1 — это одно и то же, следовательно, 21 = 2.
То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде: любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения. То есть 51 = 5, 271 = 27 и так далее.
Но дальше все становится сложнее. Чему равно 8 : 8? Конечно, единице. Но 8 = 23, следовательно 23 : 23 = 1. Но если мы вычтем экспоненты, получим ноль 23 : 23 = 20. Значит ли это, что 20 = 1? Кажется, так оно и есть.
Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 21 = 2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно. Но выражение 20 означает «ни одного числа два, умноженного само на себя», то есть кажется логичным, чтобы 20 равнялось нулю. Возможно, это и логично, но математики отнюдь не следуют правилам обычной повседневной логики. Вас это шокирует? Математики руководствуются общими закономерностями и необходимостью взаимной совместимости постулатов. Иными словами, математики могут принять самые невероятные правила, которые с обывательской точки зрения могут показаться просто безумными. Но эти правила не должны противоречить одно другому, какие бы результаты ни получались. Правило сложения и вычитания экспонент работает настолько хорошо, что если для того, чтобы его применять, необходимо, чтобы 20 = 1, значит, так и должно быть. Мы просто принимаем, что утверждение 20 = 1 верно.
Если мы будем не 23 делить на 23, а 63 будем делить на 63, то опять получим, что 60 = 1. Мы можем проверить одно число за другим, и каждый раз будем получать один и тот же результат: любое число в степени 0 равно 1.
Пойдем дальше. При делении 64 на 128 мы получаем ответ 64/128, или 1/2. В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 26: 27. Ответ 2-1, или 1/2 , или, в экспоненциальной форме, (1/2)1.
Аналогично 32 : 128 = (1/4). В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 25 : 27. Ответ 2-2, или 1/4, или, в экспоненциальной форме, (1/2)2.
Можно привести еще множество примеров, и каждый раз мы обнаружим, что отрицательная экспонента становится положительной при переходе к обратному числу. Другими словами, 4-7= (1/4)7, а 10-3= (1/10)3. Это правило справедливо для любых чисел. 64 = (1/6)-4.
Я могу привести вам несколько примеров, которые продемонстрируют, что такое толкование понятия «экспонента» непротиворечиво. Давайте проверим, равны ли выражения 6-4 и (1/6)4? Выражение (1/6)4 можно представить в виде 1 : 64. Но 1 равна 60, таким образом, наше выражение приобретает вид 60 : 64. Вычитаем экспоненты и получаем 6-4, как и следовало ожидать.
А как доказать, что 60 действительно равно 1? Как по вашему, чему равно 36 × 1/36? Это очень просто: 36 × 1/36 = 1, это не вызывает никаких сомнений. Но 36 = 62, тогда 1/36 = (1/6)2 или 6-2. Теперь выражение 36 × 1/36 приобретает вид 62 × 6-2, и если мы сложим экспоненты, то получим 60, то есть 1.
Разумеется, наши примеры, строго говоря, не являются доказательствами. Математики назвали бы их просто круговыми рассуждениями. (Вот пример такого кругового доказательства. Вы утверждаете: «Кошкой называется любое животное, которое мяукает», и отсюда делаете вывод: «Животное, которое мяукает, называется кошкой».) Тем не менее эти примеры демонстрируют, что система операций с экспонентами является логичной.
Мы можем продемонстрировать это и другим путем, например составив перечень некоторых экспоненциальных чисел. Начнем с иллюстрации хорошо известного определения чисел, которые перемножаются сами на себя.
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
23 = 2 × 2 × 2 = 8
22 = 2 × 2 = 4
Теперь перемножим левый и правый столбики этих выражений, опустив средний столбик, то есть двойки, перемноженные сами на себя. Мы видим, что при уменьшении показателя степени на единицу результат уменьшается вдвое.
Давайте продолжим этот столбик вниз, в направлении уменьшения экспоненты, и получим:
21 = 2
20 = 1
2-1 = 1/2
2-2 = 1/4
2-3 = 1/8
Вы видите, что, когда экспонента меньше 2, срабатывает та же самая зависимость, причем аналогичное правило справедливо при любом основании экспоненциального выражения. Вы можете легко показать, что в случае экспоненциального числа с основанием 3 уменьшение экспоненты на 1 приводит к уменьшению результата в три раза, а в случае экспоненциального числа с основанием 6 уменьшение экспоненты на 1 приводит к уменьшению результата в шесть раз. Но при любом основании общее правило будет справедливо.
Все вышесказанное означает, что у нас расширяются возможности для замены умножения на сложение. Теперь мы можем перемножить 1/8 на 1024 при помощи экспонент, однако мы пока еще не выяснили, как можно перемножить 7 и 17.
Теперь мы знаем, что бывают как положительные, так и отрицательные экспоненты, и умеем с ними обращаться. А бывают ли дробные экспоненты? Прежде чем выяснить, что такое дробная экспонента, давайте разберемся с действием, обратным возведению в степень.
Глава 7ДОКАПЫВАЕМСЯ ДО КОРНЕЙ
Мы с вами уже уяснили себе, что каждому математическому действию соответствует аналогичное, но обратное по направлению действие.
Для сложения таким обратным действием является вычитание, для умножения — деление. Теперь попробуем выяснить, какое действие является обратным для возведения в степень. Поскольку возведение в степень — это многократное умножение, то, очевидно, обратным действием будет многократное деление.
Например, 32 можно разделить на 2 и получить 16, затем 16 разделить на 2 и получить 8; затем 8 разделить на 2 и получить 4; затем 4 разделить на 2 и получить 2; наконец, затем 2 разделить на 2 и получить 1. В краткой форме эти действия можно записать как 32 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 = 1. (Как и в случае деления, которое мы изучали в третьей главе, наша задача заключалась в том, чтобы добраться до 1.) Поскольку мы произвели деление 5 раз и добрались до 1, то можно сказать, что 2 — это корень пятой степени из 32.
Если мы рассмотрим число 81, то увидим, что 81 : 3 : 3 : 3 : 3 = 1, таким образом, 3 является корнем четвертой степени из 81. (Почему, собственно, корнем? Откуда взялось это слово? Это можно объяснить таким образом: число 32 растет из основания 2, а 81 — из основания 3 так же, как растение произрастает из корней.)
Такая математическая операция обозначается как √. На разнообразие корней указывает число в верхней левой части корня. Так, корень пятой степени из 32 можно записать как 5√32 . корень четвертой степени из 81 можно записать как 4√81. Значок √ называется знаком радикала, а числа, содержащие корни, называются радикалами. Слово «радикал» пришло к нам из латыни, где оно означает просто «корень».
Мы редко встречаемся с корнями высоких степеней, чаще всего приходится иметь дело с операциями, обратными возведению во вторую степень, то есть в квадрат. Извлечение корня второй степени называется извлечением квадратного корня, а 2√ называется квадратным корнем, причем двойка слева часто опускается. В дальнейшем под значком √ без цифры в верхнем левом углу мы всегда будем иметь в виду квадратный корень.
Что же такое квадратный корень из числа? 25 — это квадрат 5, таким образом, можно сказать, что 5 — это квадратный корень из 25, или √25 = 5. Поэтому следует говорить «пять — это корень второй степени из 25», но обычно употребляют формулировку «квадратный корень». (Точно так же корень третьей степени называют кубическим корнем.)
Следующая проблема заключается в том, чтобы выяснить, как найти корень такой- то из некоего числа. Здесь можно идти путем от противоположного. Предположим, мы знаем, что 25 = 32, это означает, что если 32 пять раз разделить на 2, то результатом будет 1. (Если мы возвели число в какую-то степень, нетрудно пойти в обратном порядке.)
На практике арифметический метод определения корней заключается в серии обратных действий. Попробуем извлечь квадратный корень из 625. Схема вычислений будет следующей:
Первую цифру ответа, 2, мы получаем подбором. Мы знаем, что 2 × 2 = 4, это ближайшее возможное число, меньшее 6, поскольку 3 × 3 = 9, что больше 6. Затем проводим вычитание и выносим две цифры вместо одной, как это принято при обычном делении в столбик. (Если бы мы извлекали кубический корень, мы выносили бы три цифры, в случае корня четвертой степени — четыре цифры и так далее.) Чтобы получить следующую цифру, надо разделить 225 на 45. Цифру 45 вы получаете, удваивая первую цифру ответа, что дает вам 4. Вторая цифра должна быть равна второй цифре вашего ответа, таким образом, ее тоже можно найти подбором, так, чтобы получить число, ближайшее к 225. Цифра 5 подходит наиболее точно, так как 5 × 45 = 225.
Этот процесс может показаться вам очень трудным, и вы будете совершенно правы. Вычислять корни чисел арифметическим способом очень трудно, но результаты оказываются полезными при различных расчетах.
Рассмотрим следующий пример. Чему равен √2 ? Какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 2?
Мы можем сразу определить, что среди целых чисел такого числа нет, ведь 1 × 1 = 1, а 2 × 2 = 4. Первое число слишком мало, а второе слишком велико. Следовательно, ответ будет дробным числом.