один дециметр, одна десятая часть дециметра — это один сантиметр, а одна десятая часть сантиметра — это один миллиметр.
Это означает, что если какое-то расстояние равно 2 километрам, 5 гектометрам, 1 декаметру, 7 метрам, 8 дециметрам, 2 сантиметрам и 9 миллиметрам, значит, это расстояние равно 2517,829 метра. С такими мерами просто проводить любые вычисления. Скажем, если у вас есть два объекта, один длиной 2 метра, 8 дециметров и 9 сантиметров, а другой длиной 5 метров, 5 дециметров и 5 сантиметров, то общая длина двух объектов составит 2,89 + 5,55 или 8,44 метра, или, что то же самое, 8 метров, 4 дециметра и 4 сантиметра.
А теперь давайте сравним эту систему с английской и американской системой измерения длины. Основная единица в этой системе — дюйм. 12 дюймов составляют 1 фут. 3 фута составляют 1 ярд. 51½ ярда составляет один род, 40 родов равны 1 ферлонгу, а 8 ферлонгов — это 1 миля. Это, разумеется, слишком сложно, и роды и ферлонги в наши дни практически не используются. Было принято, что 1760 ярдов (5½ × 40 × 8) составляют 1 милю. Попробуйте ка теперь подсчитать, чему будет равняться сумма 1 мили и 1632 ярдов плюс 2 мили и 854 ярда. Ответ: 4 мили и 762 ярда. Интересно, догадаетесь ли вы, как я получил эту сумму и сможете ли повторить мои расчеты.
Теперь перейдем к более мелким единицам. Попробуем сложить 3 ярда 2 фута 8 дюймов и 5 ярдов 2 фута и 7 дюймов. Ответ: 9 ярдов 2 фута и 3 дюйма. Как я это сосчитал?
Американским школьникам приходится тратить уйму времени на то, чтобы научиться обращаться с этим разнообразием единиц измерения. А ведь, помимо единиц длины, есть еще единицы объема, веса, площади, и каждая из этих систем измерения включает массу сложных и бессмысленных элементов. Разумеется, школьники никогда толком и не знают всех этих единиц и соотношений между ними.
Детям в России гораздо легче. У нас принята метрическая система, с которой нет никаких хлопот.
Почему же в Соединенных Штатах и Великобритании не переходят на удобную метрическую систему мер? Во-первых, в наши дни это потребует значительных капиталовложений, поскольку все станки, инструменты и системы конструирования придется переводить на новую систему измерений. Но основное препятствие — это приверженность традициям. Люди неохотно отказываются от привычных стереотипов, и для того, чтобы склонить их на сторону новой системы, потребовались бы принудительные меры со стороны правительства. А британцы и американцы не привыкли к принуждению. Это тоже традиция.
В то же время и британские, и американские ученые уже давно перешли на метрическую систему. Причем в Америке ее иногда применяют самым неожиданным образом. Например, когда экономистам и банковским работникам приходится проводить операции с большими суммами денег, они шутливо называют их «килобаксами» (слово «бакс», обозначающее доллар, пришло в разговорную речь из сленга игроков в покер). Миллионы баксов аналогично называют «мегабаксами». (Греческое слово «мега» означает «большой». В метрической системе это слово обозначает миллион.)
Я думаю, вы согласитесь со мной в том, что система десятичных дробей подобна раю на земле, особенно если ее сравнить с системой обычных дробей. Но как у любого рая на земле есть оборотная сторона, так и у системы десятичных дробей есть свои недостатки. Например, необходимо очень тщательно следить за положением десятичной запятой.
Например, рассмотрим пример умножения: 0,2 × 0,2.
Вы можете попробовать решить этот пример по аналогии со сложением: 2 + 2 = 4, также 2 × 2 = 4, тогда, поскольку 0,2 + 0,2 = 0,4. Возможно, и 0,2 × 0,2 = 0,4?
Нет, этого не может быть, и я сейчас докажу вам это.
Перейдем обратно к обыкновенным дробям, с которыми мы научились так хорошо обращаться. 0,2 = 2/10. Теперь перемножим дроби по старой методике: 2/10 × 2/10 = 4/100 (числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель). А 4/100 в десятичных дробях — это 0,04. Следовательно, 0,2 × 0,2 отнюдь не равно 0,4. 0,2 × 0,2 = = 0,04. Мы можем решить еще несколько примеров на умножение десятичных дробей, заменяя их на эквиваленты в обычных дробях. Например: 0,82 × 0,21 = 0,1772, а 0,82 × 2,1 = 1,772. (Это можно проверить следующим образом:
82/100 × 21/100 = 1722/10000, а 82/100 × 21/10 = 1722/1000.)
Теперь мы можем сформулировать общее правило: при перемножении десятичных дробей количество цифр справа от десятичной запятой в ответе равно общему количеству цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах.
Так, при умножении 0,2 × 0,2 общее количество цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах равно 2, и это означает, что 0,2 × 0,2 = 0,04 (ноль справа от десятичной запятой также является значащей цифрой).
Естественно, что если один из сомножителей является целым числом, то он не влияет на положение десятичной запятой. Положение десятичной запятой в произведении будет таким же, как и в том сомножителе, который является десятичной дробью.
То есть 0,2 × 2 = 0,4; 1,5 × 5 = 7,5; а 1,1 × 154 = 169,4.
Эти результаты соответствуют правилу умножения, и в любом случае количество цифр справа от десятичной запятой в ответе равно общему количеству цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах.
Определить положение десятичной запятой в случае деления можно по аналогичной методике, действуя в обратном порядке. Но обычно при делении процедуру стараются упростить и приводят делитель или знаменатель (если деление проводят с помощью обычных дробей) к виду целого числа, не содержащего значащих чисел справа после запятой.
Предположим, нам надо 1,82 разделить на 0,2. Это выражение можно записать как 1,82/0,2. Не изменяя величины дроби, умножаем числитель и знаменатель на 10. Тогда 1,82 × 10 (в соответствии с правилом определения положения десятичного знака) равно 18,20, или 18,2, поскольку ноль, стоящий справа после последней значащей цифры, не изменяет величины числа и, следовательно, его можно опустить. Точно так же 0,2 × 10 = 2,0, или просто 2 (поскольку 2 плюс ноль десятых равно 2).
Следовательно, дробь можно записать как 18,2/2, и теперь знаменатель является целым числом, следовательно, при делении положение десятичного знака после запятой не меняется, так же как и в случае деления. Раз в числителе одна значащая цифра справа после запятой, то и результат должен иметь одну значащую цифру справа после запятой, то есть 18,2/2 =9,1.
Освоив деление десятичных дробей, мы сможем переводить обычные дроби в десятичные. Предположим, нам нужно найти десятичный эквивалент для 1/40. Мы можем представить эту дробь в виде 1,000/40, а затем произвести деление. Поскольку мы делим на целое число, то положение десятичной запятой не меняется. Проведем деление:
Таким образом, мы показали, что десятичный эквивалент 1/40 равен 0,025. Это можно проверить, переведя 0,025 в обычную дробь.
0,025 = 2/100 + 5/1000, или 20/1000 + 5/1000, или 25/1000, или если произвести деление, то получим 1/40, как мы и предполагали.