Таким образом, мы можем проставить порядковый номер справа налево, как это показано ниже маленькими цифрами:
Каждое маленькое число — это степень числа 2, определяемая положением цифры в числе, представленном в двоичной системе. Следует учитывать только те показатели степени, которые стоят против единиц. Показатели, стоящие против нулей, можно опускать. Используя такой подход, можно записать число 11001 как 24 + 23 + 20, или 16 + 8 + 1, или 25.
Большие числа, такие как 1 110 010 100 001 001, можно переводить в десятеричную систему таким же образом.
Поскольку единицам соответствуют позиции 0, 3, 8, 10, 13, 14 и 15, то число будет равняться 215 + 214 + 213 + 210 + 28 + 23 + 20, или 32768 + 16384 + 8192 + 1024 + 256 + 8 + 1, или 58 633.
Обратный перевод из двоичной системы в десятеричную не очень сложен, но более длителен. Предположим, число 1562 выражено в десятеричной системе. В двоичную систему его можно перевести следующим образом:
Наибольшее число, соответствующее двойке, возведенной в степень, и меньшее 1562, — это 210 (или 1024). Если мы вычтем 1024 из 1562, у нас останется 538. Теперь наибольшее число, соответствующее двойке, возведенной в степень, и меньшее 538, — это 29 (или 512). После вычитания этой величины из 538 у нас остается 26. Ближайшее и меньшее число теперь — 24 (или 16). После вычитания остается 10. Теперь ближайшее число — это 23 (или 8). После вычитания остается 2 или 21. Таким образом, 1562 = 210 + 29 + 24 + 23 + 21.
Теперь надо только правильно расставить по местам показатели степени справа налево. Единицы будут стоять на 1, 3, 4, 9 и 10-й позициях. На остальных позициях мы поставим нули. Таким образом, мы получаем число 11 000 011 010, двоичный эквивалент числа 1562 в десятеричной системе.
В двоичной системе очень простые таблицы сложения и умножения:
И это весь список.
Таким образом, в двоичной системе:
Правильность этих вычислений можно, при желании, проверить, учитывая, что числа И, 110 и 1001 в двоичной системе равны соответственно 3, 6 и 9 в десятеричной системе.
Теперь представьте себе, что у вас есть счетная электронная машина с набором переключателей (например, полупроводниковых). Каждый переключатель может находиться в одной из двух позиций — «включено» (когда ток проходит через переключатель) или «выключено» (когда ток не проходит через переключатель).
Теперь предположим, что положение «включено» соответствует 1, а положение «выключено» соответствует 0. В этом случае счетную машину можно спроектировать таким образом, чтобы переключение электрического сигнала различными переключателями подчинялось правилам сложения, умножения и другим действиям с единицами и нулями в двоичной системе.
Такая машина будет так быстро производить переключение и производить вычисления с такой скоростью, что сможет выполнить за считаные секунды такой объем вычислений, на который человеку потребовалось бы не меньше месяца.
Однако, рассматривая различные системы счета, мы сильно уклонились от основной темы нашей книги. Теперь мы возвращаемся к десятеричной системе, и вся дальнейшая информация будет подана именно в десятеричной системе.
Для того чтобы четко уяснить себе, какие действия можно производить с экспоненциальными числами на основе 10, начнем работать с относительно небольшими числами, а не с такими огромными, как масса Земли, о которой шла речь в начале главы.
Предположим, нам надо выразить в экспоненциальной форме число 3200. Мы можем использовать только целые числа, поэтому разобьем число 3200 следующим образом: (3 × 1000) + (2 × 100) или (3 × 103) + (2 × 102). Но гораздо удобнее в тех случаях, когда это возможно, пользоваться одной экспонентой. Этого можно добиться, используя десятичные дроби. Представим 3200 в виде 3,2 × 1000 (можете самостоятельно произвести умножение и проверить правильность этого утверждения) или 3,2 × 103.
Можно, конечно, представить 3200 как 32 × 100, что в экспоненциальной форме даст 32 × 102. Можно выбрать такой вариант: 3200 = 0,32 × 1000 или 0,32 × 104. Все эти выражения идентичны. Этот факт можно подтвердить, произведя операции умножения. Для каждого отдельного случая мы получим 3200. Но этот факт можно подтвердить, не производя операций умножения.
Предположим, надо умножить 40 на 50.
40 × 50 = 2000.
Теперь разделим один из сомножителей на 2, а другой умножим на 2. Получаем 20 × 100, или 80 × 25. И в том и в другом случае результат один и тот же, 2000. Предположим, мы умножаем один из сомножителей на 10, а другой делим на 10. Тогда мы получаем 4 × 500 или 400 × 5. И в том и в другом случае результат один и тот же, 2000.
Другими словами, при перемножении двух чисел их произведение не меняется, если один из сомножителей умножить на какое-то число, а другой разделить на это же самое число.
Теперь рассмотрим произведение 3,2 × 103. Умножим 3,2 на 10 и разделим 103 на 10. Как мы уже знаем, произведение от этого не изменится.
3,2 × 10 = 32. Разделим 103 на 10 (или, что одно и то же, умножим на 101) и получим 102. Теперь произведение выглядит как 32 × 102, при этом его величина не изменяется.
Мы можем разделить 3,2 на 10 (получаем 0,32) и умножить 103 на 10 (104). В результате получаем 0,32 × 104, при этом величина также не изменилась.
Мы видим, что выражения 0,32 × 104, 32 × 102, 3,2 × 103 являются одним и тем же числом. Тогда какой смысл менять одну форму на другую? С точки зрения корректности расчетов никакого смысла нет, а вот с точки зрения удобства проведения вычислений — безусловно есть. Целесообразно использовать такую форму экспоненциального выражения, когда неэкспоненциальная часть является числом от 1 до 10. В случае 32 × 102 неэкспоненциальная часть больше 10, в случае 0,32 × 104 неэкспоненциальная часть меньше 1. В случае 3,2 × 103 неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10, и это как раз та форма выражения, которая обычно используется.
Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10-4, 5,4 × 10-3 или 0,54 × 10-2.
Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10-3 разделить на 10. Деление 10-3 на 10 равноценно умножению на 10-1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10-3 разделить на 10 равно 10-3-1 или 10-4. Таким образом, мы превратили выражение 5,4 × 10-3 в 54 × 10-4, не изменив его величины.
При помощи аналогичных процедур мы можем превратить 5,4 × 10-3 в 0,54 × 10-2, не изменив его величины. Но на практике предпочтительнее использовать выражение 5,4 × 10-3, поскольку в этом случае неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10.
К экспоненциальным числам применимы те же правила, как и к обычным числам.
В операциях сложения и вычитания участвуют только неэкспоненциальные составляющие чисел. Например, при сложении 2,3 × 104 и 4,2 × 104 получаем 6,5 × 104. (Проверьте это утверждение, преобразовав экспоненциальные выражения в неэкспоненциальные: 23 000 и 42 000. Сложив их, вы получите 65 000. Такую же операцию можно осуществить со всеми примерами, которые я привел в этой главе. Таким образом, вы не только научитесь обращаться с экспоненциальными выражениями, но и на практике сможете убедиться, что не обязательно верить всему, что вам говорят, даже если это «что-то» напечатано в типографии.)
Сумма чисел 8,7 × 104 и 3,9 × 104 равна 12,6 × 104. Ответ можно оставить в этом виде, хотя неэкспоненциальная часть больше 10. Можно также при помощи операций умножения—деления, описанных выше, привести выражение к более удобному виду: 1,26 × 105. Этот ответ такой же правильный, как и предыдущий.
А как поступать, когда у чисел различается экспоненциальная часть? Чему будет равна сумма 1,87 × 104 и 9 × 102? Для того чтобы провести сложение, потребуется привести оба числа к такому виду, когда обе экспоненциальные части одинаковы. Например, 1,87 × 104 можно преобразовать в 187 × 102. Тогда можно провести сложение: (9 × 102) + (187 × 102) = (9 + 187) × 102 = 196 × 102. Можно пойти другим путем и превратить 9 × 102 в 0,09 × 104, тогда получим (0,09 × 104) + (1,87 × 104) = (0,09 + 1,87) × 104 = 1,96 × 104.
Таким образом, мы получили два ответа: 196 × 102 и 1,96 × 104. Эти два выражения равноценны, но использовать предпочтительно второе.
С экспоненциальными числами также можно производить операции вычитания. На практике, однако, экспоненциальной формой редко пользуются при выполнении операций сложения и вычитания, поскольку удобнее складывать и вычитать обычные числа. А вот при операциях умножения и деления экспоненциальные числа незаменимы. Предположим, надо перемножить 6000 на 0,008. Это в общем-то нетрудно сделать в столбик:
В данном примере единственную трудность представляет операция с нулями. Нужно внимательно отследить положение десятичной запятой.